资本资产定价模型与套利定价理论

1、 一、资本资产定价模型的假设一、资本资产定价模型的假设 二、分离理论二、分离理论 三、资本市场线三、资本市场线 四、证券市场线四、证券市场线 一、单因子模型一、单因子模型 二、多因子模型二、多因子模型 一、套利的基本形式一、套利的基本形式 二、套利定价理论二、套利定价理论 三、三、aptapt和和capmcapm的一致性的一致性 资本资产定价模型的主要特点是一种资产的预期收益资本资产定价模型的主要特点是一种资产的预期收益 率可以用这种资产的风险相对测度率可以用这种资产的风险相对测度值来测量。值来测量。 1.投资者通过投资组合在单一投资期内的预期收益率和标准差来评价这些投 资组合； 2.投资者永

2、不满足，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较 高预期收益率的那一种； 3.投资者是厌恶风险的，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具 有较小标准差的那一种； 4.每种资产都是无限可分的； 5.投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金； 6.税收和交易费用均忽略不计； 7.所有投资者的投资期限均相同； 8.对于所有投资者来说，无风险利率相同； 9.对于所有投资者来说，信息都是免费的并且是立即可得的； 10.投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差等具有相同的预期。如 果每个投资者都以相同的方式投资，根据这个市场中的所有投资者的集 体行为，每个证券的风险和收益最终可以达到均衡。

3、 每个投资者根据自己的偏好每个投资者根据自己的偏好 在资本市场线在资本市场线cmlcml上选择需要的证上选择需要的证 券组合，它是由市场证券组合券组合，它是由市场证券组合m m和和 以以r rf f为利率的无风险证券组成。为利率的无风险证券组成。 投资者可以利用利率投资者可以利用利率r rf f自由地借自由地借 入或贷放款项，但他们都选择相入或贷放款项，但他们都选择相 同的市场证券组合同的市场证券组合m m。就是说，个。就是说，个 人投资者的效用偏好与风险资产人投资者的效用偏好与风险资产 组成的证券组合无关。组成的证券组合无关。 分离定理表示风险资产组成分离定理表示风险资产组成 的最优证券组合

4、的确定与个别投的最优证券组合的确定与个别投 资者的风险偏好无关。最优证券资者的风险偏好无关。最优证券 组合的确定仅取决于各种可能的组合的确定仅取决于各种可能的 风险证券组合的预期收益率和标风险证券组合的预期收益率和标 准差。准差。 分离理论在投资中是非常重分离理论在投资中是非常重 要的。个人投资者研究投资可分要的。个人投资者研究投资可分 为两部分：首先决定一个最优的为两部分：首先决定一个最优的 风险证券组合，然后决定最想要风险证券组合，然后决定最想要 的无风险证券和这个证券组合的的无风险证券和这个证券组合的 组合。只有第二部分依赖效用曲组合。只有第二部分依赖效用曲 线。正如图线。正如图11.1

5、11.1所示，投资者可所示，投资者可 以选择以选择cmlcml上的任意点（投资组上的任意点（投资组 合）。在点合）。在点m m左端的点（如点左端的点（如点o o2） 表示投资到利率为表示投资到利率为r rf的无风险证的无风险证 券和风险证券组合券和风险证券组合m m的组合。它适的组合。它适 宜较保守的投资者。在点宜较保守的投资者。在点m m右端的右端的 点（如点点（如点o o1）表示以）表示以r rf借款和自有借款和自有 的资金一起投资风险证券组合的资金一起投资风险证券组合m m。 它适宜比较喜好风险的投资者。它适宜比较喜好风险的投资者。 图11.1 分离定理 与无风险收益之差。图与无风险收益

