勾股定理典型例题归类总结

1、勾股定理典型例题归类总结作者： 日期:9.已知 RtAC 的周长为，其中斜边 ，求这个三角形的面积。10 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广 .(1) 如图 ,以 ABC 的三边长为边作三个等边三角形， 则这三个等边三角形的面积 S1 、 S2 、 S3之间有 何关系？并说明理由。(2) 如图 ,以 A的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、 S3之间有何关系？(3) 如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折 80，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积 之间的关系 , 并说明理由。 (此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙

2、”)题型二 :利用勾股定理测量长度例. 如果梯子的底端离建筑物 9米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米跟踪练习 :1. 如图(8)，水池中离岸边 D点 1.5米的 C 处，直立长 到岸边，它的顶端 B 恰好落到点 ,并求水池的深度 A C2一座建筑物发生了火灾 ,消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 长为 3 米 ,则云梯可以达该建筑物的最大高度是( )A、1米、1米C、14米D、 5米如图，有两颗树 ,一颗高 0米，另一颗高 4米，两树相距 8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行 ( )A、8 米B、10米C、12米D、14米题型三：勾股定理和

3、逆定理并用 1例 3. 如图 ,正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上的中点 ,F 是 B 上一点 ,且 FBAB 那么 DE 是直角三4 角形吗？为什么 ?注：本题利用了四次勾股定理 ,是掌握勾股定理的必练习题。 跟踪练习： 1. 如图，正方形 BCD 中，为 BC 边的中点， F 点 CD 边上一点，且 D =3F，求证： AEF=9例. 如图 4,已知长方形 ABD 中 A=8m,BC=10cm，在边 CD 上取一点 E，将 AE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长 .跟踪练习 :1. 如图，将一个有 45度角的三角板顶点 C放在一张宽为 3cm的纸带边沿上，

4、另一个顶点 B 在纸带的另 边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，求三角板的最大边 B 的长 .2. 如图,在 ABC 中，BC，AB=90,为 AC 的中点， DED,交AB 于E，交C于F，() 求证:BE=CF ；(2)若 =， CF=1,求 EF的长.3如图 ,C=,C E,A=ECD=90,D 为 AB 边上的一点 .若 AD=1 ， D 3，求 CD 的题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例 1 有一个传感器控制的灯 ,安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上 ,任何东西只要移至米以内，灯就自 动打开 ,一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开?跟

5、踪练习 :1.如图 ,每个小正方形的边长都是 1，A 的三个顶点分别在正方形网格的格点上,试判断 ABC 的形状 ,并说明理由 .（）求证： A= ;（2）求的值2.下列各组数中 ,以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A、， ,15 B、 7, 4,5、 , ，(1)a=26， b=10 ， c= 4;(2) =5, = ,c=9 ； (3) a=2,A、2个B、3个C、4 个D、5个5.已知 BC 的三边长为 a、 c，且满足,则此时三角形A、等腰三角形定是 ( )、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形6.在 AB 中，若2a=n 1,b=2n ，2 c=n1,则 AB是 ( )A

6、、锐角三角形B、钝角三角形D、直角三角形、等腰三角形C、钝角三角形7.如图 ,正方形网格中的 ABC 是 (、直角三角形B、锐角三角形8.已知在 ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、，下列说法中 ,错误的是 (A、如果 C-B=A,那么 C 0 、如果 C=90,那么C、如果 (a+)( a) = ，那么 A=90 D、如果 =30，那么 C= BCD、锐角三角形或钝角三角形).在 AB 中，下列说法 B ;； A:B:C=:5;:b:=5:4:3; : ： 1:2:3 ，其中能判断 BC 为直角三角形的条件有( A、个、3 个C、4个D、个4在 BC 中， A 、的对边分别是、 b

7、、判断下列三角形是否为直角三角形?并判断哪一个是直角 ?9.已知 ABC 的三边分别为 a,c，且 +b 3,ab1,，求的值 ,试判断 ABC 的形状 ,并说 明理由10观察下列各式：, , , ，根据其中规律，写出下一个式子为 _ _ _11.已知, n， m、 n为正整数，以,mn，为边的三角形是 _ _三角形 .1一个直角三角形的三边分别为 1,n-1,8 ，其中 n+1 是最大边 ,当为多少时， 三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题 :ABC 内一点， PA=2，PB= 2 3 ,PC，求 AC的边长 .跟踪练习1. 如图 , BC 为等腰直角三角形，BAC= 0 ，、 F 是 B

