电磁场电磁波第2版答案

1、电磁场电磁波第 2 版答案 【篇一：电磁场与电磁波答案 (第四版)谢处方】给定三个矢量 a、b 和 c 如下： a?ex?ey2?ez3 b?ey4?ez c?ex5?ez2求：（ 1）aa；（2）a?b ；（3）a?b ；（4）?ab ；（5）a 在 b 上的分量；（ 6）a?c ；（7）a?（8）(a?b)?c 和 a?(b?c) 。 (b?c) 和(a?b)?c ； 解 （1）aa?e?e2?e3a?ex?ey?eza（2）a?b?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4? （3）a?b?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)? 11a?b?1 5 ，得

2、?cos?()?135.abab8a?b （5）a 在 b 上的分量 ab?aco? ?sab?bexeyez（4）由 co?sab? （6）a?c?1 2?3?ex4?ey13?ez10 0?2ex5exey ez1?ex8?ey5?ez20 ez 5（7）由于 b?c?0?4 0?2eya?b?12?3?ex10?ey1?ez4 0?41所以 a?(b?c)?(ex?ey2?ez3)?(ex8?ey5?ez20)?42 (a?b)?c?(?ex10?ey1?ez4)?(ex5?ez2)?42ex5ex a?(b?c)?1 eyez（8）(a?b)?c?10?1?4?ex2?ey40?ez5

3、0?2ey5ez202?3?ex55?ey44?ez1181.2 三角形的三个顶点为 p(0,1,?2) 、p(4,1,?3) 和 p(6,2,5) 。1 2 3（1）判断 ?ppp 是否为一直角三角形； 123（2）求三角形的面积。解 （1）三个顶点 p(0,1,?2) 、p(4,1,?3) 和 p(6,2,5) 的位置矢量分别为1 2 3r1?ey?ez2 ，r2?ex4?ey?ez3 ，r3?ex6?ey2?ez5 则r12?r2?r1?ex4?ez ， r23?r3 ， ?r?2ex2?ey?ez8r31?r1?r3?ex6?ey?ez7由此可见r12?r23?(ex4?ez)?(ex

4、2?ey?ez8)?0 故?pp 为一直角三角形。 12p3 （2）三角形的面积s?1r?r1r1223?17. 13222 1.3 求 p?(?3,1,4) 点到 p(2,?2,3) 点的距离矢量 r 及 r 的方向。解 rp?ex3?ey?ez4 ，rp?ex2?ey2?ez3 ， 12r则 rp?p?rp?rp?ex5?ey3?ez 且 rp?p 与 x、y、z 轴的夹角分别为 ex?rp?p)?cos?1?32.31? rp?pe? r?y?cos?1(ypp)?cos?1?120.47? rp?pe?r?z?cos?1(zp?p)?cos?1(?99.73? rp?p1.4 给定两矢

5、量 a?ex2?ey3?ez4 和 b?ex4?ey5?ez6 ，求它们之间的夹角和 a 在?x?cos?1(b 上的分量。解 a 与 b 之间的夹角为 ?ab?cos?1(a?b)?cos?1?131? aba 在 b 上的分量为ab?ab?3.532 b1.5 给定两矢量 a?ex2?ey3?ez4 和b?ex6?ey4?ez ，求 a?b 在 c?ex?ey?ezexeyez解 a?b?23?4?ex13?ey22?ez10 ?6?41 上的分量。所以 a?b 在 c 上的分量为 (a ?b)c? (a?b)?c?1?4.4 3c1.6 证明：如果 a?b?a?c 和 a?b?a?c ，

6、则 b?c ；解 由 a?b?a?c ，则有 a?(a?b)?a?(a?c) ，即 (a?b)a?(a?a)b?(a?c)a?(a?a)c 由于 a?b?a?(a?a) cc ，于是得到 (a?a)b 故 b?c 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 a 为一已知矢量， p?a?x 而 p?a?x ，p 和p 已知，试求 x。解 由 p?a?x ，有 a?p?a?(a?x)?(a?x)a?(a?a)x?pa?(a?a)x 故得 x? （2）球坐标中的坐标。 pa?a?p a?a2?1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 (4,（1）直角坐标中的坐标；

