复变答案习题

1、11.求映射w下圆周|z| 2的像.z解：设ziy.w u iv 则iv1iyx iyx iy因为x2y24,所以uiv所以3 -y4uT,y4v34所以2v3 222.在映射z2下，下列平面w u iv.(1) 02,(3) x=a, y=bn；4.(a, b为实数)解：设wu iv(X iy)x2所以ux22y ,v2xy.(1)2,4,n,04习题二x iyyi(y2y 2)2 2 ) x y3 .yi4表示椭圆上的图形映射为(2)0 r 2,0y2 2xyi平面上的什么图形，设n映射成W平面内虚轴上从O到4r 2映成了 w平面上扇形域，即u iv ,则将直线 x=a映成了 u a2 y

2、2, v 2ay.即v2张口向左的抛物线将y=b映成了 u x2 b2 ,v 2xb.即v24b2(b2 u)是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示3.求下列极限4i的一段,4,02 24a (a u).是以原点为焦3(1)lim12 ；z 1z1解：令z则z,t0t12limt0于是lim 2z 1 z2t2t 0 1解：设z=x+yi ,limRe(z)z 0 zxlim则更亠有z x iyx1o x ikx 1 ik显然当取不同的值时所以极限不存在(3) lim. zz 1 z(1 z2)f (z)的极限不同z i=1z iimlim1 2 !1 z(1 z )-imlimz 1 z(i

3、 z)(z i) z 1z解:z(i z)(4)limzz 2z z 2z 1解：因为zz2z z 2z21(z 2)( z(z 1)(z所以limz4.讨论下列函数的连续性:xy2 2 ，(1) f(z) x y0,0,0；解：因为帆f(z)(xj!m(0,0)若令y=kx，则J%xy2 2x yxy2，yk2 ,1 k lim Re(z)；因为当k取不同值时，f (z)的取值不同，所以f( z)在z=0处极限不存在.z=0外连续.从而f (z)在z=0处不连续，除(2) f (z)3_x y4xz 0,z 0.3x y卜42x y2|0,解：因为0x2ly22所以J%f(0)f(z)1)2

4、解:3z 8 f (z).5z 7f (z)除外处处可导，且53(5z7)(3z 8)5(5z27)612 .(5z 7)x f (z)xix y解:因为f (z)y i(x y)x iyi(x iy)(X iy)(12 2x yi)z(1 i) 1zz2所以f(z)除z=0外处处可导，且f (z)(12zi)所以f(z)在整个z平面连续.5. 下列函数在何处求导并求其导数n 1(1) f(z) (z 1)( n 为正整数)；解：因为n为正整数，所以f (z)在整个z平面上可导f (z) n(z 1)n (z 1)2(z22z3 5z2 4z 3.z 22(z 1)(z1)解：因为f (z)为

5、有理函数，所以f (z)在(z 1)(z 2 21) 0处不可导.从而f (z)除z 1, z i外可导.2 2(z 2)(z 1)(z1) (z 1)(z 1)(z1)6. 试判断下列函数的可导性与解析性(1)f(z)2xy2ix y;解:u(x,y)2xy,v(x,y)2y ,u2xy,xy所以要使得uvxy只有当z=0时,2x y在全平面上可微.vvxy,xxyu_vy x从而f (z)在z=0处可导，在全平面上不解析(2) f(z) x2 iy2.解：u(x, y)x2,v(x,y)2y在全平面上可微uuvv2x,0,0,2yxyxy只有当z=0时,即(0,0)处有上上，-u上.x y

6、 yy所以f (z)在z=0处可导，在全平面上不解析.f(z)2x3 3iy3;解:u(x,y)2x3,v(x,y)3y3在全平面上可微.u2uv2v6x ,0,9y ,0xyxy所以只有当.2x .、3y时，才满足C-R方程从而f(z)在2x 3y 0处可导，在全平面不解析. f(z) Z z2.解：设 z x iy，贝U f (z) (x iy) (x iy)2 x3 xy2 i( y3 x2y)u(x, y) x3xy2,v(x,y)32y x yu c 22uav cv c 23xy ,2xy,2xy,3y xxyxy所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f (z)在z=0处可导，处

