应用时间序列分析模拟试题

1、时间序列分析课程考试卷填空题（每小题 2 分，共计20分）1. ARMA(p, q)模型 xt01xt 1p xt p中模型参数为 p，q。2. 设时间序列 Xt，则其一阶差分为 xtxtxt 1 。3. 设 ARMA (2, 1) ：Xt 0.5X t 1 0.4X t 20.3 t 1则所对应的特征方程为2 0.5 0.40。4. 对于一阶自回归模型 AR（1）: Xt 10 Xt 1t，其特征根为，平稳域注：平稳性判别：1）特征根判别法：特征根的绝对值小于1；该题中特征根等于 ，故平稳条件为1 。（系数多项式的根在单位园外）2）平稳域判别法： AR （1）模型：5.6.7.8.AR （2

2、）模型：1, 2 |1,且11ARMA(2,1):Xt 0.5Xt 1 aX t 21,a 0.5 1时，模型平稳。注： AR 模型平稳（系数多项式的根在单位园外） 位园外）：对于一阶自回归模型 MA（1）:0.1t1，当注：；MA模型可逆（系数多项式的根在单1,k0.3Xt0.3 t1，其自相关函数为1.090,k,k 1q1,kki1q1 i2i10,k1,1对于二阶自回归模型AR（2） : Xt0.5Xt 10.2Xt 2 t 则模型所满足的 Yule-Walker方程是11115841212221228021222122注： 1.k12.由于 AR 模型的故对于AR2)进而0.59.

3、设时间序列Xt则预测方差为k2k1k1k2k1k2kki11,11,5,8,k 1 0.2为来自 ARMA(p,q) 模型：Xt1X t 1 LlVaret l Gi2i01tdxtEtEx10. 对于时间序列 Xt ，如果_ Exs t0,Var0,2,E0,s t，则 Xt I d 。dxtEt注： ARIMA （ p，d，q）Exs t0,Var0, s2,E t0,s t11. 设时间序列 Xt 为来自GARCH（p ， q）模型，则其模型结构可写为xtf t,xt 1,xtht etphtiht2 jji1j1得分二、（10 分）设时间序列 Xt 来自 ARMA 2,1 过程，满足2

4、B 0.5B2Xt1 0.4B其中t 是白噪声序列，并且Et0,Var t1）判断 ARMA 2,1模型的平稳性。5 分）2）2特征函数为 xxx 0.5 0 ，特征根为也可用平稳域法见一（ 4）利用递推法计算前三个格林函数 G0,G1,G2。（5 分）G0Gk1kj Gk jj1G0G11G0 1 1( 0.4) 1.4G21G1 2G02 1.4 0.5 00.9求格林函数也可以用算子1 0.4B1 B 0.5B21 0.4B 1B 0.5B2 1 B0.5B2 21 0.4B 10.5B221 1.4B 0.9B2得分1i2 ，在单位圆内，平稳1619 岁失业女性的月度数 据经过一阶差分

5、后平稳（ N 500），经过计算样本其样本自相关系数20分）某国 1961年 1月 2002年 8月的k12345678910? k-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01 ?k 及样本偏相关系数 ?kk 的前 10 个数值如下表10 分）0，1，1）2）对所识别的模型参数和白噪声方差2给出其矩估计。10 分）于 ARIMA0，1121，1 1 4?12 ?11 1 4 0.472 0.470.7415?kk-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00求1） 利用所学知识，对 Xt 所属的模型进行

6、初步的模型识别。样本自相关系数 1 阶截尾，样本偏相关系数拖尾， ARIMA?2得分四、（ 20 分）设 Xt 服从 ARMA（1, 1） 模型：11 ?2 0.645110.00250.002664其中 X100 0.3, 100 0.01。（1）给出未来3 期的预测值；（ 10 分）X?100 10.8X100 0.6100 0.234X?100 20.8X?100 10.8 0.234 0.1872X?100 30.8 X?100 20.8 0.1872 0.14976（2）给出未来3 期的预测值的95%的预测区间（ u0.97510.6B2Xtt10.2B 0.16B2 tt10.8B

