基于Gardner位定时同步算法综述

1、 1.1 位同步算法 在软件无线电接收机中， 要正确的恢复出发送端所携带的信号， 接收端必须 知道每个码元的起止时刻， 以便在每个码元的中间时刻进行周期性的采样判决恢 复出二进制信号 43 。信号在传播过程中的延时一般是未知的，而且由于传输过程 中噪声、多径效应等影响， 造成接收到的信号与本地时钟信号不同步， 这就需要 位同步算法， 恢复出与接收码元同频同相的时钟信号。 正确的同步时钟是接收端 正确判断的基础， 也是影响系统误码率的重要因素； 没有准确的位同步算法， 就 不可能进行可靠的数据传输，位同步性能的好坏直接影响整个通信系统的性能 44 。实现位同步算法的种类很多，按照处理方式的不同可

2、分为模拟方式、半数字 方式和全数字方式如图 3-10 所示。 采样器 本地时钟 a) 采样器 本地时钟 b) c) 图 3-10 位同步算法模型 Fig.3-10 Bit Synchronous Algorithm Model 本地时钟 图 3-10(a)模型为全模拟位同步实现技术，通过在模拟域计算出输入信号的 位同步定时控制信号去控制本地时钟，对信号进行同步采样。图3-10(b)模型为 半模拟同步模型，该模型的主要思想是通过将采样后的信号经过一系列的数字化 处理，提取出输入信号与本地时钟的偏差值， 通过这个偏差来改变本地时钟的相 位达到位同步。 (a)(b)两种方式都需要适时改变本地时钟的相

3、位，不利于高速数 字信号的实现且集成化程度较低。图 3-10(c)为全数字方式的位同步是目前比较 常用方法， 全数字方式的位同步算法十分适用于软件无线电的实现。 该方法通过一个固定的本地时钟对输入的模拟信号进行采样， 将采样后的信号经过全数字化 的处理实现同步；采用此种方法，实现简单，且便于数字化实现，对本地时钟的 要求大大降低。本次设计主要分析了基于内插方式的 Gardner定时恢复算法。 1.1.1 Gardner 定时恢复算法原理 Gardner 定时恢复算法是基于内插的位同步方式，全数字方式的位同步算法 模型中，固定的本地采样时钟不能保证能在信号的极值点处实现采样， 所以需要 通过改变

4、重采样时钟或输入信号来实现极值处采样 45-46 。Gardner定时恢复算法就 是通过改变输入信号的方式实现， 利用内插滤波器恢复出信号的最大值再进行重 采样，算法原理如图 3-11 所示。 x(mTs) D/A 模拟滤波器 模拟信号 y(t) h(t) 输入信号 输出信号 y(kTi ) 采样时钟 Ti 图 3-11 Gardner 定时恢复算法原理 Fig.3-11Gardner Timing Recovery Theory 输入信号为离散信号 x(mTs)，采样率为 Ts，符号周期为 T，重采样时钟为 Ti， 这里的重采样时钟周期 Ti=n*T(n 为一小整数 )。 Gardner 定

5、时恢复算法的基本思 想就是，输入信号 x(mTs)经过一个 D/A 器件和一个模拟滤波器 h(t)，将数字信号 恢复为模拟信号 y(t)进行重采样，得到同步的输出信号 y(kTi)。插值滤波器模型 中包含了虚拟的 D/A 变换和模拟滤波器，但是只要具备下面三个条件，则内插 完全可以通过数字方式实现。 输入采样序列 x(mTs) 内插滤波器脉冲响应 h(t) 输入采样时间 Ts 和输出采样时间 Ti 也就是说，图中的 D/A 以及模拟滤波器都可以通过设计数字内插滤波器的方式 实现。这里 Ts和 Ti 为固定的两个变量， Ts/Ti不一定为整数，为表示出它们之间 的变换过程，通过换算得到 Ti和T

6、s的关系如公式 (3-4)所示 Ti kTi Ts(kTi ) (mk uk)Ts(3-4) mk为比值的整数部分，可看做一个基本指针，表示了本地重采样时钟Ti 对采样 率为 Ts的输入信号的整数倍重采样时刻，而 uk 为比值的分数部分，指示了滤波 器对输入信号的插值时刻。 一种典型的 Gardner定时恢复算法结构框图如图 3-12 所示。 图 3-12 Gardner 定时恢复算法模型 Fig.3-12Gardner Timing Recovery Model 符号速率为 T 的模拟输入信号 x(t)经过本地固定时钟周期 Ts采样后变为离散 信号 x(mTs)(Ts与 T 满足奈奎斯特基本

