的数列通项公式的求法种

1、最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较 难。而作为给出数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列 通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二. 公式法 利用等差数列或等比数列的定义求通项 若已知数列的前项和S与绻的关系，求数列仏的通项5可用公式 n = 1 n2 求解. (注意：求完后定要考虑合并通项) 求数列“”的通项公式. 例2.已知数列“”的前项和S”满足S=2+(-l)n,/zl. 已知数列an的前/I项和S”满足S” =/72+/7-1,求数列an 的通

2、项公式. 已知等比数列&”的首项=1,公比0vgvl,设数列“的通项为 乞=行+%2,求数列 他的通项公式。 解析：由题意，g=%2+%3, 乂是等比数列，公比为q .竺,故数列仇是等比数列，b严心+為=吋+酗曲+ 1), 仇。”+1 + %2 ： bn =q(q+l)q =q(q+) 三、归纳猜想法 如果给出了数列的前儿项或能求出数列的前儿项，我们可以根据前儿项的规律，归纳猜想 出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。 四、累加(乘)法 对于形如勺心=山+ /(“)型或形如| = f(n)an型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n时的所有的递推关

3、系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。 例4.若在数列”中，=3, n+| =an+n ,求通项“”。 例5.在数列”中，5=1, an+l =2nan ( n e N ),求通项勺。 五、取倒(对)数法 a. %=吒这种类型一般是等式两边取对数后转化为al+l=pall+q,再利用待定系数法求解 b、数列有形如/(“”,卫,“_) = 0的关系，可在等式两边同乘以一，先求出丄，再求得心. C、如一八U.解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为严M+ gSM +h(n) 例6.设数列%满足a】=2, an+1 =-(n丘N),求an. ” + 3 例7设正项数列仏满足如=1

4、,冷=2二 22).求数列仏的通项公式. 解：两边取对数得：log?=l + 21og严，log? + l=2(log；z + l),设化=log? + l, 则 = 2bn_,血是以2为公比的等比数列，/?, = log*+l = l. bn=x2-* = 2-*, log? +1 = 2n_, log? = 2W-1, an= 22_，_, 变式： 1、已知数列%满足：at=-,且%=3叫-1(沦2, n e N*) 22an-1+ n1 求数列%的通项公式； 2、若数列的递推公式为=3,丄=丄-2(/?eN),则求这个数列的通项公式。 % an 3、已知数列aj满足a = Vn2时，-均

5、=，求通项公式。 4、已知数列仏满足：%4=1,求数列仏的通项公式。 3+1 5、若数列/中，a产1,込+产用N+，求通项監. S + 2 六. 迭代法 迭代法就是根据递推式，釆用循环代入计算. 七、待定系数法： 1、通过分解常数，可转化为特殊数列j+k的形式求解。一般地，形如J+广p j+q (pH 1, pqHO)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a”|+k二p (j+k)与原式比较 系数可得pk2q,即k二从而得等比数列a”+k。 卩-1 例9、数列j满足引二1,勺二!勺+1 JM2),求数列勺的通项公式。 2 说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列碍一2,从而

6、达到解决问 题的目的。 练习、1数列%满足a,=l, 3厲田+-7=0,求数列勺的通项公式。 2、已知数列”满足=1,且a”+ = %” + 2,求 2、递推式为如=/“+严(p、q为常数时，可同除严，得毎=上绍+ 1,令 q q q hn =绍从而化归为如=m (p、q为常数)型. 例10.已知数列%满足a】=1 , an =3 +2% (n 2).求心 解：将=3+2%两边同除3”，得字=1+辛L今芽=1 +扌笋 设仇诗，则咕1+|几令仇 = = 3.条件可化成仇3 = ?(虹厂3),数列bn -3是以,-3 = -3 = -为首项， ?为公比的等比数列.-3 = -x(-)-*.因亿=工

7、， 3333 A a” = bn3” =3n(-|x(I)- + 3) = g = 3n+, - 2n+2 . 3、形如 an+l = pan + an + b (p 羊 1、O, a H 0) 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 a“+i + xn +1) + y = p(an + xn + y),与已知递推式比较，解出x, y,从而转化为an + xn + 是 公比为p的等比数列。 例 11：设数列“： a =4,an = 3n_, + 2n-l,(n 2),求a”. 解：令 4+i + x(n +1) + y = 3(冷 + xn + y) 化简得：+2x/? + 2y-