6、之差。图11.211.2中证券组中证券组 合合m m的风险报酬为：的风险报酬为： e e（r rm m）-r-rf f （11.1） 通常通常cmlcml线总是向上倾斜的，因为线总是向上倾斜的，因为 风险报酬总是正的。根据假设，投资风险报酬总是正的。根据假设，投资 者都不喜爱风险，除非未来的风险得者都不喜爱风险，除非未来的风险得 到补偿才会投资。因此，风险愈大，到补偿才会投资。因此，风险愈大， 预期收益愈大。但这不等于说永远如预期收益愈大。但这不等于说永远如 此，此，cmlcml线有时可能向下倾斜，也就是线有时可能向下倾斜，也就是 风险报酬低于无风险收益。这表明投风险报酬低于无风险收益。这表明

7、投 资者的预期收益不是总能实现，否则资者的预期收益不是总能实现，否则 就不会有风险了。因此，虽然就不会有风险了。因此，虽然cmlcml在事在事 前必然向上倾斜，但事后有可能向下前必然向上倾斜，但事后有可能向下 倾斜倾斜 。 cmlcml的斜率的斜率 = = m fm rre )( (11.2) 资本市场线是由无风险收益为资本市场线是由无风险收益为r rf f的的 证券和市场证券组合证券和市场证券组合m m构成的。市场证券构成的。市场证券 组合组合m m是由均衡状态的风险证券构成的有是由均衡状态的风险证券构成的有 效的证券组合。同时投资者可以收益率效的证券组合。同时投资者可以收益率 r rf f

8、任意地借款或贷款。任意地借款或贷款。 图图11.2 11.2 资本市场线资本市场线 如果投资者准备投资风险资产，如果投资者准备投资风险资产， 他们就需要一个风险报酬来补偿增加的他们就需要一个风险报酬来补偿增加的 风险。风险报酬是一个证券组合的收益风险。风险报酬是一个证券组合的收益 rp rm rf 0 m cml mp cml cml的斜率是有效证券组合的风险市场价格，表示一个证券组合的风险每增加的斜率是有效证券组合的风险市场价格，表示一个证券组合的风险每增加 1% 1% ，需要增加的收益。在了解，需要增加的收益。在了解cmlcml的斜率和截距的斜率和截距r rf f后，在后，在cmlcml上

9、的任意有效证券组合上的任意有效证券组合 中的预期收益可用它的风险表示，因此中的预期收益可用它的风险表示，因此cmlcml的表达公式为：的表达公式为： 式中：式中：e e（r rp p）是代表）是代表cmlcml上任意有效证券组合的预期收益率，上任意有效证券组合的预期收益率，p p 代表代表cmlcml上任何上任何 有效证券组合的标准差，有效证券组合的标准差，cmlcml根据证券组合根据证券组合p p的不同风险水平决定它的预期收益。的不同风险水平决定它的预期收益。 p m fm fp rre rre )( )( (11.3) 例例1 1：假设市场证券组合由两：假设市场证券组合由两 个证券个证券a

10、 a和和b b组成。他们的预期收组成。他们的预期收 益分别为益分别为10%10%和和15%15%，方差为，方差为20%20%和和 28%28%，权重为，权重为40%40%和和60% 60% 。已知。已知a a和和 b b的相关系数为的相关系数为0.30.3，无风险利率，无风险利率 为为5%5%，求资本市场线的方程。，求资本市场线的方程。 解：依题意：解：依题意： %20 2 a ，则，则%72.44 a %28 2 b ，则，则%91.52 b 有风险的证券组合的预期收益率为：有风险的证券组合的预期收益率为： %13%15%60%10%40 2 1 ii i m rxre）（ 风险证券组合的方

11、差：风险证券组合的方差： baabbabbaam rxxxx2 22222 2 22 %85.40 %91.52%72.443 . 0%60%402%28%60%20%40 %85.40 m cmlcml的斜率的斜率 = = m fm rre )( = =%58.19 %85.40 %5%13 资本市场线方程为：资本市场线方程为：e e（rprp）=5%+19.58%=5%+19.58%p p 资本市场线只用于反映有效证券组合资本市场线只用于反映有效证券组合 的预期收益和标准差在均衡状态时的关系。的预期收益和标准差在均衡状态时的关系。 但个别的风险证券本身可能是非有效的证但个别的风险证券本身可