7、处不解析7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数(1) f (z) 0；证明：因为f (z)0 ,所以0, 0.x yx y所以u, v为常数，于是f (z)为常数 f解析证明：设f (z) u iv在D内解析,则u(v)uvxyxyu(v)vyxyuvu vxyy x而f(z)为解析函数，所以,x y y xVVVVUUVVc所以，即0xxyyx y x y从而V为常数，u为常数，即f (z)为常数(3) Re f (z)=常数.证明：因为Ref (z)为常数，即u=C, 0x y因为f(z)解析，C-R条件成立。故 丄 上 0即u=C2x y从而f(z)为常数.Im f(z)=

8、常数证明：与(3)类似，由v=C得丄丄0x y因为f(z)解析，由C-R方程得 0,即u=C2x y所以f(z)为常数5. | f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|= C,对C进行讨论若 C=0，则 u=0, v=0, f (z)=0 为常数.若 C 0，贝y f(z)0,但 f (z)帀 C2，即 u2+V2=C则两边对x, y分别求偏导数，有2u -u2vV0,2u V 2v0xxyy利用C-R条件，由于fl:z)在 DI内解析，有uVuVxyyxuV0uV所以xx所以0, 0uV0xxVuxx即u=C,v=G,于是f(z)为常数arg f (z)=常数证明：arg f (z)=常数，

9、即 arctan C ,uvuvuuv0uv 0得xxC-R条件txxvuvuuv0uv 0yyxx解得-uvu0，即卩u, v为常数，于是f (z)为常数xxyy8.设 f(z)=m$+nx2y+i( x3+lxy2)在 z 平面上解析，求 m,n,l 的值解:因为f (z)解析，从而满足 C-R条件uu2n xy,3 mynxxyv2 2v3x ly ,lxyxyuvn 11xyuvn3,l3myx所以n 3,l3,m1.于是(v/u)21(v/u)2 v uu (u v )X2# 2u (uX vyvu.u (u v )yyu (u9.试证下列函数在z平面上解析，并求其导数(1) f (

10、z)= x3+3x2yi-3 xy2- y3i证明：u( x,y )= x3-3 xy2, v(x, y)=3x2y- y3在全平面可微，且23x23y6xy,v6xy,x23x23y所以f(z)在全平面上满足 C-R方程，处处可导，处处解析uv22222f (z)i 3x 3y 6xyi 3(x y 2xyi) 3z .xxxxv(x, y)=ex(ycosy xsin y)处处可微，且(2) f (z) e (xcosy ysin y) ie (ycosy xsiny).uxxe (x cos yysin y)xe (cos y)xe (xcosyysin y cos y)ue ( xsi

11、n ysin yy cos y) eX(xsinysin yy cos y)yvxx ,xxe (ycos yxsin y)e (sin y)e (ycosyxsiny sin y)vxxe (cos y y( siny)xcos y)e (cosyysin yxcosy)y所以uv5uv证明：u(x, y) ex(xcosy ysin y).xyyx所以f (z)处处可导，处处解析.f (z)i e (xcosy ysin yx xxe cosyzecosy) i(ex(ycosy xsiny sin y)z xexie sinziyey x(excos yz)ez(110.设 f3i x2

12、 2x y0.xxxie sin y) iy(e cosy ie sin y)z 0.z 0.求证：(1)f (z)在z=0处连续.f (z)在z=0处满足柯西一黎曼方程.f (0)不存在.证明.(1) y叫 f(z)x,yim0,0u x, yiv x, y而 x,yim0,0ux,yx,yim0,03x2x y3 x xxy 2x y33xy-22xy3x23xlim 2x,y 0,0 x2同理 x,yim0,03仝0 y33Z02 20x yx,ylim0,0 f (z)在z=0处连续. 考察极限lim丄也z 0z当z沿虚轴趋向于零时，1 lim y 0iyf iy f 0当z沿实轴趋向