7、采样定律) 。经过插值滤波器得出的值送 入定时误差检测器得出输入信号与本地时钟的相位误差 (n)，再通过一个环路滤 波器滤除其中的噪声及高频成分， 将得到的值 e(n)送入数控振荡器计算出整数采 样时刻 mk 和插值滤波器插值点位置 uk从而得到定时输出 y(kTi)。 从图 3-12 中可以看出一个完整的定时恢复算法主要由定时误差检测器、环 路滤波器、 数控振荡器和插值滤波器组成。 其中环路滤波器与前一章中载波同步 算法的环路滤波器设计方法相同。这里主要介绍其他模块的设计方法。 1.1.2 定时误差检测器 定时误差检测器采用一种非数据辅助的误差检测算法 (Gardner 定时误差检 测算法

8、)，内插后的信号每个符号内需要两个重采样点，一个点对应信号的最佳 采样点；另一个为最佳采样点中间时刻的内插值。定时误差计算公式为： (n) y (n 1/2) y (n) y(n 1) (3-5) 式中，(n)为定时误差检测值； y(n)为信号的采样值； n 为第 n个符号，输出 信号的周期为 Ti。由(3-5)式可以看出， Gardner 算法只需要每个符号周期内的两 个采样值，因此取 Ti=T/2 即可满足算法要求。 定时误差检测算法示意图如图 3-13 所示。 采样点 y(n-1) 中间采样点 y(n-1/2) 采样点 y(n) a) 中间采样点 y(n-1/2) 采样点 y(n-1)

9、采样点 y(n-1) 中间采样点 y(n-1/2) 采样点 y(n) 采样点 y(n) b) c) 图 3-13 定时误差检测 Fig.3-13 Timing Error Detecter 该算法具有明显的物理含义。 在没有定时误差时， 如果有符号转换， 则平均 的中间采样点应该为零。 反之，中间采样点的值不为零， 其大小取决于定时误差 的大小，或者说中间采样点的值表示了定时误差的大小， 但它不能表示定时误差 的方向(超前或滞后) 。为了表示定时误差的方向，算法考虑中间采样点两边判 决点的差值。如果有符号转换， 则该差值的符号就表示了定时误差的方向。 这样 两者的乘积就完全确定了定时误差的大小

10、和方向。 如果没有符号转换， 则两边采 样点的差为零，此时不能获取定时信息。图 3-13(a)中表示了当本地采样时钟与 插值滤波器输出值同步时， 定时误差检测器的采样值； 同步时， 两个极值采样点 均为最大值，中间采样点的值为 0，这时环路滤波器的输出值为 0 表示本地时钟 已经与信号同步。 (b)图中，表示本地时钟超前的情况，本地时钟超前，则在中 间采样点的值为正，表示本地时钟比信号超前，需要内插滤波器向后插值。 (c) 图中，表示本地时钟比信号滞后， 滞后的结果是中间时刻采样点的值为负， 需要 内插滤波器向前进行插值处理。 1.1.3 NCO 模块设计 对于数控振荡器 NCO 的设计，由于

11、 NCO 只是用于计算插值点的有效位置， 也就不需要采用在 ROM 表中预存输出波形的采样值。 可以根据输入信号来实时 产生输出信号脉冲和差值点。 NCO 计算原理如下图所示 度深器存寄OC 图 Fig.3-14 3-14NCO原理图 NCO Schematic Diagram NCO 用于对以 Ts 为采样时钟的输入信号进行抽样。因而 NCO 的工作时钟 与输入信号的工作时钟一致也为 Ts，而生成的重采样周期应该与输入信号的符号 率同步为 Ti。每次 NCO寄存器溢出一次则表示要执行一次重采样操作。 每次 NCO 寄存器过零点的时刻 (mk+1)T s便是内插滤波器进行一次运算的时刻 (总是

12、位于内 插估计点位置的后一个 Ts整点采样时刻)。NCO 寄存器深度为 1，假设当前样点 mkTs 时刻 NCO 寄存器的值为 (mk)，环路滤波器输出的控制字为 W(mk)，表示每 次递减的步进为 W(mk)，用差分公式可表示为 (mk 1) (mk) W(mk ) mod1 当 (mk)W(mk)时，就表示下一个符号周期即将到来， NCO 也将产生一次过零点，寄存器的值模 1后的值设为下一个符号周期 NCO 的初始值。从图 3-14 经过几何分析不难得出： uk(1 uk) (mk ) 1 (mk 1) 从而得到分数倍插值位置 uk 为： uk (mk )(mk) 1 (mk 1) (mk