7、 ,3)定出，求该点在： 3 解 （1）在直角坐标系中 x?4cos?(?3)?、2y?4sin(2?3)?z?3故该点的直角坐标为 (?。（2）在球坐标系中 ?1?r?5 、?tan?53.1 、?2?3?120故该点的球坐标为 (5,53.1?,120?)25， r2（1）求在直角坐标中点 (?3,4,?5) 处的 e 和 ex ；1.9 用球坐标表示的场 e?er （2）求在直角坐标中点 (?3,4,?5) 处 e 与矢量 b?ex2?ey2?ez 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点 (?3,4,?5) 处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50 ，故e?er 251?2r21 e

8、x?ex?e?ecos?rx?2 （2）在直角坐标中点 (?3,4,?5) 处，r?ex3?ey4?ez5 ，所以2525r?e3?e4?e5e?2?3? rr 故 e 与 b 构成的夹角为间夹角的余弦为 e?b)?cos?1(?153.6? eb1.10 球坐标中两个点 (r1,?1,?1) 和(r2,?2,?2) 定出两个位置矢量 r1 和 r2。证明 r1 和 r2 ?eb?cos?1( cos?cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1?2) 解 由 r1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1 r2?exr2sin?2cos?2?e

9、yr2sin?2sin?2?ezr2cos?2得到 cos?r1?r2 ? r1r2 sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1?2)?cos?1cos?2sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2? 1.11 一球面 s 的半径为 5，球心在原点上，计算：解 ?(er3sin?)?ds?(er3sin?)?erds?s s?(e3sin?)?ds 的值。 rs 2? 22 d?3sin?5sin?d?75?01.12 在由 r?5 、z?0 和 z?

10、4 围成的圆柱形区域，对矢量a?er2?e2z 验证散度定rz理。解 在圆柱坐标系中 ?a? 4 2? 1?(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 又 ?ad?dz?d?(3r?2)rdr?1200? ?s 2a?ds?(er?ez2z)?(erdsr?e?ds?ezdsz)? r?s 42?52?2故有 ?5 00 ?5d?dz?2?4rdrd?1200?00 sa?ds ?ad?1200?1.13 求（1）矢量 a?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3 的散度；（ 2）求?a 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（ 3）求 a 对此立方体表面的积分，验证散度定理。222

11、223?(x)?(xy)?(24xyz) 解 （1）?a?2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?a 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 122112222 ?ad?(2x?2xy?72xyz)dxdydz?24?2?2（3）a 对此立方体表面的积分 1212a?ds?()dydz?(?)dydz? ?22s?2?2?2?222 12122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ?22?2?2?2?2 2 22221313122 24xy()dxdy?24xy(?)dxdy?2224?2?2?2 2 22故有1.14 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分

12、，并求?r 对球体积的积分。2? ? ?ad?1?a?ds?24s? 解?r?ds?r?erds? s s 23 d?aasin?d?4?a?0又在球坐标系中， ?r? 1?2(rr)?3 ，所以 2 r?r 2?a? ?rd?23 3rsin?drd?d?4?a?0002 1.15 求矢量 a?exx?eyx2?ezyz 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求?a 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。22222解?a?dl?xdx?xdx?2 cdy?0dy?8 ex?又 ?a?xxey?yx2ez? ?ex2yz?

13、ez2x ?zy2z22所以?a?ds? s ?(e2yz?e2x)?ex z 00szdxdy?8故有?a?dl?8?a?ds c1.16 求矢量 a?exx?eyxy2 沿圆周 x2?y2?a2 的线积分，再计算?a 对此圆面积的积分。2a?dl?xdx?xydy? 解 ? c c 2? ?a4 ?(?acos?sin?acos?sin?)d?2 4 2 24 ?ax ?a?ds?e(?)?ezds?z?x?yss?ay ?a4 ?yds?rsin?rd?dr?2 2 2 s 00 a2?41.17 证明：（ 1）?r?3 ；（2）?r?0 ；（3）?(a?r)?a 。其中r?exx?ey

14、y?ezz ，a 为一常矢量。解 （1）?r? ?x?y?z?3 ?x?y?z【篇二：电磁场与电磁波课后习题及答案二章习题解答】一个平行板真空二极管内的电荷体密度为 ?4?ud?43x?2 ，式中阴极板位于009 x?0 ，阳极板位于 x?d ，极间电压为 u0。如果 u0?40v 、d?1cm 、横截面 s?10cm2 ，求：（ 1）x?0 和 x?d 区域内的总电荷量 q；（2）x?d2 和 x?d 区域内的总电荷量 q?。d解 （1）q? （2）q? ?43?3 ?d?(?udx)sdx?00?4 9 4?0u0s?4.72?10?11c 3d44?11?4?2?(1?us?0.97?1

