误差理论和测量平差第十七讲

1、国土信息与测绘工程系 教案（首页）班级：课程： 误差理论与测量平差授课日期：年 月 日第 周A.提出问题，导入新课针对具体问题列出数学模型（函数模型和随机模型），如何解算数学模型, 得到观测量的最佳估值，咋样评定平差的精度？。本章讨论和学习第五章 附有条件的间接平差B.授课早节名称： 8.1基础方程 8.2精度评定 8.3公式汇编和示例 教学要点：1、附有条件的间接平差的计算过程2、精度评定重点：1、附有条件的间接平差的计算过程2、基础方程的形式难点：1、平差的计算方法2、精度估计的计算C.教学过程设计概述附有条件的间接平差的基础方程及其解附有条件的间接平差的计算步骤确定待定条件的个数参数的选

2、择单位权方差各种向量协因素阵的计算需要注意的问题第十七讲第八章附有限制条件的间接平差同学们，我们学习了误差理论的基本概念和测量平差的基本原理-最小二乘原理，并知道根据具体的问题如何来建立函数模型（条件平差、间接平差、具有参数的条件平差和附有 条件的间接平差等）。本次课程我们将详细地叙述附有条件的间接平差的处理。在一个平差问题中，如果观测值的个数是n，必要观测次数是 t，则多余观测数是r -t。在进行间接平差时，所选取的参数的个数是必要观测次数t，并且这t个参数必须函数独立。若间接平差中选取的参数不是函数独立的，而是存在约束条件，则间接平差的理论公式必须进行相应的修改。参数间存在约束条件的情况在

3、测量平差中常会遇到。例如， 经典的三角网平差中，若两个未知点之间有天文方位角时，则坐标改正数之间就不独立了， 而要求平差后该两点之间方位角应等于已知方位角。这时，就需要考虑加入参数间的约束条件来进行平差。 8.1基础方程和它的解在一个平差问题中，如果观测值的个数是n，必要观测次数是 t,则多余观测数是r =n - t。如果在进行间接平差时，除了选择t个函数独立的参数外，又选择了 s个函数独立的参量，则一共有 u =t s参数需要求解，而且这 u个参数必然存在着 s个约束条件。平 差时列出n个观测方程和s个约束条件方程，以此为函数模型进行的平差方法，就是附有条 件的间接平差。在附有条件的间接平差

4、法中，在所列的方程式中，可能有线性的，也有非线性的。当有 非线性方程时，必须将其化为线性化形式。在第七章中已经给出其线性或线性化后函数模型 是：:=B x - l =0n1 nuu1 n1n.1C Wx = 0su u 1 s 1 s 1其中1?= L V，R(B)二 u , R(C)二 s , u ： n , s . u在实际应用中，是以平差值（最或然值）代替真值，残差代替真误差，即E=X+?（ X0仍然为非随机量，I?、V和是随机量）代替 = L+A，X=X0+（X0为参数的近似值， 是参数的改正值，都是非随机量），则函数模型是:V = B I = 0n1nuu1 n 1n1C ? WX

5、= 0su u 1 s X s 1而平差的随机模型是D VQ 乂2p在函数模型中，待求量是n个观测值的改正数和U = t s个参数，而方程的个数是n s ： n u ,所以有无穷多组解。为此，应当在无穷多组解中求出满足VTPV =min的一组解。按照求条件极值的方法组成函数：二VTPV 2KS （C? Wx）-2Vt 2KSCa?= 2VTPB -2K；C = 0转置后得:btPV CtKs =0则可以组成以下方程组btpb?+ctks-btpi=0Nbbu沒CTus(?u久Wu1JC5? + Wx=0CI s杓0u场KSw丿_WXI S1 丿其中已经令Nbb =BTPB , W =BtPIu

6、us u个,可见在法方程中，有 s个联系系数Ks和U个未知参数而法方程的个数正好是 所以可以进行求解。当然可以另一种方法求解，例如：由法方程的第一式得：靛 Nbb1(W -CtKs)代入法方程的第二式有CNb：CTKs 二CNb：W Wx令1 TNcc 二 CNbbCss且R(Ncc) =R(CNb；CT) =s，Ncc满秩对称方阵，其逆存在。贝yssKs =N；CNb；W Wx?= Nb；W-CTN； CN；W Wx 1= (Nbb -Nbb1CTNccCNbb)W-Nbb1CTNcWxV = B?-l0 =X0 X!? = L V 8.2精度评定、单位权方差e（vtpv）_ e（vtpv）

