平面向量知识点归纳05736

1、平而向量知识点归纳05736一.向有关概念：1 向的概念:既有大小又有方向的虽注总向虽和数址的区别。向址常用有向线段來表示.注总不能说向就是 有向线段，为什么?(向址可以平移)。如：2事向:长度为0的向虽叫零向虽,记作：6，注意向的方向是任意的；3单位向量:长度为一个爪位长度的向虽叫做m位向虽(与a斤共线的单位向虽是AB士鬲);4相等向量:长度相等且方向相同的两个向虽叫相等向虽相等向虽有传递性：5平行向(也叫共线向)：方向相同或相反的非零向址5叫做平行向址，记作：a /b ,规定零向 和任何向平行：提醒 相等向址一定是共线向虽.但共线向虽不一定相等； 两个向址平行与与两条直线平行是不同的两个概

2、念：两个向址平行包含两个向虽共线.但两条直线平行不包 含两条直线重合： 平行向无传递性！(I大I为有6)； 三点A、B、C共线AB.AC共线;6.相反向长度相等方向相反的向呆叫做相反向址。的相反向址是如下列命題：(1)若a = b .则方=/； (2)两个向虽相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)若则AB = DC.5)若d =b#=c,则a=c .AB = DC ,则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形若a/b.b/c.则方7。其中正确的是(答：(4) (5)向量的表示方法：一1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如而，注总起点在前.终点在后；2. 符号表示法：用

3、一个小写的英文字僚來表示,如：，庁匸等；3 坐标表示法:在平面内建立直角坐标系以与X轴、y轴方向相同的两个单位向址；，了为基底，则平血内的任 向量0可表示为a = xi + yj = (x,y),称(兀y)为向址a的坐标,a =(x, y)叫做向址a的坐标表示。如 果向的起点在原点，那么向量的坐标与向址的终点坐标相同。三平面向的基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向此 那么对该平曲内的任一向虽仏有且只有一 对实数儿、J使0=入8 1+人62。如_ _ 3 (1) 若ci = (1,1),/?= (1,一l),c = (一 1,2),则c=(答:ab );2 2(2) 下列向虽组中.能作为平

4、而内所有向虽基底的是A.弓=(0、0),勺=(1,一2) B.弓=(一1,2),勺=(5,7)一 一一一 13C.弓=(3,5),勺=610) D.弓=(2,-3),勺=(,一丁)(答:B)：(3) 已知AD, BE分别是A4BC的边BC, AC上的中线且人刀= a.BE = b侧3芒可用向虽方/表示为2r 4(答:_a + _b )：33(4) 已知 A4BC 中，点 Q 在 BC 边上，且CD = 2 DB .CD = r AB+ s AC .RiJ r + 5的值是(答：0)四.实数与向的积：实数几与向虽a的枳是一个向虽记作2 a ,它的长度和方向规定如 下：(1) Au =|2| a

5、,(2)当A 0时，A a的方向与a的方向相同，当几 0时，2 的方向与a的方向相反.、i兄=0时，2 = 0.注意：几 a HOc五平面向的数积：1 两个向的夹角:对于非零向址方，bAVOA = a,OB = b . ZAOE = &(09)称为向址a, b的夹角，当8=0时，同向.勻& =兀时卫上反向，当& =牙时.上垂 直。零向虽与任一向虽的数虽枳是0 注意数2.平面向的数积:如果两个非零向虽；b 它们的夹角为/ 我们把数虽GlMlcosO叫做：与庁的 数虽枳(或内积或点积)，记作:方 卩：.b=ab cos。规定：积是一个实数，不再是一个向如(1 )已知a = (L-)丄=(0,一),