7、 tG0 1 ；G1 0.2 ； G；2 0.16Var et l lGi2 2由于i01.96 ）。（ 10 分）Vare100 1 0.0025 Vare100 2 0.0026Vare100 3Xt 0.8Xt 1t 0.6 t 195%的预测区间 x?100 l u0.975 Var e100 l101 ( 0.136,0.332)102(0.087， 0.287)103-0.049,0.251）。得分五、( 10分)设时间序列 Xt服从 AR(1)模型：XtXt 1t，其中 t为白噪声序列，E t 0,Var t 2 ，x1,x2(x1 x2) 为来自上述模型的样本观测值，试求模型参

8、数22 的极大似然估计。2B2Gi2 1i0Gi Gi 1i0ln112121211ln12x12x22 x1 x2似然方程组nx2 2 21 ln22x1x22 2 x1x21221x22 2x1x21 2 2?2所以2x1x2x12 xx122 x12 x22得分六、( 20 分)证明下列两题：1) 设时间序列 xt 来自 ARMA 1,1 过程，满足xt0.5xt 1t 0.25 t 1 ,其中 t WN 0, 证明其自相关系数为xt1 0.25B0.5Bt10.25BG0Gk2k,kGjGj02kGjGj0122 j 21,k 0.270.51B2122jk2B2222k 112k10

9、 分)B22B2231122j22k 111k42k 4 1 0.2571k16 2k 11241122j21424 1 0.25131217321k,k2)I(0)Yt I( 0)，且Xt 和Yt不相关，即 cov (Xr ,Ys) 0, r,s。试证明对于任意非零实数 a与b，有 Zt aXt bYt I(0) 。( 10分)证明：因为 X t I( 0 )， Yt I( 0 )，所以；E X t2EYt2； E XtX；EX t,sXtk,sk ,t,s,tk,s kT；Y t,sYtk,sk ,t,s,tk,s kTZ t aX t bX tE Z t E aX t bX t a t

10、b tE Z t2E a2X t2b2Yt2 2abX tYta2E X t2b2EYt22ab E X t2 E Yt2Zt t,s EaXtbYta t b t aXsbYs a s b s2a Xt t,sb2Yt t,sabCov X t ,YsabCov X s,Yt22Yt t,sa Xt t,sb2所以 Z t,sZtk,sk ,t,s,t k,s kT七、 填空题(每小题 2 分，共计 20 分)1.Xt2.3.4.5.6.7.8.m N, tXt 为严平稳。xtAR(p) 模型为 _ tARMA(p, q)模型 型参数为 p， q。设时间序列 Xtt1,tmTm,Z,x x1

11、, ,xm Rm,Ft xFtx ，序xt1xt1 xt 1，则其一阶差分为pxt p_，其中自回归参数为p xt p01p_。xtxtxt 1一阶自回归模型 AR(1) 所对应的特征方程为对于一阶自回归模型对于一阶自回归模型注：AR(1) ，其特征根为 _ _ ，平稳域是MA(1) ，其自相关函数为1,qk1,k 01 2 ,k0,k 2其中模k i k 1i1q1i2i10,1k对于二阶自回归模型 AR(2): Xt1Xt 12 Xt 2t , 其模型所满足的 Yule-Walker 方程是112k1112122 k112211=122121 1 212 21121 210 222222k

12、2k1k1k2k2注：1. kk1k2kk9.10.2. 由于 AR 模型的故对于AR设时X t1Xt 1 LVaret l 设时间序列 Xtxtht2)有i11,112k 1 2pXtXtt1t1来自qtqARMA(p,q) 模 型则预测方差得分lGi2i0为来自f t,xt 1,xt 2, ht etpiht ii1j1GARCH(p ， q)模型，则其模型结构可写为八、( 20 分)Xt 是二阶移动平均模型 MA(2) ，即满足 X t tt-2其中t 是白噪声序列，并且 E t 0,Var1) 当 1 =0.8 时，试求 Xt 的自协方差函数和自相关函数。E Xt Xt kE t t