13、于零时，lim - f x x 0x它们分别为z=iy，有1 y 1lim2y 0iy yz=x,有满足C-R条件.当z沿y=x趋向于零时，有33f x ix f 0,0x 1 i x 1 i ilimlimx y 0 x ixx y 0 2x 1 i1 ilim -不存在.z 0 z即f (z)在z=0处不可导.11.设区域D位于上半平面，D是D关于x轴的对称区域，若 f(z)在区域D内解析，求证F z f z在区域D内解析.证明：设f (z)= u(x,y)+i v(x, y)，因为f (z)在区域D内解析.所以u(x, y), v(x, y)在D内可微且满足 C-R方程，即 ,.x y

14、y xz u x,yiv x, yx,yi x, y，得u x,yu x,yu x, yxxyyyv x,yvx, yv x, yxxyyy故0 (x, y), (x, y)在D内可微且满足 C-R条件从而f z在D内解析13. 计算下列各值(1) e2+i=e ? e =e ? (cos1+isin1)e3e3cos7tisin7te3_Jix iyRex2y22Re exx22iRe ex2y2cosisincos e2x iy 丨 le le2xiy2x 2iy2xe e ef (z)=z+ez 的极限.14. 设z沿通过原点的放射线趋于R点，试讨论解：令 z=rei 0,对于 0 ,

15、z时，r故 lim reererir cos isi nlim re er所以lim f zz15. 计算下列各值.(1) In2 3i=ln .13iarg23iIn .13 i n arctan?(2) In3 .3i ln 2 3 iarg33i ln 2.3 i n ln 2.3 -i6 6(3) ln(e i )=ln1+iarg(e i )=ln1+i=i(4) In ie In e iarg ie 1 i16. 试讨论函数f (z)=| z|+ln z的连续性与可导性.解：显然g(z)=| z|在复平面上连续，In z除负实轴及原点外处处连续.设 z=x+i y, g(z) |z

16、|x2 y2 u x, y iv x, yu x,y.x2 y2,vx,y 0在复平面内可微.ux122 x1y2 2 2xxuy，22x yy2 2.x yvv00xy故g( z)=| z|在复平面上处处不可导.从而f (x)=| z|+ln z在复平面上处处不可导. f (z)在复平面除原点及负实轴外处处连续.17.计算下列各值.(1)1 i1 ieln1i e1 i In 1 i1 i eIn _2n 2k n4In .： eyniIn 2i-2k n44Iny n2k ni ? In 2e4e 4In 二 e亍n-42k nncos In 2isinnIn 24422kn ne 4nc

17、os 一In .2isinnIn 244(4)18.(1)In 3 -5 e5 In 3 ee5ln3i n 2knJ5 In3 戸n 2k nx iln3cos 2kisin2kcose52kisin7ti ln12kn. 5eln1iln12kn2k ne2knInInIn12k n2k n2k n en2knne42k n2k nne42knncos-4isinne42kn计算下列各值cos n5i5ii n 5iin 5 ech 5sin1 5i5ii 1 5i ecos1isi n12ie 5 cos12iisi n12i55sin1.e eicos12tan 3 isin 3 i

18、cos 3 ii 3 i i 3 i e e2ii 3 i i 3 i e e2isin6 isin 2222 ch 1 sin 32sin z212iey xieyxisin x ch yi cosxshy2-2.22.2sinxch ycos xsh y2 sinxch2 ysh2y2 cos x2 sin xsh2 y2 sinxsh2 yarcsin iiln山i2iIn 1暑iIn近1i2kni In 21 i n 2knk 0, 1,Li 1 i 1 2i丄lnIn21 i 1 2i2,1ik n arcta n 2 -ln 524(6) arctan 1 2i2 1 . i551

19、9.求解下列方程(1) sin z=2.1J解：z arcsin2 In 2i . 3i In 2. 3 iii In 2.3 2k - n21 _2k n iln 2 . 3 , k 0, 1Lnln 2 i 2k n3 ez 1 3i 0解：ez 1, 3i 即 z ln 1. 3iln 2 2k - n320.若 z=x+i y，求证(1) sin z=sin xchy+icos x? shyi x iyx yi ie e2iy xi e证明:izi ze e sin z2ii. eyxi2i In z ni2解: I nz ni2即z2 . ei z In 1 i0解：z In 1 ii In2 i n 2k n In 241 . 2k n.4sin x ch y i cosx.sh y(2)cos z=cosx? chy-isin x? shy证明：iz eiz e1i x yi ei x yi ecosz221yxi