15、0c (?udx)sdx?00003d9?d22.2 一个体密度为 ?2.32?10?7m3 的质子束，通过 1000v 的电压加速后形成等速的d ?d?质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为 2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解 质子的质量 m?1.7?10?27kg 、电量 q?1.6?10?19c 。由 12 mv?qu 2得v?1.37?106 s 故 j?v?0.318m2i?j?(d2)2?10?6 a2.3 一个半径为 a 的球体内均匀分布总电荷量为 q 的电荷，球体以 匀角速度 ?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z 轴。

16、设球内任一点 p 的位置矢量为 r，且 r 与 z 轴的夹角为 ?，则 p 点的线速度为v?r?e?rsin? 球内的电荷体密度为?故 j?v?e?q3 4?aq3q?rsin?ersin? ?334?a4?a2.4 一个半径为 a 的导体球带总电荷量为 q，同样以匀角速度 ?绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z 轴。设球面上任一点 p 的位置矢量为 r，且 r 与 z 轴的夹角为 ?，则 p 点的线速度为v?r?e?asin?球面的上电荷面密度为 ?故 js?v?e? 的电场强度。 q 4?a2 qq? ?asin?esin? ?24?a4?a2.

17、5 两点电荷 q1?8c 位于 z 轴上 z?4 处，q2?4c 位于 y 轴上 y?4 处，求(4,0,0) 处解 电荷 q1 在(4,0,0) 处产生的电场为e1?电荷 q2 在(4,0,0) 处产生的电场为 r?r1?4?0r?r1?3q1q2 r?r2?e4?e4e2?4?0r?r2?3 故(4,0,0) 处的电场为 e?e1?e2? e?e?e22.6 一个半圆环上均匀分布线电荷 ?l ，求垂直于圆平面的轴线上z?a 处的电场强度e(0,0,a) ，设半圆环的半径也为 a，如题 2.6 图所示。解 半圆环上的电荷元 ?ldl?lad? 在轴线上 z?a 处的电场强度为 ? e?(ec

18、os?esin?)?在半圆环上对上式积分，得到轴线上 z?a 处的电场强度为 de? e(0,0,a)?de?e?(ecos?esin?)d? zxy?2.7 三根长度均为 l，均匀带电荷密度分别为?l1 、?l2 和?l3 地线电荷构成等边三角形。设 ?l1?2?l2?2?l3 ，计算三角形中心处的电场强度。解 建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 ?题 2.6 图 d? 则l tan30?2 故等边三角形中心处的电场强度为 e?e1?e2?e3? ?l13?l1 (cos30?cos150?)?ey4?0d2?0l 3?l23?l1?e2?(excos30?eysin3

19、0)?(eey)2?0l8?0l3?3?l1e3?(excos30?eysin30?)l3?(eey)l1 2?0l8?0le1?ey题 2.7 图ey 3?l13?l13?l13?l1 ?(eey)?(eey)?ey 2?0l8?0l8?0l4?0l2.8 点电荷 ?q 位于(?a,0,0) 处，另点电荷 ?2q 位于(a,0,0) 处，空间有没有电场强度 e?0 的点？解 电荷?q 在(x,y,z) 处产生的电场为 e1?q ex(x?a)?eyy?ezz2 2 232 4?0(x?a)?y?z 电荷?2q 在(x,y,z) 处产生的电场为2qex(x?a)?eyy?ezz 4?0(x?a

20、)2?y2?z22(x,y,z) 处的电场则为 e?e1?e2 。令 e?0 ，则有ex(x?a)?eyy?ezz2ex(x?a)?eyy?ezz?222322222 (x?a)?y?z(x?a)?y?ze2?由上式两端对应分量相等，可得到 (x?a)(x?a)2?y2?z22?2(x?a)(x?a)2?y2?z22 y(x?a)2?y2?z2?2y(x?a)2?y2?z2z(x?a)2?y2?z22?2z(x?a)2?y2?z22 当 y?0 或 z?0 时， 将式或式代入式，得 a?0 。所以，当 y?0或 z?0 时无解； 当 y?0 且 z?0 时，由式，有(x?a)(x?a)3?2(