13、 ) W(mk) 通过精确的除法运算， 就可以实时的得到分数间隔值 uk，这样，内插滤波器 的控制参数也就通过 NCO 完全提取出来。 1.1.4 插值滤波器设计 Gardner 定时恢复算法中的插值滤波器主要作用就是通过输入信号x(mTs)与 采样点 mk与分数插值点 uk 来实时生成与本地时钟相位相同的信号。插值滤波器 输入信号 x(mTs)与输出信号 y(kTi)的关系可表示为： I2 y(kTi) y(mk uk)Tsx(mk i)TshI (i uk)Ts(3-6) i I1 式中，I1、I2 决定插值滤波器的抽头系数， hI为插值滤波器的冲激响应。 mk、 uk 由数控振荡器 (N

14、CO)提供，mk决定内插器的整数倍插值位置， 它以重采样时钟 触发方式体现。 uk 控制小数倍插值位置直接送给插值滤波器 ,控制插值点的位置。 输出的定时恢复信号的性能主要与插值滤波器的设计方式有很大的关系， 下面就 来具体分析插值滤波器的实现方法。 插值滤波器的实质是对信号经过低通滤波器后再重采样的过程。 考虑理想插 值情况，根据 Shannon定理，采用理想插值可以由带限的输入信号 x(t)的抽样值 x(mTs) 精确得到 x(t) 在任意时刻的值，即 x(t)x(mTs)sinc (t mTs) / Ts (3-7) k 其中 si nc( t/Ts) si n(t /Ts) t/Ts

15、(3-8) 2112TTss (3-9) 它的频域表达式为 Ts, H(f) 0, 因而，内插后的序列 x(kT i)可表示为： x(kTi)x(mTs ) sin c( kTi mTs) / Ts (3-10) k 由于理想的内插滤波器是非因果系统， 它需要无穷多个信号样值点， 物理上 具有不可实现性。 因而，将理想插值滤波器的脉冲响应进行截断， 并根据最优化准则逼近最佳性能。内插滤波器可以通过不同的截断函数得出无穷多种内插函 数，但都必须遵守线性相位的条件， 即参与插值的采样点数为偶数。 常用的内插 滤波器包括：两点线性内插滤波器、立方内插滤波器、分段抛物线内插滤波器。 这里主要讨论立方插

16、值滤波器的原理和实现结构 立方插值滤波器是多项式的插值滤波器的一种， 它是基于 4 点样值的拉格朗 日函数 N2 y(t)Ci x(N2 N1 i) (3-11) i N1 N2 t t j 这里 Cij ，这 里 N=4，那么 N1=N/2=2，N2=N/2-1=-1 从而得出 i j N1,j i ti tj 立方插值滤波器的时域表达式为： 2Ts tTs Ts t 0 0 t Ts(3-12) 2Ts tTs 其他 32 (t/Ts)3 /6 (t/Ts)2 11(t/Ts)/6 1, 32 (t/Ts)3 /2 (t/Ts)2 (t/Ts)/2 1, 32 h(t)(t /Ts)3/2

17、 (t /Ts)2 (t/Ts)/2 1, 32 (t/Ts)3 /6 (t/Ts)2 11(t/Ts)/6 1, 0, 化令 t=(i+u)T s,则可得 h(t)的系数 Ci(u)为： C 2 (u) (u 1)(u 1)u 6 1 3 1 u u; 66 C 1 (u) (u 1)(u 2)u 2 1 u3 1u 22 u; (3-13) C0(u) (u 1)(u 21)(u 2) 2 1 3 2 uu 2 12u 1; (u 1)(u 2)u 1 3 1 2 1 C1(u)u u u; 6 6 2 3 对多项式滤波器的实现结构，可采用 Farrow 结构实现 47 。该结构不必实时

18、计算抽头系数，只需要根据当前时偏 u，经过如公式 (3-13)的少量计算，就可以 得到内插滤波器的系数实现内插。表 3-2 给出了立方插值滤波器的系数表。 图 3-15 立方插值滤波器 Farrow 结构实现框图 Fig.3-15 Cubic Interpolation Filter Farrow Realize Structure 表 3-2 立方插值滤波器 Farrow 结构实现系数 Tab.4-1 Cubic Interpolation Filter Farrow Realize Structure Coefficient i l 0 1 2 3 -2 0 -1/6 0 1/6 -1 0