12、能是非有效的证 券组合，因此，就要进一步测定个别证券券组合，因此，就要进一步测定个别证券 的预期收益与总风险之间的关系。在考虑的预期收益与总风险之间的关系。在考虑 市场组合风险时，重要的不是各种证券自市场组合风险时，重要的不是各种证券自 身的整体风险，而是其与市场组合的协方身的整体风险，而是其与市场组合的协方 差。也就是说，自身风险较高的证券，也差。也就是说，自身风险较高的证券，也 并不意味着其预期收益率也较高；同样，并不意味着其预期收益率也较高；同样， 自身风险较低的证券，也并不意味着其预自身风险较低的证券，也并不意味着其预 期收益率就较低。个别证券的预期收益率期收益率就较低。个别证券的预期

13、收益率 取决于其与市场组合的协方差（取决于其与市场组合的协方差（ ）。在）。在 均衡状态下，个别证券风险与收益的关系均衡状态下，个别证券风险与收益的关系 可以写成：可以写成： im im m fm fi rre rre 2 ）（ ）（ （11.4） 式（式（11.411.4）所表达的就是著名的证券）所表达的就是著名的证券 市场线，它反映了个别证券与市场组合的市场线，它反映了个别证券与市场组合的 协方差和其预期收益率之间的均衡关系。协方差和其预期收益率之间的均衡关系。 用图形表示：用图形表示： 图图11.3 11.3 证券市场线证券市场线 从图从图11.311.3中可以看出，对于中可以看出，对于

14、 等于等于0 0 的风险证券而言，其预期收益率应等于无的风险证券而言，其预期收益率应等于无 风险利率，因为这个风险证券与无风险证风险利率，因为这个风险证券与无风险证 券一样，对市场组合的风险没有任何影响。券一样，对市场组合的风险没有任何影响。 当某种证券的当某种证券的 0 0 由已知的三个条件可得：由已知的三个条件可得： (1)x1+x2+x3=0.05+0.10-0.15=0 假定投资者持有这三种证券的市值分别为假定投资者持有这三种证券的市值分别为100100万元，那么套利证券组合的万元，那么套利证券组合的 市值为市值为300300万元。为了套利他可以这样操作：万元。为了套利他可以这样操作：

15、 (1)出售股票出售股票3 3：-0.1510%300=-4.5（万元）（万元） (2)购买股票购买股票1 1：0.0520%300=3（万元）（万元） (3)购买股票购买股票2 2：0.115%300=4.5（万元）（万元） 其和为其和为 1%300=3（万元）（万元） 因此投资者可以在没有任何风险的情况下获得较高回报。它是非投资获因此投资者可以在没有任何风险的情况下获得较高回报。它是非投资获 利，没有风险，并且有正的预期收益。利，没有风险，并且有正的预期收益。 2.2.套利定价线套利定价线 一般地，一个套利证券组合由一般地，一个套利证券组合由n n种资种资 产组成，权重为产组成，权重为xi

16、xi（i=1i=1，2 2，n n）。）。 投资者没有使用其他财富进行套利，因投资者没有使用其他财富进行套利，因 此，套利证券组合要求无净投资，即此，套利证券组合要求无净投资，即 0 1 n i i x 同时还要求套利证券组合充分多样化：同时还要求套利证券组合充分多样化： )24.11()()( )()( 11 1111 n i n i iiii n i ii n i ii n i ii n i ii ibxrex xibxrexrx 当当n n很大时，充分多样化的证券组合很大时，充分多样化的证券组合 可以忽略非因子风险的影响。可以忽略非因子风险的影响。 如果还要求套利证券组合不受因子风如果还