21、x?a)(x?a)3解得 x?(?3?a但 x?3a?不合题意，故仅在 (?3a?,0,0) 处电场强度 e?0 。 29 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为 ?。证明：垂直于平面的 z 轴上 z?z0 处的电场强度 e 中，有一半是有平面上半径为3z0 的圆内的电荷产生的。解 半径为 r、电荷线密度为 ?l?dr 的带电细圆环在 z 轴上 z?z0 处的电场强度为r?z0dr 2 2?0(r2?z0)故整个导电带电面在 z 轴上 z?z0 处的电场强度为 de?ezr?z0dr?z01 e?ez?ez22322 2?(r?z)2?0(r2?z0)000? ? ?ez? 2?0而半径为

22、z0 的圆内的电荷产生在 z 轴上 z?z0 处的电场强度为 e?ezr?z0dr?ez222?0(r2?z0)?ez?1?e 4?022.10 一个半径为 a 的导体球带电荷量为 q，当球体以均匀角速度 ?题 2.10 图绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度 b。解 球面上的电荷面密度为 ?q 4?a2当球体以均匀角速度 ?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 r?era 点处的电流面密度为?q e?asin?e?sin?4?a将球面划分为无数个宽度为 dl?ad? 的细圆环，则球面上任一个宽度为 dl?ad? 细圆环?q 的电流为 di?jsdl?sin?d? 4?细圆

23、环的半径为 b?asin? ，圆环平面到球心的距离 d?acos? ，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 233?qasin?d?qsin?d? 00 db?e?e?ezzz 2(b2?d2)328?(a2sin2?a2cos2?)328?a 3?qsin?0?q 0 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 b?ed?ez?0z8?a6?a ?0b2di2.11 两个半径为 b、同轴的相同线圈，各有 n 匝，相互隔开距离为d，如题 2.11 图所示。电流 i 以相同的方向流过这两个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度 b?eb ； x x（2）证明：在中点处

24、 dbxx 等于零；（3）求出 b 与 d 之间的关系，使中点处 d2bdx2 也等于零。x 解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 b?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 b?ex?0ia22(a?z) 2232 ?0nib2(b?d22 2（2）两线圈的电流在其轴线上 x(0?x?d) 处的磁感应强度为 ?0nib2? ?0nib2 b?ex?2?222?2(b?x)2b?(d?x)?22db3?nibx3?nib(d?x) x00 所以 ?dx2(b2?x2)2b2?(d?x)2 故在中点 x?d2 处，有22db3?nibd23?nibd2x00 ?2?0 252222dx2

25、b?d2b?d题 2.11 图 3?0nib2 ? 2252 dx2(b?x)2(b?x) 15?0nib2(d?x)23?0nib2 ?222222b?(d?x)2b?(d?x)225d1dbx 令，有 ?0 ?0227222522x?db?db?d4dx即 5d2?b2?d24dbx15?0nibx （3） ?222222故解得 d?b 2.12 一条扁平的直导体带，宽为 2a，中心线与 z 轴重合，通过的电流为 i。证明在第一象限内的磁感应强度为 bx?0ir2?0i ，b?ln?y 4?ar14?a 细条带的电流 di?式中?、r1 和 r2 如题 2.12 图所示。解 将导体带划分为

26、无数个宽度为 dx? 的细条带，每一idx? 。由安培环路定理，可得位于 x? 处 2a的细条带的电流 di 在点 p(x,y) 处的磁场为?0idx?di?0idx?db?0?4?a(x?x?)2?y222?r4?ar 则 dbx?dbsin?0iydx?2 2题 2.12 图4?a(x?x?)?y?0i(x?x?)dx?dby?dbcos? 4?a(x?x?)2?y2所以?x?a?ix0bx?arcta? ?22?4?a(x?x?)?y4?a?y?a?a?a?x?a?x?x?a?x?a? ?i?0i? ?0?arctan?arctan?arctan?arctan?4?a?4?a?y?y?y?y?i?i?0(?2?1)?0? 4?a4?a aa ?0i(x?x?)dx?0i?0i(x?a)2?y2?0il2 22 by?ln(x?x?)?y?ln?2222 4?ar1?4?a(x?x)?y8?a8?a(x?a)?y?a?a 2.13 如题 2.13 图所示，有一个电矩为 p1 的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为 p2 的电偶极子，位于矢径为 r 的某一点上。试 证明两偶极子之间相互作用力为a ?0iydx?3p1p2 (sin?1sin?2cos?2cos?1cos?2) 44?0r式中?1?r,p1? ，?2?r,p2? ，?是两个平面 (r,p1) 和