材料习题解答[第五章](20210319212649)

1、5-1构件受力如图5-26所示。试：（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）d1 ArF（a）（ c）（d）题5-1图解：a） 1） 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。b）1） 危险点的位置：外力扭矩 3T与2T作用面之间的轴段上表面各点;2）应力状态见下图。c）1）危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图d）1 ）危险点：杆件表面上各点;）应力状态见下图a)b)c)d)5-2试写出图5-27所示单元体主应力a 1、a 2和c 3的值，并指出属于哪一

2、种应力状态（应力单位为MPa402050a解：a)b)c)a)b) 题 5-2 图 c)6=50 MPa,二2 =6=0,属于单向应力状态r1=40 MPa,二2=0,二3= 30 MPa,属于二向应力状态6=20 MPa, c2=10 MPa,匕二一30 MPa,属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图 5-28所示(应力单位为MPa。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。20a)解:a)取水平轴为b)3050j 4030 4030* 20b)题5-3图x轴，则根据正负号规定可知:；x=50MPa , ；y=30MPa , x=0, a 二30带入式(5-3 ), (5-4 )得=4

3、5MPa=-8.66MPa取水平轴为X轴，根据正负号规定:x = -40MPa , y=0 ,x =20 MPa , a =120带入公式，得:40 cos240 - 20sin 240 =7.32MPaX二0sin 24020COS240 =7.32MPa2C）取水平轴为X轴，则cx= -10MPa ,二 y=40MPa , x= -30MPa, a =30代入公式得：-10 40-10 -40cos60 -（-30）sin60 =28.48MPa2 2x= 10 40sin 60 -30COS60 =-36.65MPa25-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为 MPa。试用解析

4、法求： 指定斜截面上的应力；（2）主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；（3）最大切应力题5-4图a）b）c）a）解：（1）求指定斜截面的上应力取水平轴为x轴，则X = 100MPa，匚 y=40MPa , X=40MPa,a =45带入公式，得:100 40100 -40cos9022100 _ 40-.=一 si n9040cos90 = 30MPa2-40s in 90 =30 MPa求主应力及其方向，由公式（5-8 ）得:10040按代数值J 一匚2 -匚3得120 MPa20J =120 MPa,二2 =20 MPa,匚3 = 0 MPa由公式（5-7）可求得主应力方向2：0=

5、53.13， :0 = 26.57最大主应力Ci的方向与X轴正向夹角为顺时针26.573)最大切应力由公式(5-20) max 二匸 3 =12 =60MPa 2 2b )解：(1)求指定斜截面上的应力取水平轴为 x 轴，二 X=60MPa , cy= -20MPa ,x= -30MPa, a = -30代入公式得:60 +(-20) 60-(-20)qa 八cos(-60 ) 30sin(-60 )=14.02MPa=60 (20)sin(-60) 30cos(60) = -49.64MPa(2)求主应力及其方向，由公式(5-8 )得：= 60!士 叵S2+(_30)2 = 70 MPa2

6、认 2 丿-30按代数值G _匚2 匚3得6 =70 MPa,二2 =0 MPa,匚3 - -30 MPa由公式(5-7)可求得主应力方向2： 0=36.87，: 0 = 18.43最大主应力二1的方向与X轴正向夹角为逆时针26.57如图所示：3)最大切应力由公式(5-20 ) max = J 7-(3叭 50MPa2 2c)解:取水平轴为x轴，则-x=60MPa，二y=0 , x= -40MPa, a = -150代入公式得:a60 0300) (40)si n(300) =79.64MPa2 2 60 40sin( 300) - 40cos( -300) =5.98Mpa2（2）求主应力及

7、其方向，由公式（5-8 ）得:260 0 2(60-0、2 80i1 +(事0)2= MPa 2 丿 -20按代数值二！ _匚2 _匚3得i =120 MPa, “2 - 20 MPa, “3=0 MPa由公式（5-7）可求得主应力方向2： 0=53.13,:- 0 = 26.57最大主应力-的方向与X轴正向夹角为逆时针26.57 如图所示：3）最大切应力301:20-20由公式（5-20）“3，。-(-20)max2 25-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为 MPa。试用图解法求：（1）指定斜截面上的应力；（2）主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；（3）最大切应力

8、按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：xE =ba=60MPa yE = %=3.7MPa（2）求主应力及其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：XA = ；max=44.14MPa, XB=f= 15.86Mpa按照 g_g_；3得约定，可得三个主应力为：=44.14MPa，二2 =15.86MPa，匚3 =0MPa由D转向A的角度等于20。量得2 ： 0=45 （顺时针）因此，最大主应力与 x轴正方向夹 角为顺时针22.5 o（3）最大切应力等于由 GJ画出的应力圆的半径max=22.07MPab）解：首先做应力圆：其中 D （0, -20 ） D （50,