8、C 上的点 ,且 EAF=4 ，试探究2 2 2BE2、CF 2、 EF 2间的关系 ,并说明理由 .题型七 :关于翻折问题例题 7如图，矩形纸片 BC的边 =1 cm，BC=6cm, 为上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠 ,点 恰好落在 CD 边上的点 G 处，求 E 的长 .跟踪练习1.如图， AD 是AB 的中线,ADC45，把 ADC 沿直线 AD 翻折,点C落在点 C的位置， BC , 求 C 的长（一）折叠直角三角形 .如图,在 BC 中，A = 9,点D 为 AB 上一点,沿 D 折叠 ABC ，点恰好落在 BC 边上的 A处 ,AB=4,AC=3 ，求 D 的长。2. 如图,t

9、BC 中, B= 0,A = , =5将 A 折叠使 C与A重合，折痕为 D，求 BE 的 长（二）折叠长方形1. 如图，长方形 ABC 中,AB=4,BC ，为 CD 上一点,将长方形沿折痕 AF折叠,点D恰好落在 BC 上 的点 E 处 ,求 C的长。2. 如图，长方形 ACD中，AD=8c，AB4cm，沿EF折叠,使点D与点 B重合，点C与C重合 （1） 求 D的长 ;（2）求折痕 EF 的长.3. （01 ?常德）如图,将长方形纸片 AB D折叠,使边 C落在对角线 AC 上,折痕为 CE，且点落在对角线 D处.若AB3,D=4,则 ED的长为（. 如图，长方形 ABCD 中,AB=6

10、,AD=8, 沿 BD 折叠使 A 到 A处 DA交 B于 F点. （1）求证 :FB E （ 2）求证 :CA BD（3）求 DBF 的面积7. 如图,正方形 BCD 中，点在边 C上，将 AD沿 AE 对折至 AF ，延长 EF交边 BC 于点，G为 B的中点 ,连结 AG 、 F. ()求证:GCF；(2)求的值.题型八 :关于勾股定理在实际中的应用 :例 1 、如图，公路 MN 和公路 Q 在 P 点处交汇 ,点 A 处有一所中学， P=1米，点 A 到公路 MN 的距 离为 8米，假使拖拉机行驶时，周围 10米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否

11、会受到影响 ,请说明理由 ;如果受到影响 ,已知拖拉机的速度是 1千米 /小时，那么学校受 到影响的时间为多少 ?例 2.一辆装满货物高为 1米 ,宽 1.5 米的卡车要通过一个直径为 5 米的半圆形双向行驶隧道 , 它能顺利通 过吗？跟踪练习：1. 某市气象台测得一热带风暴中心从 城正西方向 300k处,以每小时 2m 的速度向北偏东 60方向 移动,距风暴中心 200km 的范围内为受影响区域。 试问城是否受这次风暴的影响？如果受影响 ,请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响 ,请说明理由。2. 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如下图的某工厂 ,问这

12、辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?3有一个边长为 50dm 的正方形洞口 ,想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长?（结果保留整数 ）4. 如图,铁路上 A ，两点相距 m， D为两村庄 ,DA B于 ,CB AB 于B,已知 DA=15k , 10km ，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,使得 ,D 两村到 E站的距离相等，则 E站应建 在离站多少 km 处？题型九：关于最短性问题例 1、如右图 1-19，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处 ,它发现在自己的正上方 油罐上边缘的处有一只害虫 ,便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走

13、直线，而是绕着油罐 ,沿一条螺旋路线 ,从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.4,结果保留 1位小数 ,可以用计算器计算）例 2.跟踪练习：1. 如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1 m，假设一只蚂蚁每秒 爬行 2 m，则它从下地面点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？.如图，是一个三级台阶 ,它的每一级的长、宽和高分别等于5c， 3cm和 1cm，和 B是这个台阶的两个相对的端点 ,A 点上有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物 .请你想一想 ,这只蚂蚁从 A 点出发

14、 ,沿着台阶面 爬到 点,最短线路是多少？3. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为8c , c， 12cm，一只蚂蚁想从盒底的 A 点爬到盒顶的 B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗 ?蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4. 如图将一根 3.厘米长的细木棒放入长、 宽、高分别为 4厘米、 3厘米和 12厘米的长方体无盖盒子中， 能全部放进去吗 ?题型十 :勾股定理与特殊角一） 直接运用 30或 5的直角三角形= 90 ， B= 3 ,AD 是 AB 的角平分线，若=2 3 ，求 A的长。2如图，在 B中,A = 9 ,AD 是ABC 的角平分线 ,CDB于, A 30,=,求 B 的长。.如图，在

