基本不等式解题方法

1、基本不等式应用1 11.若x0，则x+K2 (当且仅当x =1时取“=”)；若x cO，则x + J 2 (当且仅当x = 1时取“=”)xX若 XH0，贝y X+1x2即x+：2或x +丄-2 (当且仅当a = b时取“=”XX2.若ab .0,则a . b 2 (当且仅当a =b时取“=”) b a若ab = 0，则a bab_2即2或-2baba当且仅当a = b时取“=”)3.若a,b R，则(9 P)2空？ (当且仅当a = b时取“=”)2 2注:( 1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”

2、(2) 求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值例1 :求下列函数的值域2 1C1) y= 3x 2+ 应(2) y=x+ x22T - 6值域为6 , + R)(2)当 x 0 时,1当 XV 0 时，y= X+1=2;=2值域为(一a, 2 U 2 , +8)解题技巧： 技巧一：凑项5彳例1 :已知x，求函数y =4x2 1 的最大值。44x -5解:凑项,因4x-5：0,所以首先要“调整”符号，又(4x_2) 1 不是常数，所以对4X-2要进行拆、4x -5151(1 x,i:x5

3、-4x 0, . y =4x-2-5-4x-3 -2 3 h44x5I54x 丿ymax 二 1。当且仅当5-4x 1 ，即x =1时，上式等号成立，故当5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当一-：匚：.时，求y二x(8 -2x)的最大值。解析：由L 二-知，二：，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。 注意到2x (8 -2x) =8为定值，故只需将y =x(8 -2x)凑上一个系数即可。 厂進2工)=扣i (8七鸥(生导与 =8当;= -，即x= 2时取等号 当x= 2时，y=x(8-2x

4、)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3变式：设0 ： x，求函数y = 4x(3 -2x)的最大值。2x3解：t 0 ： x /. 3 - 2x 02“4唇22唇2心221|0,3 j时等号成立。 2丿3当且仅当2x =3-2x,即x =4技巧三：分离2例3.求y=x 7x 10& . _1)的值域。X十1x+ 1)的项，再将其分离。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(叶1)+5A + 1_+7x + 10 _ (x + 1)2 +5(x + l)+4一 4不十1当二：- 1 ,即一：时，y _2

5、 (x 1) 4一5=9 (当且仅当 x= 1 时取“=”号)。Vx+1t=x+ 1，化简原式在分离求最值。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令2 2(t -1)7(t -1)+10 t 5t 4 丄 4y= = t _ 5t当 -),即 t= + .、I 时，讨 _25=9 (当 t=2 即 x= 1 时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y = mg(x)B(A 0, B 0) , g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g(x)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇

6、等号取不到的情况，应结合函数f (xHx -的单调性。x例：求函数y =-x 5二的值域。Ux2 +4解：令 .X2二t(t 一2)，则 y = X二57x7、X2 4J =t .t2)J x2 + 4 t11因t 0,t1，但t 解得t - -1不在区间tt1(2, 二，故等号不成立，考虑单调性。因为y二t -在区间1,匸：单调递增，所以在其子区间(2,为单调递增函数，故所以，所求函数的值域为5：2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时,x的值.2x +3x+1(1) y =A (叮)1,(x 0)(2)y = 2x , x 3 (3) y = 2sinxx 3变式:技巧七、分析：因条件和

7、结论分别是二次和一次，故采用公式F面将x,2+ ;分别看成两个因式:2 呼2已知0 ：x .1,求函数y二.x(1-x)的最大值.；3 0 ：. x 2 3a 3b =23b =6当3a =3b时等号成立，由a，b=2及3a =3b得a=b=1即当a=b=1时，3a - 3b的最小值是6.1 1变式：若log4 x log4 y = 2，求的最小值 并求x,y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x 0, y 0 ,且1，求x y的最小值。x y错解：* x 0, y a0，且+ =1，二 x + y = 11 十？ l(x

8、+y )色2_9 2jxy =12 故(x+y )min =12 x yx y xy 1错因：解法中两次连用基本不等式，在x 2 xy等号成立条件是x = y，在丄._9_2 &等号成立x y Y xy19条件是即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Tx0,y0,19=1，. x y Ex y 19 =y9x10 _6 10=16xylxy 丿 xyy 9x1 9当且仅当时，上式等号成立，又1，可得x=4,y=12时，x，ymin=16 xyx y(1)若x, y R且2x，

9、y=1，求1 .1的最小值x y已知a,b,x, y R 且a - 1，求x y的最小值x y2 已知x, y为正实数，且x 2 + ； = 1求X 1 + y2的最大值.2 2 a + b abw 同时还应化简,1 + y 2中y2前面的系数为 1 , X.1 + y 2 = x(谚丐)2 x 2+今+12 = 2 24 即 xj1 + y 2 = 2 x 2 + 专技巧八：已知 a, b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的

10、途径进行。1y= ab的最小值.一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不等式，对本题来说， 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式，再用单调因已知条存30 2b法一：a =b+1由 a 0得，0v bv 152t 2+ 34t 311 vtv 16, ab =30 2bab=ZT b=2 b2+ 30bb+ 1令 t= b+1,2 (t+ )+ 34 V t + 2 : t = 8/ ab 18当且仅当t= 4，即b = 3, a= 6时，等号成立。法二：由已知得：令 u= abab w 3 2,30 ab = a + 2b - U2 + 2 2 u 30 18a + 2b 2 2

11、ab30 ab 2 2 ab5 2 w u0, b0, ab (a + b) = 1,求a+ b的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧九、取平方的最值.a 2+ b 22，本题很简单5、已知x, y为正实数，3x+ 2y= 10,求函数 W= 3x + , 2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a + b2 W.3x + ,2y w 2( . 3x ) 2+( ,2y ) 2 = ,2 , 3x+ 2y = 2.5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。W0, W2= 3x+ 2y+ 2

12、 3x ,2y = 10 + 2 3x 一2y w 10+ ( 3x )2 ( 2y )2 = 10+ (3x+ 2y)= 20 Ww 20 = 2 5变式：求函数y = 2x T * 5 -2x(1 ： x ： 5)的最大值。2 2解析：注意到2x -1与5 - 2x的和为定值。y2 = ( . 2x -V .5 - 2x)2 =4 2 (2x _ 1)(5 _2x)乞 4 (2x-1)(5 - 2x) = 8又y0,所以0 ： y乞2、2当且仅当2x T=5 - 2x，即x = 3时取等号。故ymax二2 2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用基本不等式。应用三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式xy_m恒成立的实数 m的取值范围。x y19, x y9x9y,10y9x,解：令 x y =k,x 0, y . 0,1，1.1x ykx kyk kx ky10312。 k