13、2 t k t k 2122,k0,其他2,k 01,k 01 2 ,k 2；0,其他1,k 00.4878,k 20,其他2)当 1 =0.8 时，计算样本均值 (X 1 X2 X3 X4) 4的方差。VarX1 X 2 X34X41 Var 116110321得分九、( 20 分)设 X t 的长度为 10 的样本值为0.8，0.2， 0.9，0.74， 0.82，1)0.92，0.78，0.86，0.72，0.84，试求样本均值 x 。0.7582)样本的自协方差函数值 ?1, ?2 和自相关函数值 ?1, ?2 。?knkxt x xt k x t1nk0.038276-0.01083

14、0.005914-0.282990.154509(3) 对 AR(2) 模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。 由 Yule-Walker 方程111 ?21 ?10.18649? ?2?2 ?12 ?1?21 0.0809081 ?1?2 ? 0.83803xt0.838030.18649xt 1 0.080908xt 2 t得分十、( 20 分)设 Xt 服从 ARMA(1, 1) 模型：Xt0.8Xt 1t 0.6 t 1其中 X100 0.3, 100 0.01 。1) 给出未来 3 期的预测值；2) 给出未来 3 期的预测值的 95%的预测区间。得分20分）设平稳时间序列 Xt

15、 服从 AR（1）模型： Xt1Xt 1t，其中 t 为白噪声， E t 0,Var t22，证明：Var(Xt)1122Xtt1B2B2t1 B t2241Gi2 1 22i0122VarXt 2Gi22i01十二、 单项选择题（每小题 4 分，共计 20 分）（a）dXt=XtX t k（c）d Xt= d1 d 1XtXt 113. 记 B是延迟算子，则下列错误的是（a）B0 1（c）B Xt Yt=Xt 1 Yt 112. Xt 的 d阶差分为14.关于差分方程 Xt4Xt 1 4Xt 2 ，其通解形式为（b）dXt=d 1Xtd1Xt kd）dXt=d1Xt-1d1Xt 2（b）B

16、c Xt=c BXtc Xt 1（d）d=XtXt d1 B d Xt15.a) c12t c22tb）c1 c2t 2tc) c1 c22td) c2t列哪些不是MA模型的统计性质a) E Xtb) VarXt1c) t,E Xt ,E t 0d) 1,K , q 016. 上面左图为自相关系数，右图为偏自相关系数，由此给出初步的模型识别（a）MA （1）（ b）ARMA （1, 1）c）AR （2）d）ARMA （2, 1）得分十三、 填空题（每小题 2 分，共计 20 分）1. 在下列表中填上选择的的模型类别AR （p）， MA （q），ARMA2. 时间序列模型建立后， 将要对模型进行

17、显著性检验， 那么检验的对象为 _残差序列 ，检验的假设是 _残差序列是白噪声 。3. 时间序列模型参数的显著性检验的目的是 _模型的有效性 （提取的信息是否充分） 。4. 根据下表，利用 AIC 和 BIC 准则评判两个模型的相对优劣，你认为_ _模型优于 _ MA（2）模型。5. 时间序列预处理常进行两种检验，即为 检验和 检验。得分十四、 （ 10 分）设 t 为正态白噪声序列， E t 0,Var t时间序列 Xt 来自Xt 0.8Xt 1问模型是否平稳？为什么？得分五、 （20分）设 Xt 服从 ARMA（1, 1） 模型：Xt 0.8X t 1 t 0.6 t 1其中 X100 0.3, 100 0.01。3） 给出未来 3期的预测值； （10 分）给出未来 3 期的预测值的 95%的预测区间u0.975 1.96 ）。（ 10 分）得分4）六、 （ 20 分）下列样本的自相关系数和偏自相关系数是基于零均值的 平稳序列样本量为 500 计算得到的（样本方差为 2.997）ACF: 0 :340; 0:321; 0:370; 0:106; 0:139; 0:171; 0:081; 0