有限元在传热学中的应用讲解

1、有限元在传热学中的应用温度场的有限元分析摘要：热分析在许多工程应用中扮演着重要角色。有限元法是热分析中常用， 高效的数值分析方法。利用有限元法可以求解传热学中温度场的重要参数，在材料成型中，在铸造这一块有着重大意义。1有限元法的应用：有限元法是随着电子计算机的发展迅速发展起来的一种现代计算方法，首先在连续力学领域一一飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后也很广泛用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续问题。 在传热学中，如果导热物体的几何形状不规则， 边界条件复杂，很难有解析解。解决这类问题的最好办法就是数值解法，而数值解法中最具实用性和使用最广泛的就是有限单元法。2、有限

2、元数值解法的基本思路：将连续求解区域减走势只在节点处相连接的一组有限个单元的组合体，把节点温度作为基本未知量，然后用插值函数以节点温度表示单元内任意一点处温度，利用变分原理建立用以求解节点未知量（温度）是有限元法方程，通过求解这些方程组，得到求解区域内有限个离散点上的温度近似解， 并以这些温度近似解代替实际物体内连续的温度分布。随着单元数目的增加，单元尺寸的减少。单元满足收敛要求。近似解就可收敛于精确解。3、有限元数值解法的基本步骤有限元法在工程实际中应用的广泛性和通用性， 体现在分析许多工程问题是，如力学中 的位移场和应力场分析， 传热学中的温度场分析， 流体力学中的流场分析， 都可以归结为

3、给 定边界条件下求解其控制方程的问题， 虽然各个问题中的物理性质不同， 却可采用同样的步 骤求解。具体步骤为（1）:结构离散。（2）:单元分析。（3）：整体分析。（4）:边界条件处 理与求解。（5）:结果后处理。有限元分析实际问题的主要步骤为：建立模型，推倒有限元方程式，求解有限元方程组，数值结果表述。4、用于传热学的意义有限元法作为具有严密理论基础和广泛应用效力的数值分析工具，近年来，以由弹性平面问题扩展到空间问题，板壳问题。从固体力学扩展到流体力学、 传热学等连续介质力学领 域；它在工程技术中的作用， 已从分析和校核扩展到优化设计。并和计算机辅助设计相结合，形成了完整的计算机辅助设计系统。

4、它解决了传热学中边界条件复杂或呈非线性，有均匀内热源等传统方法无法求解的问题。温度场方程热传导过 程的 饰 微 分方程三维热傅里叶热传导微分方程为二ox2或中 门-导温系数，a = cpV2拉普拉斯运舁符号一维传热：art=a上述偏微分方程式是传热学理论中的最基本公式，适合于包括铸造、焊接、热处理过程在内的所有热传导问题的数学描述，但在对具体热场进行求解时，除了上述偏微分方程外， 还要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化并且也随时间变化的温度场。T = f（x,y,z,t）稳定温度场：温度场不随时间变化。 （即温度只是坐标的函数）T = f(x,y,

5、z)对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。?初始条件：初始条件是指物体开始导热时（即t = 0时）的瞬时温度分布。?边界条件：边界条件是指导热体表面与周围介质间的热交换情况。?常见的边界条件有以下三类：第一类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系几=/（0第二类边界条件：给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系刃-=y. z.t）O n第三类边界条件：给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数?上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。根据传热学原理，根据热平衡得一般导热微分方程dQG Q /(7(71cpdxdvdzdt (&

6、-) + (ir+ (A_ -)dxdydzdt4- pQdxdvdzdt6t ax 8x qycz Sz片”整理得8Tdz)-P(? = 0满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场， 必须知道物体初始瞬态的温度分布，即初始条件，称为第一类边界条件T(x.y,z.t)=Tx.y.z)同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即边界条件，有三类边界条件。 i三维瞬态热传导方程及边界条件ClC 才、Cl v Q # f / v C r%7乓.| *cpx )-(k )-(k=)-pQ = Q 在。内 ct ex ex cv cy cz cz2、二维稳态热传导方程及边界条件若

7、无内热源则方程圆圈内的项不存在，方程退化为二维无内热源稳态热传导方程。? 1、泛函与变分?函数y=f(x)求y的极值，即求微分，由dy=O可得。?泛函 J=J y(x)极值，即求变分，由函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的泛函，求泛函的 S J=0 可得。泛函变分大致有如下三个步骤(1) 找一任意光滑连续函数 w它满足7(1)= 0(2 8)(2) 取一参变量6它可以在不太大的正负范围内变化*为使 问题简单，令e与工无关”设,(工)为待求的极值曲线，则yd) y(x) + 7-| Ik = （T（i-T）在上可以推出：cnT（x,y）,设k为常数求满足平面温度场方程及边界条件的温

8、度场ST eVcv* 2 CXST k-aTa-T）CHi在匚上据变分原理，此问题等价于求泛函JT（x,y）的极值函数，参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛函：丿厂（羞）二 fjj（舟）+（等）炖处+厂-o（TaT）d:求解域内部温度求解域边界部分温 度场相应的泛函（图含有边界的单元，称为边界单元，任取一个单元i,j,k,01）3、温度场单元分析?图示求解域离散为若干三角形单元, 如图1。（图2）场相应的泛函A、温度差值函数：厂（工,丿）=a +a2x-a3yT（xty） = NTe 呵 + N& + N仇N、二-（% +a: + qj） ijk轮换2A在边界线（如ij）上的任一点

9、的温度T，可用两个端点的节点温度线性插值表示：B、单元温度刚度矩阵设单元只有三节点温度，jk为边界，将温度插值函数代入前述的泛函，并求导得极值条件:r jr ef Tn rf nnC Jc r t r oT C gT、 dx dTdx)dxdycv上式第一部分为内部单元的温度刚度矩阵Ty) = Ng)” +NJ(x9yTJ+Nm(x9y)Tn(ai十切工+ qy) ij：k轮换2Ad QT、 g b()= = 可得：上式第一部分为内部单元的温度刚阵：0严 型_ qFF Tv _ 24莎=(/V + 冈 +(晌 十5Cj)Tj + (b.bk + qq)兀对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮

10、换，记为矩阵形式:4Abf + cf btbj + cCjb2叽 + q hjbk + 勺 q 斥+C：第二部分同样记为矩阵形式:as;LFfri0ias,仃K / . J/ T J1 T2 aJas.I 2 J0= hTY-pY6asl T两部分相加可得边界单元的温度刚阵：（町+刃丁）附-何即可P呼3、整体温度场方程为n个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节点m的所有单元求和，如图， 节点5,则绕节点5的单元为1，2, 3，而其它单元不含节点 5，即它们的泛函对 T5的偏导数为0， 可不考虑。即：cJ df dJ- dJ3刚阵计算；如单元 2为内部单元，则按 内部单元如单元1，3为边界单元，则按边界单元 刚阵计算。?如此整理可得整体代数方程组：11 %h : * *Px h叽*W=pT:未知节点温度列向量。H :整体温度刚度矩阵。P:节点温度载荷列向量。解上述代数方程组可得平面稳态温度场各节点的温度值。对于其他带热源的