19、 1 1/2 -1/2 0 1 -1/2 -1 1/2 1 0 -1/3 -1/2 -1/6 x mT 通过表 3-2 可以看出， Farrow 结构的插值滤波器实现， 每计算一个内插值只 需要传送一个变量， 即内插估计点值 u，并通过简单的计算直接求出内插点的值， 而不需要计算中间滤波器的系数 （系数为固定值 ）。图 3-15 给出了立方插值滤波器 的 Farrow 结构实现框图。 1.1.5 Simulink 算法仿真及性能分析 经过以上分析，在 matlab 中构建了一个 BPSK 信号的定时恢复模型，符号 速率为 2MHz，固定采样时钟为 20MHz ，插值滤波器采用线性插值算法，系统

20、 中加入的信噪比为 30dB，0.0001 的环路滤波器等效噪声带宽。得到 Gardner 定 时恢复算法的 Simulink 仿真图如图 3-16 所示。 图 3-16 Gardner 定时恢复算法 Simulink 仿真模型 Fig.3-16Gardner Timing Recovery Simulink Simulation Model 图中 In2 为信号输入，经过插值滤波器模块后，用原始的 NCO 生成的本地 时钟进行采样和定时误差提取，再将误差值通过 LF（环路滤波器模块）后，计 算出小数插值点 uk 的值反馈回去控制插值滤波的小数插值点，改变输出信号的 相位从而使经过插值滤波器后

21、的输入信号的相位与本地时钟的相位相一致， 达到 同步的目的。 图 3-17 同步前信号的星座图 Fig.3-18 Planisphere After Synchronization 图 3-18 同步后信号的星座图 Fig.3-17 Planisphere Before Synchronization Fig.3-19 Timing Recovery Simulation Result 以一个 BPSK 信号为信号源，图 3-17 中显示了信号在未同步时信号的星座图， 从图中可以看出未同步经过采样后的星座图左右来回摆动。 而经过位同步后的星 座图如图 3-18 所示，图中采样出的两个点为两个稳

22、定在 0.6 的两个点，这表示 经过同步后的采样信号已经能够在极大极小值处实现采样。 位同步采样信号波形 如图 3-19所示，图中第一个波形为 NCO 生成的同步时钟， 第二个波形为需要同 步的 BPSK 信号，从第三个波形中可以看出， 同步时钟对信号的采样值均能在极 值点处实现采样，再经过一个简单的判决处理即可恢复出原始的二进制信号。 下面观察 Gardner定时恢复算法中插值滤波器插值位置 uk 的变化情况，它直 接反应了整个系统的同步情况。由于 uk为 Ti/Ts的小数部分，而 Ts/Ti有多种情况 当 Ti与Ts的比值为整数时，小数偏差 uk收敛为稳定的常数， 如图 3-20(a) 所

23、示。 当 Ti与Ts的比值不成比例，且为一有理数时， 小数偏差 uk是周期性变化 的，如图 3-20(b)所示。 当 Ti与Ts的比值不成比例，却为一无理数时， 小数偏差 uk为非周期性变 换的波形，如图 3-20(c)所示。 a) b) c) 图 3-20 uk 输出波形 Fig.3-20uk Output Waveform 位同步算法的性能评价标准与载波同步的性能评价标准基本相同， 分为相位 误差、同步建立时间、 同步保持时间以及同步带宽。 这里的相位误差主要是指由 于输入信号的相位与本地时钟的相位不同， 所以需要调整本地时钟的相位来达到 与输入信号相位相一致的目的， 从而实现同步。 不同

24、的位同步算法的相位误差误 差各不相同。 1.1.6 减小定时抖动的方法 Gardner定时恢算法在实现位同步后， 小数插值点 uk 将稳定于一个固定的波 形上。实际的信号在加性高斯白噪声信道 (AWGN )中传输，受信道噪声的影响， uk 将沿着固定波形上下随机变化，这个变化一般被称为定时恢复环路的定时抖 动。若单靠环路滤波器滤除带外噪声来减少定时抖动， 要求环路滤波器的等效噪 声带宽减小，使环路的捕获时间将相应的增加 48-51 。如何在不改变环路滤波器等 效噪声的情况下， 减小定时抖动是本文所要讨论的主要问题。 定时抖动主要是因 为输入信号中叠加有噪声，如果能在环路中通过乘以一个很小的环路