15、ABC 中， AD C于， = 0， ,C 5， C=2,求BD 的长。二） 作垂线构造 3或 45的直角三角形1） 将 1 5转化为 5和 6,C2,求 C 的长。2. 如图,在四边形 CD中, = = 4，AB=ABC=105,若D=2,求AB 的长;若 B+CD 2 3 2, 求 AB的长。C（ ）将 75转化为 30 和 453. 如图,在中 ,= 45 , A 75， A 6 ,求 C的长。题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程. 如图,在AC 中，C= 0，AD 平分 CB 交C于 D, 3,BD=5,求 AD 的长。2 如图，在 BC 中， D C于 D,且AD=

16、2 BAD, 若 D= ,CD8，求 B 的长。（二）巧用“连环勾”列方程. 如图，在 ABC 中, =5， 7,C 4 2,求 S ABC. 如图,在中 ,AC= 90,CDAB于 D,C=3， C4，求 D的长。4. 如图， ABC 中， ACB=90,CD 于 D，C=3， B =4,求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角不明时需分类讨论1. 在 BC 中， AB=AC ， ，求 C 的长2. 在BC 中，A=1,AC13，AD 为 A C的高，且 AD= 2,求 ABC 的面积。（二 ）腰和底不明时需分类讨论3. 如图 1，C中,C=90,C=,B=8,点D 为射

17、线 AC 上一点，且 AB 是等腰三角形 ,求 ABD 的周长 .（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1.已知直角三角形两边分别为2 和 3，则第三边的长为 2. 在AC中,ACB=90，AC=，B=2，以 AB 为边向外作等腰直角三角形A ,求CD 的长3. 如图， D（2,1） ，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个写出落在 x 轴上的顶点坐标题型十三： 或 问题的证明1.如图 ,ABC 中,A=CB ， C=0,D为A的中点，、 N分别为 A 、 B上一点 ,且 M CM 、C 、 B之间的数量关系式。N. （1）求证： M+CN= BD（2）如

18、图 2,若 M 、N分别在 C、CB 的延长线上，探究.已知 BC =,AD=,CB D. （1）如图 1，若=0，求证 :AB+A = AC ；（）如图 2,若 =90，求证 : B-AD AC；（ ）如图，若=120,=6，求证： AB=AD=AC ；（4）如图3, 若 = =12，0 求证： AB-AD= A；题型十四 : 问题的证明 .如图，OA=B,OD,AO=O=90,M、N分别为 AC、BD 的中点,连MN 、ON求证: ON.已知 BC中， AB A， BC 90,D为B的中点， E=CF,连、 EF （1）如图 1，若E、F分别在 AB、AC 上，求证 :EF= DE; （

19、）如图 2,若 E、F分别在 BA、C 的延长线上 ,则（1）中的结论是否仍成立 ?请说明理由 .如图， ABD 中， O为A的中点， C为DO延长线上一点， ACO=135 ,ODB=45 探究 OD、OC、 AC 之间相等的数量关系 .4. 如图,A 是等腰直角 ,BA=0，BCAD,C=2AB,C平分 BD,交AB 于E，交BD于H求（）D= ；（ ）BE= DH题型十五 : 勾股定理（逆定理 ）与网格画图1.如图 ,每个小正方形的边长为， A、B、C 是小正方形的顶点 ,则 AB 的度数为2如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3， 2 ， ，且三角形的

20、三个顶点都在格点上 .3.如图 ,每个小正方形的边长都是 ,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上4. 在图中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有3 个 .5. 如图 ,在 4个均匀由 16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形,那么这 4 个三角形中 ,与众不同的是 _中的三角形 ,图 4 中最长边上的高为 6. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点 ,以格点为顶点分别按下列要求画图：1）画一条线段 MN，使 MN=;（2）画 ABC, 三边长分别为 3，,2 。7. 如图， 在 的正 方形网格中， 每个小 正方 形的边长均为 1， 线段 B 的 端点在 格点(1 )图 1 中以 AB 为腰的等腰三角形有 _个，画出其中的一个，并直接写出其底边长 .(2)图 2中，以 AB 为底边的等腰三角形有 _ _ _个,画出其中的一个，并直接写出其底边上 的高.2. 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 , B=90， AB=2 ， , D= ,AD 4, 求题型十六： 利用勾股定理逆定理证垂直1.如图,在 A C中，点 D 为边上一点，且 A=0，BD=6,A=8，AC7,其求 CD 的长.