完全平方数(20210306054811)

1、华杯赛”专题讲座完全平方数什么是完全平方数？相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81,100, 121 , 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 , 400, 441例1.从110中最多可以选出 个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.刪答疑编号0518320101【答案】6【解答】选出2, 3, 4, 8, 9, 10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。如果选出了七个数，将 110 分为 6组，(10, 6),( 9, 7),( 8, 1),( 5, 4),

2、( 2),(3)，则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。所求的最大值是6。完全平方数质因数分解的特征：将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。例2.从1到2012的所有自然数中，有 个数乘以72后是完全平方数&答疑编号 0518320102【答案】31【解答】因为* 一I所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为一 -二一_；_J.-.,所以从1到2012中，符合要求的数有 31个.例3.素数A B互不相等，已知 A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数&答疑编号 051832

3、0103【答案】9【解答】如果 A不是2，则A平方的2倍有3X 2= 6个约数，故A= 2.所以B就不能是2,它平方的4倍有3X 3= 9个约数.本题答案为9.涉及到完全平方的公式：+册二/ + 2必+沪例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为 .&答疑编号 0518320104【答案】156【解答】设加上100后为-，加上168后为，那么:-u-II-,+ a = 34b-a= 2U.即 *- ： 因为b+ a和b a的奇偶性相同，所以只可能是a=16解得W 因此原正整数是1 ti3 -100 = 156.例5. 一个正整

4、数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在12012中，有多少个“智慧数”？0答疑编号 0518320105【答案】1509【解答】设这个正整数是 n,。两个完全平方数分别是a2和b.2。.贝U n= a2 b2=( b a)( b + a)。(1) 如果b a和b + a都是奇数，则n是奇数。(2) 如果b a和b+ a都是偶数，则n是4的倍数。下面，我们说明如下情况：(1) 被4除余2的数，不是“智慧数”。2 2(2) 奇数都是“智慧数”。因为 n= 2k + 1=( k + 1) k(3) 4的倍数都是“智慧数”。因为n = 4k =( k+ 1) 2( k 1)

5、 2所以，总共有2012-4X 3=1509个“智慧数”。例6.证明：形如11, 111 , 1111 , 11111,的数中没有完全平方数。籾答疑编号 0518320106【答案】根据完全平方数的特性：一个完全平方数要么是4的倍数，要么被4除余1。形如4k+ 2和4k+ 3型的整数一定不是完全平方数，而11、111、1111、被4除的余数均为3,所以，它们中没有完全平方数。2 2我们不妨看一下奇数的平方：.-11 |;1 -,所以奇数的平方是除以 4余1的数。进一步思考：形如 aa, aaa, aaaa, aaaaa, 的数中有没有完全平方数？例7.四个质数的和是55，平方的和是1335，则这四个质数是： .O答疑编号 0518320107【答案】2, 3, 19, 31【解答】四个质数的和是55，由于质数中只有2是偶数。说明四个质数中有一个数是2。所以，a+b+c=53, a2+b2+c2=1331。继续分析，完全平方数除以3的余数是0或1, 1331除以3是余2的。所以，有一个数是 3的倍数，又由于是质数，所以，只能是3。