新高考数学(理)大题分解专题02数列

1、 大题肢解一分组法求数列的前 项和n【宁夏银川一中 2019 届高三第二次模拟】已知数列a n 是公差不为 0 的等差数列，首项112ab = a + 2a ，求数列b n 的前 项和 n .tnnnn【肢解 1】在已知条件下求出数列a n 的通项公式；b = a + 2a ，求数列b nnnnd2d.0.b = a + 2a ，求数列b n 的前 项和 n .tnnnn，nt = (1+ 21) + (2 + 22 ) + (3+ 23 ) + + (n + 2 )nn23nn2+ n=n. 1.分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转

2、化法，分别求和后再相加减2.分组转化法求和的常见类型nnnnnn，n为奇数，n 的数列，其中数列 b ， c 是等比数列或等差数列，可采用分组， 为偶数nn求和法求和【拓展 1】已知数列a n 是公差不为 0 的等差数列，首项1a =1124（1）求a；2020nnna d的公差为 ，由已知得，n2d.0，可得.n= 2020所以 a.2020n（2）由（1）得，nt = (2 2 + 41) + (23+ 42 ) + (2 4 + 43 ) + +2(n +1) + 4 nn= 2(1+ 2 + 3+ + n +1) + (4 + 4 + 4 + + 4 )23nn= n + 2n +24

3、n+14-2.1【拓展 2】已知数列是公差不为 0 的等差数列，前n 项和为 s ，首项nn （2）若2a 是 a 与 s 的等差中项，求 的值.mm+116【解析】（1）设数列a n 的公差为 ，由已知得，2 =d=2即，解得.又，可得 n.= 5050.所以 sn2（2）由（1）得 n，所以m+1， a，10因为 2a 是 a 与 s 的等差中项，m+1，解得 m变式训练一 = 48 4a ,3a , 2a成等差数列.，n5234 an = a b = b + a，求数列 b 的前n 项和 s .（2）设数列 b 满足b，12nnnnnn 0)a 的公比为q(q，n，234，2332411

4、1，解得 q = 2 或q= a q =16a = 48又 a，所以.4n-1511（2）由条件及（1）可得12因为b = + ，所以b a，所以n+1nnnnnn-1n-1 () (所以nnn-1n-1211= a + a + a +l + a + a + 6+ 6 = n-13 2+=n-121又满足上式，所以n所以 s2nn12n 0)a 是以 3 为首项，d(d2.（2019 年湖北宜昌高考模拟）已知数列为公差的等差数列，且 ，3 5 ，n2成等比数列.4（1）求数列的通项公式；= a - 2（2）设b，求数列 b 的前n 项和 .snnnnnaa【解析】（1）因为 ，3 5 ， 成等

5、比数列，24，即2411，即d + 4d -12 = 0 ，2或 - （舍去），所以6n（2）由（1）知，b，nn()nn12n=n -22裂项法求数列的前 项和na = 8 s = 60s（2019 年广东省东莞市末调研）已知等差数列a 的前n 项和为 ，且.n2n（1）求数列a 的通项公式；n 1 1 11+ + +s s ss（2）求123n1 1 11+ + +s s ss【肢解 2】（2）求的值.n123n8a【解析】设等差数列a 的首项为 ，公差为 ，由已知条件可知d，11n11= 4na.所以 n解得.1s【肢解 2】（2）求123n= 2n+ 2n22n111 11=s2n +

6、 2n 2 n n +12n1111 11111n= (1- ) + ( - ) + ( -s222 3.123n1.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和2.利用裂项相消法求和应注意：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若111 1( - )a a111( -a a)a 是等差数列，则a a，a a.dnnn28，.n2nn 16n 的前n 项和t .n=（2）若bn，15a +10d =

7、60n11=s22n解得，所以.=（2）因为 n，b，n11= -，n11 1111n= (1- ) + ( - ) + + ( -) =1-=2.a = 8 s = 60s【拓展 1】已知等差数列a 的前n 项和为 n ，且，5.2n1b b（2）若b，求数列的前n 项和 .n22nd，15a +10d = 60n11.所以 an2nb = log a ，所以b = n + 2，n2n2n2n1111=-，1 11111n= ( - ) + ( - ) + (-) = -=3 4. 1.（2019 年重庆西南大学附中月考）已知等差数列 a 的前 n 项和为 s ，等比数列 b 的前 n 项和

8、为nnnn114242 nn（2）求数列 ann【解析】（1）由 a，1142-t = (a + a + a + a ) - (b + b ) = a + a = 12则 s，4212341223 设等差数列d= 2.a+ =的公差为 ，则 a a 2a 3d 6 3d 12 ，所以+=dn231所以 a= 3+ 2(n -1)= 2n +1.nb= =，即b b q 3q 9 ，所以q 3.n2421= 3所以b；nn（2） a，nnna +b(a + a +l + a ) + (b + b +l + b )的前 项和为nnn12n12n=+.2n22 2.（2019 年广东高考模拟）等差数