8、x 2x = 2(x = 1 所以b-x = T 解得b = 0,所以an+I + (n +1) = 3(a + n) 乂因为+l = 5,所以数列+切是以5为首项，3为公比的等比数列。 从而可得山+心5 x严,所以 = 5 x 3f 4、形如 an = pan + an2 + Z?z? + c (/? h 10 a H 0) 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 an+l +x(n + l)2 + y(n +1) + c = p(an +xn2 + yn + c),与已知递推式比较,解出x,y, z. 从而转化为an + xn2 + yn + c是公比为p的等比数列。 例 12

9、:设数歹ij%： Oj = 4,an = 3an_x + 2n2 -l,(n 2),求a”. A：不动点法，形如% 叫+ q 解法：如果数列心满足下列条件：已知q的值且对于/7EN,都有严竺匸乞(其中小 + h q、工、方均为常数，且必工,心0,“严丄)，那么，可作特征方程x = !L,当特征方程 rrx + h 、 有且仅有一根心时，贝叽一1,是等差数列；当特征方程有两个相异的根州、无时，则 M-兀 J 竺二4是等比数列。 例15：已知数列满足性质：对于N,%= )二,且绚=3,求陽的通项公式. 2。” + 3 九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，LI的是代换后出现的整

10、体数 列具有规律性。 例6已知数列”满足严丄(1 + 4陽+J1 + 2%),纠=1,求数列%的通项公式。 16 解：令五，则 = 一 1) 故科=右(切：+1 -1)，代入曲=+丿+ 24%)得 石+i -l)= U【l + 4可一 1)+如 即 4為=($+3)2 因为亿页；20,故/=/ + 24厲+|0 I3 则2+3,即化*产許+亍 1可化为乞+1 - 3 =牙(仇一 3), 所以化-3是以也-3 = J1 + 24 -3 = (1 + 24x1-3 = 2为首项，以*为公比的等比数列, 因此化亠2(小严,则T严+3,即严页(扩+3,得 1 H o 3 评注：本题解题的关键是通过将J

11、iT页；的换元为化，使得所给递推关系式转化 勺屮=丄乞+。形式，从而可知数列-3为等比数列，进而求出数列仇-3的通项公 2 2 式，最后再求出数列”的通项公式。 例18. 已知数列心满足 解析：站寺吨, ,=cos： ”2心3 .n兀 = cos , 5 = cos 622-3 总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用 等差(或等比)数列的通项公式求其通项。 十.双数列 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用鬆加、躍乘、化归等方法求解。 例19.已知数列仏中，5=1；数列血中，勺=0。当心2时， an - -+ bn_), bn = - (_! + 2仇

12、_),求 an, bn. 解：因+叽=扌(2“心+殆)+ | a_x + 2/治)=+勺I 所以+bn =勺.+ 仇-=-2+勺一2=。2 +4 =a +A =1 (1) 又因为a” -bn = |(2n_, +m |g/,1_i+2Z?_1)=|(_i-/9h_1) 所以-叽=|(an_i -bn_) =(l)2an_2 -b_2)=() =($叫即5-化= =($“(2) 由、(2)得：“,冷1 + (扩,/7n=ll-(|)n-,J 十一、周期型解法：由递推式计算岀前儿项，寻找周期。 例20：若数列仏满足如 则0的值为 2”,(0an ) 2dn - an V 1) 变式：(2005,湖

13、南，文,5) 已知数列心满足0 =0,匕+=(n v TV J，则仏二() +1 A. 0B. -V3C. V3D. 2 十二、分解因式法 当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得务 例 21.已知 f(x) = (x-1)4,(x) = r (x-1)3,(r OJ),数列%满足=2,陽=1 (用 N ), 且有条件(” 一%) g(-1) + /(_!)= 0,求a”(n M2). 解：111得： (為 一an_!)r-(% -1)3 + (n_i -1)4 = 0.即(_)-l)3r(on -%) + (% -1) = 0 对门丘 N , an Hl,故心-1) = 0.合并同类项得:勺=- + -_再由待定系数法得： r r an 一1 =(n-1 _1). r r i 心=1 + (严. 十三、循环法 数列有形如f(%2, %2”)= 0的关系，如果