25、系数(小于 1)，其他参数不变， 只改变环路中的噪声系数， 那么就可以减小定时抖动。 从而， 在相同的环路滤波器等效噪声带宽的条件下，减小了环路的定时抖动。 在定时恢复环路中，通过 NCO 中输入频率控制字的倒数 与当前相位累加 (3-14) 器的值 (mk)计算出小数插值点 uk 的输出计算式 uk(mk ) 存在噪声的情况下 =+ +no,其中 oTi/Ts表示存储于 NCO 内部的频率控制 字初始值的倒数， 为经环路滤波器后的误差输出值， no为 NCO 的输入噪声， 实现定时恢复后 =0，则 =+no将 带入 (3-14)式有 (3-15) uk ( 0 n0) (mk)0 (mk )

26、 no (mk) 式中， o(mk)是无噪声情况下 uk 的值 no(mk)为噪声项，也即引起定时抖动 的原因。如果能在不改变 o(mk)的情况下，改变 o(mk)的大小，就可以减小 uk 的定时抖动。然而若减小 (mk)的值，则也会 o(mk)相应的改变，这将影响定时 恢复，所以只有减小 no 的值才能在不影响定时恢复的条件下减小定时抖动 ,如何 在固定的输入信噪比条件下减小 NCO 的输入噪声是较小定时抖动的关键。根据 数控振荡器( NCO)中的小数间隔 uk与 NCO 相位累加器的几何关系 (3-16) ukTs(1 uk)Ts (mk) 1 (mk 1) 式中， (mk+1)示下一个时

27、刻 NCO 相位累加器的值，将公式 (3-15)带入公式 (3-16)并化简可推导出 NCO 相位累加器值的计算式 (mk 1)(mk ) 1 1 0 no (3-17) 由式 (3-17)可以看出， NCO 相位累加器的值是一个通过迭代算法计算出来 的，根据迭代算法传递函数的计算方法可以得出第 mk 时刻相位累加值，即当前 通过过零点产生 uk 时刻相位累加器的值为 1 (mk ) (0) (1 ) (3-18) mko no (0)为相位累加器初始时刻的值， 由公式(3-18)可知，无噪声的情况下， (mk) 的值只与初始时刻相位累加器的值与累加的次数有关。再将公式(3-18)带入公式 (

28、3-15)可以得出 uk 11 uk o (0) o (1 ) no (0) no (1 ) (3-19) mko nomko no 通过对公式 (3-19)进行分析可知，uk 输出值的大小与 NCO 中相位累加器的初 始值 (0)、频率控制字的倒数 o、迭代次数 mk 以及输入噪声大小有关。当输入 信号的符号速率 T与本地时钟周期 Ts确定后， o为定值， (0)是 NCO 初始化的 值也为定值。因而，要减小输出 uk的定时抖动，可以想到通过减小输入 NCO 中 噪声 no 的幅值来实现。 根据 Gardner 定时恢复算法的原理框图知道， Gardner定时误差检测后的信 号经过环路滤波器

29、输入 NCO 调整 mk、uk 的值，实现定时恢复。无噪声条件下的 符号同步后的定时误差检测器输出为 0，环路滤波器输出也相应为 0；存在噪声 时，环路滤波器的输出则为噪声信号， 也即是引起定时抖动的来源。 如果我们能 在环路滤波器输出后， NCO 输入前加入一个小于 1 的环路系数。那么，将环路 滤波器的输出与之相乘，输入 NCO 中的噪声将会成倍的减小。从而达到减小定 时抖动的目的。 首先分析环路系数对 uk 的方差即定时抖动大小和实现定时恢复所需要的点 数的影响。如图 3-21 所示，由图中可以看出 uk的定时抖动随着环路系数的增加 而逐渐增大， 但系统定时恢复点数却随着系数的增大逐渐减

30、小。 综合定时抖动与 定时恢复两个方面可以得出当环路系数在 0.10.3 之间时，定时抖动与定时恢复 点数都能取到一个相应较小的值。 定时 恢复点 数 Uk的 方差 0.09 8000 7000 6000 5000数 点 4000复 恢 3000时 定 2000 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 环路系数 0.08 0.07 0.06 0.03 0.02 0.01 差 方 0.05 的 U 0.04 1000 Fig.3-21 uk Variance 图 3-21 环路系数与 uk 方差和定时恢复点数关系图 The Relationship Between Loop Coefficient and 因而，环路系数的选择并不是越小越好， 由于在定时恢复阶段， 环路滤波器 输出的误差信号也与之相乘，将会影响 NCO 中 mk、uk 的调整速度，影响整个定 时恢复的速度。之后的仿真分析中选择添加 0.1 的环路系数。图 3-22、图 3-23 比较了没有添加环路系数和添加 0.1的环路系数后环路滤波器的输出和 uk 的输出 波形的收敛情况。 0.8 0.7 0.5 0.4 0.2 0.1 5 10 15 5