9、列 a 前n 项和为 s ，且 s，nn4 （1）求 a 的通项公式a ；nn( ) 1-b = a nn 且b = 3（2）数列 b 满足b，求 的前n 项和 t*nnbnn1n 【解析】（1）等差数列 a 的公差设为 ，前n 项和为 s ，且 s，dnn413+ 6d = 32 13a + 78d = 221，解得a = 5，111可得 a；n （2）由b，( ) ( ) ()+可得bn12132n=-所以，bn1 1 1 1 1 1= 1- + - + - +l +1111 1 31-+ -=- 2 2 n +1 n + 2 n-1 n +1 n n + 2 0)1.（2019 年湖南高

10、考模拟）已知数列a 是以 3 为首项，d(dn4成等比数列.（1）求数列a 的通项公式；n ，求数列 b 的前 项和 s .n（2）设bnnnnn【解析】（1）因为a ，3 5 ， a 成等比数列，24a = 45+，即a d a d2411= 3+ - =，所以(3 d)(1 d) 15 ，即d 4d 12 0 ，21= 2 - = +或 6 （舍去），所以a 2n 1.n（2）由（1）知，b，nn()= b + b +l + b = + + +所以 snn12n=n -222( )12.（2019 年重庆一中 5 月月考）已知数列a 满足： a2nn* ，数列b nnn+1ann1b =，

11、且b ，b ，b 成等比数列.n124n（1）求证：数列b 是等差数列；n （2）若 s 是数列b 的前n项和，求数列 的前n 项和 .tnnn1111a1-b =-=-=-=1n1nnnnnann( ) ( )b b 3 ，所以b 1，所以b 1，= + = =21n111121=，所以 ，sn2n1 1 11=所以.2 2 3n +1n 0n3.（2020 福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知等差数列 a 的公差 d，其前 项和为 s ，若nns =12 ，且 2a ,a ,1+ a 成等比数列3123 （1）求数列 a 的通项公式；n11=（2）记b的前n 项和为 ，证明：nn，即【解析

12、】（1）依题意，得，得d1321121231 0d = 3=，所以a 1，所以数列 a 的通项公式a 1 3(n 1) 3n 2 = +- = -因为 d1nn11111=-)n-+-+= 3n - 2 b =（2）因为a，nn11=- 2)(3n +1) 3 3n - 2 3n +1111 1= b + b + b + + b = (1- ) + ( - ) + (4 7111) = (1-23n +1 3n +11n-，34n123n11*，3n=14n t 故.n ，n5 （1）求数列 a 的通项公式；n ，求数列 b 的前n 项和 s .b = b + a（2）设数列 b 满足b，n1

13、2+nnn 1nn【解析】（1）设等比数列a 的公比为q(q，n24= +，即6a q 4a q 2a q ，23324111=，解得 q = 2 或q 1（舍去），=又 a4n-15111n（2）由条件及（1）可得b12，所以b = b + an+1nnn-1n-1n+1nn(b = b -b + b -b +l + b -b +b= a + a + a +l + a + a + 6nnn-1n-1n-2211n-1n-2n-321=+ 6 = 32 + 3(n 2)n-1= 6= 满足上式，所以b 3 2又bn-11n2nn12n= 1，sn11s -1 = s + a ，数列 b 为等比

14、数列，满足b = 4b ，b = q = -=不成立，舍去，所以b即有 q时，； 411n=（2），( )a ann n +1 n n +1n+1111nw =1- + - +l + -=n n +1n +1 n +1n1nt =1- 0,1 ，则1，2nn1 0)6.（201 湖南高考模拟）已知数列a 是以 3 为首项，d(d为公差的等差数列，且a ，3 5 ，a 成n24等比数列.（1）求数列a 的通项公式；n（2）设b，求数列bnnnnn【解析】（1）因为a ，3 5 ， a 成等比数列，24+，即2411= 3+ - =，所以(3 d)(1 d) 15 ，即d 4d 12 0 ，21=

15、 2 - = +或 6 （舍去），所以a 2n 1.n（2）由（1）知，b，nn()= b + b +l + b = + + +所以 snn12n2 1- 2n=21- 2( )n+1= -2 + n + 2n + 2.n+127. （ 2020 河 北 省 邢 台 市 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 ） 设 等 比 数 列 a 的 前 n 项 和 为 s ， 且nn ( )*nn n =（2）若b，求 b 的前 n 项和t n( )()nnn( ) *nnn当 n时1a)-=得3a 2a 3a ，所以nnna=13 = 3故 an= 3n-1 ，所以b =-，a +1 a +1 2 3 +1 3 +1nnnn11=-+-=-n01nn =，s 35 ， 0n