9、+20）1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从D逆时针量20=90得E点：xE a=5MPa yE 二=25Mpa2）XA = ；max=57MPa XB = f= -7Mpa按照二 1 _ 二2 -I 得二 1 =57MPa,二 2 =0MPa, 3 = -7MPa主应力方向：最大主应力与 y轴夹角为1 . DCA =19.33 （顺）23）最大切应力等于由二13画出的应力圆的半径：ma32MPa（c）解：由图示应力状态可得应力圆上两点D （-20 , 20）和D （30, -20 ）连DD交二轴于C,以C为圆心，DD为直径作圆，即为应力圆，如图所示1） 斜截面与x轴正方向夹角为60

10、（顺），因此由D顺时针量120得E点xE 二二;=34.82MPa,yE 二-=11.65MPa2）主应力及其方位应力圆与二轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：xA = max =37MPaxB=min= -27Mpa因此匚 1 =37MPa,二 2 =0MPa,二3 = -27MPa由D到A的夹角为逆时针38.66 ,因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量 19.33所得截面上的正应力。3）最大切应力为由二6画出的应力圆半径 max =32 MP35-6 一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为 mm试求：（1）梁上各指定点的单元体及其面上的应力；（2）作出各单元体的应力圆

11、，并确定主应力及最大切应力。题5-6图解：1）各点的单元体及应力由梁的静力平衡求得Fa二Fb =250 kNA,B,C三点所在截面上的弯矩 M =250 10B C =14.06 MPa 2）作各单元体的应力圆A 点：cr 1 = 0,cr2 =Q3 =93.75 MPa max=46.875MPaB点：xA=S=3.9MPa xB =b3 =50.7 MPa a 2 = 0，壬 max=27.3MPaC点：xA1 =18.75MPa, xB =：；2 =0，二3= -18.75 MPa， max=18.75MPa5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa

12、0.25 =62500Nm 剪力 Fq =250 kNPa=93.75MPa（压应力）1 2-0.1 0.2二 B A =46.875MPa（压应力） 63250 103=X2 0.1 0.2Pa =18.75MPaa）b）c）题5-7图解:a)主应力二i =50 MPa,由于其它两方向构成纯剪切应力状态,所以有，ma-3=50MPa2b) 一个主应力为50MPa其余两个方向应力状态如图所示crx =30MPa cry= -20MPa，j=20MPa代入公式(5-8)30 (-20)2 _230 -(20)、237I +20= MPa27所以匚 1 =50MPa,二2 =37MPa,二 3 =

13、 -27MPa=6=50 _27max = 38.5MPab) 一个主应力为-30MPa,其余两方向应力状态如图所示取-x=120MPa-y = 40MPa, x=-30MPa代入公式-maxmin12040伽一40】2+(-30)2130MPa30所以 J =130MPa,二 2 =30MPa,二3 =0MPa130 -( -30)2=80 MPa5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力题5-8图解：a) 三个主应力为,二2 3 =0三向应力圆可作如下b) 这是一个纯剪切应力状态 二=叮2 =0,二3 =7其三向应力圆为 max= T三向应力状态：一个

14、主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得 Ci3再由二1门2和二23分别作应力圆 三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力(应力单位为MPa。题5-9图解：画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则匚x二? ,；y=50MPa , x二？，a =30 时二- =80MPa,=0代入式(5-3 ) (5-4 )=80Mpa =0rx=70MPa , x=-10 3 MPa可做应力圆如图所示由应力圆可求的三个主应力分别为-1 =80MPa,匚2 =40MPa,二3 =0MPa最大切应力为 max=40MPa5-10图5-35所示棱柱形

15、单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切应力 t和三个主应力。题5-10图解：画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴则二x=15MPa，二y= -15MPa , x = t，a =135 时二：=0,： =0代入式(5-3 ) (5-4 )=0=0（自然满足）由上式解得.x=15MPa主应力可由公式（5-8 ）求(-佝(-15)一15)-(-15)12+(一15)20 MPa-30因此三个主应力为 ：匚1 =0 ,二2 =0 ,二3 =-30MPamax=k30)=l5MPa5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为 MPa。试画出单元体的受力图，并指出应力圆

16、上A点所在截面的位置a)d)AC200.(TTA(TO-3030TA-(T010170b)A-101050T1730(T200(Te)f)题5-11图5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知： 二=80MPa,；y =40 MPa,=50 MPa0题5-12图解:试求主应力和最大切应力。-x =80MPa，二y=40MPa , x= t ,二：=50MPa, a =60将以上已知数据代入公式（5-3 ）再把;x，二y , . x代入公式（5-8 ）求主应力8040=2280-40、2 80I +02 = MPa2 丿40因此三个主应力为 ：二 1 =80 MPa, - 2 =40 MP