17、要求套利证券组合不受因子风 险的影响，那么有：险的影响，那么有： 0 1 n i iib x 因此，如果证券组合没有套利机会，因此，如果证券组合没有套利机会， 在均衡状态必须有：在均衡状态必须有： 0)( ii rex（11.25） 根据代数知识，有根据代数知识，有aptapt的单因子模型的单因子模型 为：为： ioi bre 1 )(（11.26） 式中：式中：0 0和和1 1是常数。它表示在均是常数。它表示在均 衡状态下预期收益率和影响因素敏感度衡状态下预期收益率和影响因素敏感度 的线性关系。这条直线叫做套利定价线，的线性关系。这条直线叫做套利定价线， 或叫做或叫做aptapt资产定价线，

18、如图资产定价线，如图11.511.5所示。所示。 图11.5 套利定价线 e(ri) 0 0bi a u o b 1 i b f r 0 0是资产没有因子敏感度（是资产没有因子敏感度（ =0=0） 式式11.26可记为：可记为： ifi brre 1 )( 1 1可以记做因子敏感度为可以记做因子敏感度为1 1的证券的证券 组合组合p p的超额收益，即的超额收益，即 pfp brre 1 )( （11.27） （11.28） 其中：其中： p b=1=1。 则：则： fp rre)( 1 （11.29） 因此，因此，1 1是因子敏感度为是因子敏感度为1 1的一个证的一个证 券组合的超额收益，叫做

19、因子风险报酬券组合的超额收益，叫做因子风险报酬 。 时的收益，它是无风险收益，记作时的收益，它是无风险收益，记作， 1 )( p re 令令= , ,则：则： f r 11 （11.30） iffi brrre)()( 1 （11.31） 根据套利定价理论，如果任何具有根据套利定价理论，如果任何具有 一个因子的敏感度和预期收益率的资产一个因子的敏感度和预期收益率的资产 不在套利定价线上，那么投资者就有构不在套利定价线上，那么投资者就有构 造套利证券组合的机会，图造套利证券组合的机会，图11.5中资产中资产 u表示资产价格被低估，预期收益率比表示资产价格被低估，预期收益率比 资产资产a高，投资者

20、可以购买资产高，投资者可以购买资产u出售出售 资产资产a构成一个套利证券组合。同样可构成一个套利证券组合。同样可 以出售资产以出售资产o购买资产购买资产b构成一个套利构成一个套利 证券组合。因为套利不增加风险，投资证券组合。因为套利不增加风险，投资 者没有使用任何新的资金。同时，资产者没有使用任何新的资金。同时，资产 u和和a以及资产以及资产o和和b都有相同的因子敏都有相同的因子敏 感度，这就使得构成的套利证券组合的感度，这就使得构成的套利证券组合的 因子敏感度为零，而且套利证券组合都因子敏感度为零，而且套利证券组合都 有正的预期收益率，由于买压使得资产有正的预期收益率，由于买压使得资产 u价

21、格上升，卖压使得资产价格上升，卖压使得资产o价格下降，价格下降， 最后分别达到最后分别达到a和和b，套利机会消失。，套利机会消失。 图11.6 三种股票组成 的套利证券组合 例例8 8：承例：承例7 7，假设，假设0 0=5=5，1 1=2=2， 因此定价方程为：因此定价方程为： e(re(ri i)=5+2b)=5+2bi i 三种股票的均衡预期收益率为：三种股票的均衡预期收益率为： e(re(r1 1)=5+2)=5+24=13(%)4=13(%) e(r e(r2 2)=5+2)=5+22.5=10(%)2.5=10(%) e(re(r3 3)=5+2)=5+23=11(%)3=11(%

22、) 由于由于0 0=5=5，1 1=2=2，即，即r rf f=5,=5,可得：可得： 1 1=r=rf f+1 1=5+2=7=5+2=7 它表示公共因子的敏感度是它表示公共因子的敏感度是1 1的证的证 券组合的预期收益率为券组合的预期收益率为7%7%。图。图11.611.6 分别用点分别用点a a，b b和和c c表示。由于股票表示。由于股票1 1、 股票股票2 2、股票、股票3 3的预期收益率原都不的预期收益率原都不 在套利定价线上，因而可以构成套在套利定价线上，因而可以构成套 利证券组合，但由于买压和卖压的利证券组合，但由于买压和卖压的 影响最终趋于均衡。影响最终趋于均衡。 根据根据a

