福建省南平市高级中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题

1、福建省南平市高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题命题时间：2020.11.17（考试范围：选修2-1 考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知命题：，则为（ ）a，b，c，d，2、下列命题中，真命题是（ ）a. b.c.的充要条件是= d.是的充分条件3已知双曲线的离心率,且与椭圆有公共焦点,则c的方程为()a. b. c. d.4在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为( )ab c d5在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为()a. b.

2、 c. d. 6已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）abcd7. 设是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）a、 b、 c、 d、 8.已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点，且点的纵坐标为负数，若，则直线的方程为（ ）abc或 d二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，其中正确的结论是（ ）a. b. c.是平面的法向量 d.10.已知双曲线：

3、(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为( )。a、 b、 c、 d、11给出下列命题，其中正确的有( )。a、空间任意三个向量都可以作为一组基底b、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底c、是空间四点，若不能构成空间的一组基底，则共面d、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底12我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )。a、双曲线是黄金双曲线b、若，则该双曲线是黄金双曲线c、若，则该双曲线是黄金双曲线d、若，则该双曲线是黄

4、金双曲线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13抛物线的焦点坐标为_14在空间直角坐标系中，已知，点在轴上，且满足，则点坐标为_15若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是_16、在下列四个结论中，正确的有 (填序号) 动点到两定点的距离之差，且为常数)是点的轨迹是双曲线的充要条件 如果点在运动过程中，总满足关系式，则点m的轨迹是椭圆 “”是“”的必要不充分条件 “曲线为椭圆”的充分不必要条件是“”；四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设命题：实数满足；命题：实数x满足 （）若，且为真，为假，求实数的取值范围；（）若，且是的充分不

5、必要条件，求实数的取值范围18已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点p;（） 求抛物线的标准方程。（）过点作直线与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程.19.已知点和，动点到两点的距离之差的绝对值为2记点的轨迹为 （）求轨迹的方程； （）设与直线交于两点，求线段的长度20如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，为侧棱上一点，且，.（）证明：平面.（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21如图，在长方体中，为的中点（） 求证：.（） 在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由22.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，离心率;（）求椭圆的方程； （）

6、是否存在斜率为的直线与椭圆相交于两点,使得 (为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.南平市高级中学2020-2021学年度第一学期高二年级数学科期中考试试题卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.12345678adbccdcd二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9101112abcbcbcdbcd三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 14(0,0,3) 152a6 16、四

7、、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 10分【解析】（1）若，命题p：；命题q：，则，p为真，q为假，所以x的取值范围为,即（2） q是p的充分不必要条件，命题 p;,命题q：，则，所以或，所以1812分解析：(1)设抛物线的标准方程为x22py，把点p代入可得42p，所以p2，故所求的抛物线的标准方程为x24y。(2)当斜率不存在时，直线方程为x2，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y1k(x2)，即ykx2k1，联立方程可得整理可得x24kx8k40。因为直线与抛物线只有一个公共点，所以16k232k160，所以k1。综上可得，直线l的方程为x

8、y10或x2。19.12分 解：(1)设c(x，y)，则cacb2，所以点c的轨迹为双曲线且2a2，2cab，则a1，b2c2a22，所以轨迹的方程为(2)由，得x24x60，因为0，所以直线与双曲线有两个交点，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x24，x1x26，故=2012分【解析】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接.四边形为梯形，且，即，在中，/又平面，平面，/平面.（2）如图所示，以点为坐标原点，以分别以、为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则，.所以，设和分别是平面和平面的法向量，则，得，令得，即，得，令得，即所以，故平面和平面所成角锐二面角的余弦值为平面.2112分 解：

9、(1)证明：以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.因为011(1)10，所以b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae，此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)因为n平面b1ae，所以n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，所以存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.22.12分【解析】（）由 又因为四个顶点围成的四边形的面积为=，另，得故椭圆的方程为： (2)不存在符合题意的直线.假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,由得,