6、c = a + &b,d=d c与的夹角为一则k等于224(答：1);(2)已知a =2 =5卫厶=一3则a + b等于(答：阿)；(3)已知方/是两个非零向：S，且a = b=a-b，则与a + b的夹角为.（答：30 ）3. A在上的投形为bcos0,它是一个实数，但不一定大于0。如 已知1：1=3,丨久1=5,且a-b = 2.则向虽:在向址久上的投影为.（答:12T4.a 方的几何意义：数虽积：等干：的模1方1与庁在：上的投影的枳。5向数积的性质:设两个非零向虽“，/儿其夹角为&,则: a 丄 Z? o “/? = 0 ； a ,b同向时，“ b = u孑.2 - -*特别地.a =a

7、a- fu ba b :非零向a.b夹角&的计算公式:cos9 =十。与b反向时，a b = -cfb0 且);33六.向的运算：1.几何运算：向虽加法:利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向虽.如此之外.向址加法还可利用“三角形法则”：设AB = a.BC=b么向虽疋叫做方与乙的和即a + b = AB + BC = AC;向址的减法：用“三角形法则二设而=方,疋=从那么方一乙=莊一走=鬲由减向虽的终点 指向被减向虽的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如(1)化:(DAB + BC + Cb = : AB-AD-DC=；(而一CD)-(AC-BD)=(答

8、:人万：厉；d)；（2）若正方形 ABCD的边长为 l.AB = u、BC = b.AC = c 则I “ + /? + c l=.(答：2血)：2.坐标运算：设a = (xl,yib = (x2,y2).则：向的加减法运算:/? = (xlx2, ” y2) o如(1)已知点 A(Z3).B(5,4) C(7,10)，若 AP = AB + AAC(A e R) 则当 A =时，点 P 在第一、三象限的角平分线上(答：丄);2(2 )已知作用在点A(l, 1)的三个力斤=(3,4),F； = (2,-5), F； = (3,1),则合力F = F； + F； + F；的终点 坐标是(答：(9

9、.1) 实数与向的积:Aa = 2(xp x) = (/U,。 若A(x, ” ，则而 =(x2-%! os 一 y )即一个向址的坐标等于表示这个向址的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如-21 a I l b l + l Z? F ；若a b = 0、则 a = 0或 =0：若a-b = c b,则a = c :側=a 平面向积：“=召花+儿。如-兀f 已知向址=（sinx, cosx）, b Msinx, s i nx）, c=（ 1. 0）,若乂=求向:S、C 的夹角: 3向的a=ylx + ya =fh=A + r。如已知方币均为单位向虽，它们的夹角为60 ,那么帀+ 3力二(答：JT

10、亍)；两点间的距离：若A(jq则1431=齐)+(儿一牙)。七.向的运算律:1.交换律：a + l2.结合律：d + 5 + c = （a + 5） + c,a-Z?-c = a-（ + c）, （2）5 =几（“）=（/1乙）：3 分配律：（兄+ ）a =加 + “aM（a +石）=Aa + Ab .a+b c = a c+b c 如TTTTTTTfTTfTT下列命题中:“（/?-c） = d/?-dc：u（b c） = （ab）c :（a-/?） =1 a I2已知n =(“上),向虽n丄m，且n = m ,则m的坐标是提醒：(1)向虽运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向虽等式.

11、可以移项两边平方、两边同乘 以一个实数.两边同时取模两边同乘以一个向虽，但不能两边同除以一个向虽即两边不能约去一个向址，切记两 向不能相除(相约):(2)向的“乘法”不满足结合律即方：)工(方初;.为什么？八.向平行(共线)的充要条件:ci/b 0 = Ab O (a - b)2 = (I a b I)2 0 xy2 - yx2 =0。如若向址 = (x,l)/ = (4,x),当无=时N与为共线且方向相同(答:2)：(2) 已知“ = (l,l)，b = (4,x) , “=a + 2Z?, v = 2xi+ b .且uIIv ,则x=(答：4)：(3) 设只4 =伙,12),PM = (4,5),PC = (1O,R),则时.A.B, C 共线(答：2 或 1