23、pt得知，证券的预期收益率等于无风险利率加上得知，证券的预期收益率等于无风险利率加上r个因子报酬分别乘以这个因子报酬分别乘以这 个证券的个证券的r个因子敏感度之和。在只有一个因子时，个因子敏感度之和。在只有一个因子时，apt的定价方程为：的定价方程为： iffi brrre)()( 1 在在capm中没有要求预期收益率满足因子模型，其定价模型为：中没有要求预期收益率满足因子模型，其定价模型为： ifmfi rrerre)()( 如果如果1=e(rm)，同时，同时bi代表代表i，那么，那么apt与与capm一致，一致，capm只是只是apt的一个的一个 特例。特例。 然而在一般情况下，然而在一般

24、情况下，1不一定等于市场证券组合的预期收益，两者仍有区别，主不一定等于市场证券组合的预期收益，两者仍有区别，主 要表现在：要表现在： 1 2 3 资本资产定价模型（资本资产定价模型（capmcapm）是根据投资者行为而提出的资本）是根据投资者行为而提出的资本 市场理论的假设而建立的。根据这些假设，所有投资者持有的由市场理论的假设而建立的。根据这些假设，所有投资者持有的由 风险资产构成的有效的证券组合相同。这个证券组合叫市场组合。风险资产构成的有效的证券组合相同。这个证券组合叫市场组合。 市场组合由所有资产构成，其中每一种资产的权重是这种资产的市场组合由所有资产构成，其中每一种资产的权重是这种资

25、产的 总值与市场内所有资产总值的比。市场证券中的每一种证券的现总值与市场内所有资产总值的比。市场证券中的每一种证券的现 时市价都是均衡价格。时市价都是均衡价格。 1 3 2 4 7 5 8 6 1 5 3 6 7 2 4 8 背景资料：背景资料： 从20世纪70年代初，套利定价理论就已经给研究者和职业投资者提供了一 个直观且灵活的体制，使他们能够借此解决重要的投资管理问题。资本资产定 价理论对于投资偏好和市场投资组合所起的特定作用都有严格的特定假设。与 此相对，套利定价理论具有相对较弱的假设。由于它重点考察系统风险的各种 来源，所以作为一种更好的解释投资结果、更有效控制组合投资风险的工具， 套

26、利定价理论引起了广泛的关注。 尽管套利定价理论具有很多吸引人的特性，但它还是没有被投资团体广泛 应用，原因主要是因为该理论有明显缺陷：缺少关于多重要素的明确说明，而 这些要素会系统性地影响证券收益及与每个要素相联系的长期收益。无论正确 与否，资本资产定价理论明确提出一种证券的各种市场组合的协方差是在多种 投资组合条件下投资风险的惟一来源。而套利定价理论却对影响证券风险和收 益的系统要素不予任何说明。投资者在确定这些要素时自然会抵制这种理论。 极少数投资者在实践中运用套利定价理论来管理资产。其中最突出的是罗 尔&罗斯资产管理公司（r&r公司），由于史蒂芬罗斯先生本身是套利定价理 论的发明者，故对r&r公司是怎样将理论付诸于实践进行简要回顾还是很让人 感兴趣的。 r&r公司开始便阐述了与资本市场普遍相关的风险的系统性来源， 并且确定了显著影响普通股收益的5个要素：（1）经济周期；（2） 利率；（3）投资信心；（4）短期通货膨胀；（5）长期通货膨胀预 期。r&r公司又通过指定一些可计量的宏观经济变量作为上述要素的 代表从而将其量化。例如，经济周期要素被工业产出指数的实