17、a，二 3 =-30MPa-1 -3-m ax=40MPa题5-16图解:5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面a和B上的应力分别为- 40 MPa也=60 MPa； J = 200 MPa,.= 60 MPa。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径R。题5-13图解：已知二 一 =40MPa,；=200MPa, 一 =60MPa, =60MPa由上面两组坐标可得应力圆上两点D,D2,连DD,作其垂直平分线交a轴于C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。由图中几何关系可得圆心坐标C（120,0）半径 R= 602 802 =100K任意两互垂方向的线应变和；。do

18、5-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点试求所受拉力F。已知材料弹性常数 E、v，圆杆直径题5-14图解:围绕K点取单元体，两截面分别沿 和 ”方向。如下图所示由广义胡克定律联求解得，=丄& - ICT% xyEE E ； J我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面 截取根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量 得：又二=FAE ； E ； 1,2所以F二二A=d1 A 45-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30方向的线应变；30 试求外力偶矩T。已知圆轴直径d ,弹性模量E和泊松比v。题5-15图解：围绕K点沿 30方向和与之垂直的方向

19、取单元体如左图由沿横纵截面单元体如右图由公式（5-3、5-4）得:由胡克定律3?WP 二d3T 二163： d 3E ； 30所以6 32415-16 一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为10X 10X 10mrh铝材的弹性模量 E=70GPa v =0.33。试求铝块受到F=6kN的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。F力作用面为一主平面，其上的正应力为二3F 6 1032 MPa = -60MPaA102前后面为自由表面，也为主平面，-1=0由题意知；2 =0由胡克定律；2 = -1二2 -厂卞3所以二2 - 七 3 = 19.8MPa1 1M!-；2 亠3(

20、0-0.25(19.8-60)=376.2 10E200 如01 1 6 ；33 -；！ ；29 (-60 - 0.25(0 -19.8) = 763.8 10E200 109所以M h =376.2 10-6 10 =3.672 10mm5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45方向的正应变 心,空心圆轴外径为D,内外径之比为a。试求外力偶矩T。材料的弹性常数 E、V均为已知。题5-17图解：为王平面，二1二T， J受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45和135 面上主应力取得极大值和极小值，T由胡克定律1；1 = E 6 _3 =石代入化简得匸，；

21、45所以e由受扭圆轴表面上一点剪应力公式T316T 4Wp 江 D(1m )5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45 方向的线应变；45 = 50 1 0 ，材料的弹性模量 E =200GPa, + =0.25。 试求梁上的载荷F之值。K点的应力状态如图所示题5-18图解:又K点有匚3二-，135方向有匚1 =.，代入到胡克定律1 1 .有；30，丘二1 -心3 * *1 JE45 Pa1比轴两式有 F =6000 10 s45=48000N=48kN（1+0.25）5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成 60。方向上的正应变其中t由公式（3-40 ）

22、求得務0 0 = 4. Ox 10 ，直径d=20mm材料的弹性模量 E = 200 X 103 MPa,v = 0. 3。试求载荷F。题5-19图解：A点应力状态如图所示由公式（5-3）由胡克定律又匚=FA所以2 4E 客60 1(3 -門丿12-69-420104 200 104 1043-0.3=37233.7N=37.23 kN5-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时 AB线段长度的改变量。已知：AB原长为a,与轴线成45, B点在中性层上，梁高为h,宽为b,弹性模量为E,泊松比为v，弯矩为M题5-20图求AB的伸长量需先求AB方向的应变，去AB中点位置C其应力状态如图所示，其解

23、:中- =MycIzM 1asi n45匚=2丄bh312由此可求出AB方向及与其垂直方向的正应力由胡克定律5-21用45应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为 0 =-267 X 10-6, 45=-570 X 10-6 及 90 =79 X 10-6。构件材料为 Q235钢，E=210GPa v =0.3。试求主应变，并求出该点处主应力的数值和方向 解:由公式（5-36 ） 可求主应力:2 145909210 10926779 -2 1-0.39210 10 .2 10.3、-267570 2- 570 -79 2 1053.61 106110.01 106Pa53.61110.01MPa由公式（5-34 ）求主应变，在此之前先由（5-33）求x代入（5-34）主应力与主应变同方向：由（5-35 ） : tg20=x9522.75J-%-267-792 a 0=70 , a 0=355-22在某液压机上横梁的表面某点处，用45。应变花测得 0 =51.6 X 10： 45 =169X10-6及 90 =-117 X 10-6。上横梁的材料为铸铁，E=110GPa v =0.25。试求该点处主应力的数值和方向