7、_ e（vtpv） rntn -（u -s）VTPV _ VTPVr n _（u _s）VTPV的计算=ITPI = ITPI = ITPIVTPV 二VtP(B? I)= (BtPV)t?VtPI =-KSC?VtPI 二kTWx -(B?-I)tPI kSwx - ?T bt pi+ kSwx _?TwW： Ks -Wt?= ITPI-wt-wXr-ITPI-WT-wXrNbbu減C、sUCTu:：s0u：u，-Wx三、协因素阵由于L =L ,W =BT PI一 BtP(BX d _L)二 BtPL则有Qll 二 Q ,Qlw - B , Qww = B PQPB = Nbb由于竞=x?

8、= X (Nb： Nb：CTN；CNb；)W Nb：CTN；Wx，则有QXX-1丄 T-1JJ二 T-1=(N bb - N bb C NccCNbb )Qww (Nbb 一 NbbC NccCNbb) = (Nb： Nb：CTN；CNb：)qxl14二 TJ4T=(N bb NbbC N cc CN bb )Qwl = (N bb _ N bbC Ncc CNbb ) B 二 Qxx?bTQXW= (Nb： Nb：CTN；CNb：)Qww =Qx?Nbb由于Ks =N；CNb：W-Wx ，则有QksKs =Nc：CNb：QwwNb：CTNc： =Nc：NccNc,肌：QksL 二 Nc；CN

9、b：QwL ZCNbjBT11 11 1QksX? = NccCNbbQwX* = NccCNbbNbbQx? = NccCQxx* = 由于V = B?I，则有Qvv - BQ xx?B Q - BQ xl - Qd? B=bq xx? b q - bq xx b - bq xx b=Q - BQ xx BQvl = BQ x_ Q = -QvvQvw 二 BQxw-Qlw = BQxx N bb - BQv* 二 BQxx?-Qlx 二 BQxx-BQxx =QVKs = BQ）?Ks 一 QLKs = QLKs = _BNbb C N cc由于L? = L V，则有Q住=Q - QlvQ

10、vlQvv =Q QvvQ l?l = Q Qvl = Q _ QvvQ L?W Q LWQVW - BBQxX N bb _ B 二 BQ XX? N bbQlks =Qlks +Qvks =BNb：CTNc；BNb：CTN；=OQ?x? =Qlx? Qvx?二 Ql 二 BQx?Q?v =Qlv Qvv = -Qvv Qvv =四、平差值函数的协因素Z 二 f（*1,*2，*u）二 f。、kiXi二 f。FT?z 二 Ft?1Pz二 F qxx F , 8.3公式汇编和示例、公式汇编附有条件的间接平差函数模型：C x WX = 0s u u1 s 1 s 1平差的随机模型是D =：;和七P

11、法方程:NbbuXiCI suCTus0uuY x、u沢I Ks人sx丿fWU1I S1其中Nbbuu二 BtPB，W 二 BtPI平差值函数的权倒数和中误差：z = F T刃法方程的解： KS NcC1 CNbbW WX，其中 Ncc =CNb；CTssNb；（W -CtKs）X = Nb；W_CTN； CNbW Wx 1= （Nbb - N；CT Nc；CNb；）W _ Nb；CT N；WxV 二 BXM =X05?!?-L V单位权方差:vtpvVT PVn -（u -s）平差参数的方差：Dx? xQxx =咙（比：-Nb：CTN；CNb：）=ftQx?f ,1PzPz二、示例例题1如图等精度观测了三个角度，观测值向量为勺04520八L = 4712,54“，且有一个固定角 NAOB =775824“。试用附有条件的间接平差法进行 77058*20平差。解：独立参数只有一个，若选取两个参数，则产生一个条件。现在取参数=NAOP =Li +?，刃2 =BOP = L2 +X2，则误差方程和条件方程分别是：NbbNccKsV1、1 0、V20 10，（1 耳？J 1丿F2丿兰2丿-(10) =0=