魏宗舒版概论3.2

1、一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布 三、小结三、小结 3.2连续型随机变量 性质性质 . 0)(,)1( xpx对对任任意意的的 .d)()(12 xxp 证明证明 .d)()(xxpf 1 ( ), ( ), ( )( )d , ,( ) ,. x f x p xx f xp tt p x 设 为随机变量，为 的分布函数 若存 在非负函数使对于任意实数有 则称 为连续型随机变量 其中称为 的概 率密度函数 简称概率密度 一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质 1.定义定义 1 1 xxpsd)( 1 s xxp

2、s x x d)( 2 1 1 xxp x d)( 2 证明证明 .d)(xxp x x 2 1 1221 ()()pxxfxfx xxp x d)( 1 1 x 2 x x xp 0 )( 2 1 1221 ( )( )( ) x x p xxf xf xp x dx ) 3 ( ).()(,)()(xpxfxxp 则有则有处连续处连续在点在点若若4 ( )paf a,d)(xxp a 1papa xxpxxp a d)(d)( )(1af xxpxxp a d)(d)( .d)(xxp a 同时得以下计算公式同时得以下计算公式 注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取

3、连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即 0.pa 证明证明 pa. 0 由此可得由此可得 xxp xa a x d)(lim 0 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p abpab .p ab 0 .pa 1.设设 为为连续型随机变量连续型随机变量 ， 是不可能是不可能 事件事件,则有则有 0,pa2 . 若 a是 不 可 能 事 件 0.pa 若若 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意 连连 续续 型型 离离 散散 型型 a则不能确定是不可能事件 a若 ,03, ( )2x 2 ,34, 0,. (1); (2); (3)17 2.

4、 kxx p xx k p 设 随机变量具有概率密度 其它 确定常数求的分布函数 求 解解 ,d)()( 11xxp由由 例例1 (2)1 6k由知 的概率密度 6,03, ( )22,34, 0, xx p xxx 其它. , 1d) 2 2(d 3 0 4 3 x x xkx得得. 6 1 k解之得解之得 0 3 03 0,0, d ,03, 6 ( ) d(2)d ,34, 62 1,4. x x x t tx f x tt ttx x ( )( )d x f xp tt 由得 2 2 0,0, 12,03, ( ) 324,34, 1,4. x xx f x xxx x 即 (3)17

5、 2p(7 2)(1)ff 41 48. 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布 1 , ( ) 0, ( , ), ( , ). axb p xba a b u a b 定义设连续型随机变量具有概率密度 其它 则称在区间区间上服从均匀分布 记为 1. 均匀分布均匀分布 boa xp )( 概率密度概率密度 函数图形函数图形 0, ( )() (), 1,. xa f xxabaaxb xb 分布函数分布函数 x o )(xf a b 1 均匀分布分布函数图形均匀分布分布函数图形演示演示 例例3 设随机变量设随机变量 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现 对对

6、 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值 大于大于3 的概率的概率. 分布密度函数为分布密度函数为 ., , )( 其它其它0 52 3 1 x xp 设设 a 表示表示“对对 的观测值大于的观测值大于 3 的事件的事件”, 解解 即即 a= 3 . 2 yp. 27 20 因而有因而有 设设y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数, 则则 ., 3 2 3by 3 2 1 3 2 2 3 203 3 2 1 3 2 3 3 ( )3p ap由于 , 3 2 d 3 1 5 3 x ,0, ( ) 0,0. 0, . x e

7、x p x x 定义设连续型随机变量的概率密度为 其中为常数 则称 服从参数为 的指数 分布 2. 指数分布指数分布 指数分布密度指数分布密度 函数图形函数图形演示演示 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如 无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿 命等都服从指数分布命等都服从指数分布. 应用与背景应用与背景 分布函数分布函数 . 0, 0 , 0,1 )( x xe xf x 指数分布分布函数图形指数分布分布函数图形演示演示 例例4 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 服从参数为服从参数为 =1

8、/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时) (1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以 上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以 上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. ., , )( 00 01 2000 1 x xe xf x 的分布函数为的分布函数为解解 (1)1000p10001 xp )1000(1f .607. 0 2 1 e (2)20001000p 2000,1000 1000 p p 2000 1000 p p 12000 1100

9、0 p p )1000(1 )2000(1 f f .607. 0 2 1 e 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”. 2 2 () 2 2 1 ( ), 2 ,(0), ,( ,). x p xex n 定义设连续型随机变量的概率密度为 其中为常数 则称 服从参数为 的正态分布或高斯分布 记为 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征 ;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ; )(,)( xpx 2 1 2取取得得最最大大值值时时当当 ;)(,)(03 xpx时时当当 ;)4(处处有有拐拐点点曲

10、曲线线在在x ; ,)( ,)6( 轴作平移变换轴作平移变换着着 只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变 的大小时的大小时改变改变当固定当固定 x xp ;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x . , )(,)7( 图形越矮越胖图形越矮越胖 越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变 图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定 xp 正态分布密度函数图形正态分布密度函数图形演示演示 正态分布的分布函数正态分布的分布函数 te xf x t d 2 1 )( 2 2 2 )( 正态分布分布函数图形正态分布分布函数图形演示演示 正态分布是最常

11、见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如 测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算 te xf x t d 2 1 )( 2 2 2 )( px ? 原函数不原函数不 是是 初等函数初等函数 方法一方法一:利用利用matlab软件包计算软件包计算(演示演示) 方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分

12、布查表计算 ).1, 0(, ,1, 0),( 2 n n 记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正 这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为 , 2 1 )( 2 2 xex x 标准正态分布标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为 .,d 2 1 )( 2 2 xtex x t 标准正态分布的图形标准正态分布的图形 2 ( ,),(0,1). n n 若则引引理理 证明证明 的分布函数为 px px px ,d 2 12 2 2 )( x t te 得得令令,u t px x u u

13、ed 2 1 2 2 ),(x (0,1). n 故 解解 2 ( ,),.n p cd已知求例例5 ( )( )p cdf df c . c d 分布函数分布函数概率密度概率密度 三、小结 2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 x ttpxfd)()(.连续型随机变量连续型随机变量1 均匀分布均匀分布 正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布) 指数分布指数分布 解解 1 xxpd)(由由 , 1d 0 3 xke x , 3 k得得 ., , )( 00 03 3 x xe xp x 得得 xxpxpd)(. . 10 10 xe x d3 1 . 0 3 .7408. 0

14、 3 ,0 ( ) 0,0. ,0.1. x kex p x x kp 的概率密度 并求 例例1 备份题 随机变量 试确定常数 0, ( )arcsin, 1,. :(1),; (2); 2 (3). xa x f xabaxa a xa a b a pa 设连续型随机变量 的分布函数为 求系数的值 随机变量的概率密度 例例2 ),(lim)(xfaf ax 故有故有 解解 (1) 因为因为 是连续型随机变量是连续型随机变量, ( )lim( ), xa f af x ,)(连续连续所以所以xf a a baarcsin a a baarcsin即即ba 2 , 0 ba 2 , 1 . 1 b ., 1 ,arcsin 1 2 1 , 0 )( ax axa a x ax xf所所以以 , 2 1 a解之得解之得 ) 2 (af 0) 2 arcsin( 1 2 1 a a 6 1 2 1 (2) 2 a pa )( af . 3 2 )()(xfxp (3 )的 概 率 密 度 ., 0 ,1 22 其其它它 axaxa 2 (0,5), 4420 . xx 设 在上服从均