人教版九年级数学上册：《直接开平方法解一元二次方程》学案

1、 21.2.1 配方法第 1 课时 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax +c=0，根据平方根的意义解出2这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f） +c=0 型的一元二次方程2重难点关键1重点：运用开平方法解形如（x+m） =n（n0）的方程；领会降次2转化的数学思想2难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x =n，知识迁移到根据平方2根的意义解形如（x+m） =n（n0）的方程2教学过程一、复习引入学生活

2、动：请同学们完成下列各题问题 1填空（1）x -8x+_=（x-_） ；（2）9x +12x+_=（3x+_） ；（3）2222x +px+_=（x+_） 22问题 2如图，在abc 中，b=90，点 p 从点 b 开始，沿 ab 边向点 b 以1cm/s的速度移动，点 q 从点 b 开始，沿 bc 边向点 c 以 2cm/s 的速度移动，如果 ab=6cm，bc=12cm，p、q 都从 b 点同时出发，几秒后pbq 的面积等于 8cm ？2老师点评：pp 2问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ ）22问题 2：设 x 秒后pbq 的面积等于8cm2则 pb=

3、x，bq=2x 1依题意，得： x2x=82x =82根据平方根的意义，得 x=2 2即x =2 2 ，x =-2 2211可以验证，2 2 和-2 2 都是方程 x2x=8 的两根，但是移动时间不能是2负值所以2 2 秒后pbq 的面积等于 8cm 2二、探索新知上面我们已经讲了 x =8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=2 2 ，如2果 x 换元为 2t+1，即（2t+1） =8，能否也用直接开平方的方法求解呢？2（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=2 2即 2t+1=2 2 ，2t+1=-2 21方程的两根为 t = 2 - ，t =

4、- 2 -12122例 1：解方程：x +4x+4=12分析：很清楚，x +4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）22=1解：由已知，得：（x+2） =12直接开平方，得：x+2=1即 x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x =-1，x =-321例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m 提高到 14.4m，求每2年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为 x一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10（1+x

5、） =14.42（1+x） =1.442直接开平方，得 1+x=1.2即 1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是 x =0.2=20%，x =-2.221因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x =-2.2 应舍去2所以，每年人均住房面积增长率应为 20%（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习教材p 练习36四、应用拓展例 3某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公

6、司二、三月份营业额平均增长率为 x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x） 2解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x那么 1+（1+x）+（1+x） =3.312把（1+x）当成一个数，配方得：13（1+x+ ） =2.56，即（x+ ） =2562222333x+ =1.6，即 x+ =1.6，x+ =-1.6222方程的根为 x =10%，x =-3.121因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x =p（p0），那么 x= p 转化为应用直接开2 平方法

7、解形如（mx+n） =p（p0），那么 mx+n= p ，达到降次转化之目的2六、布置作业1教材 p 复习巩固 1、2452选用作业设计:一、选择题1若 x -4x+p=（x+q） ，那么 p、q 的值分别是（ ）22ap=4，q=2bp=4，q=-2cp=-4，q=2dp=-4，q=-22方程 3x +9=0 的根为（ ）2a3b-3c3d无实数根23用配方法解方程x - x+1=0 正确的解法是（ ）2318a（x- ） = ，x= 1 2 22393318b（x- ） =- ，原方程无解23925c（x- ） = ，x = + ，x =252 - 5212393 3325d（x- ） =

8、1，x = ，x =-1321233二、填空题1若 8x -16=0，则 x 的值是_22如果方程 2（x-3） =72，那么，这个一元二次方程的两根是_23如果 a、b 为实数，满足 3a + 4 +b -12b+36=0，那么 ab 的值是_2三、综合提高题1解关于 x 的方程（x+m） =n2 2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另三边用木栏围成，木栏长 40m（1）鸡场的面积能达到 180m 吗？能达到 200m 吗？2（2）鸡场的面积能达到 210m 吗？23在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？答案:一、1b 2d 3b二、1 2 29 或-3 3-8三、1当 n0 时，x+m= n ，x= n -m，x =- n -m当 n0 时，无解122（1）都能达到设宽为 x，则长为 40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，得：x -20x+90=0，x =10+ 10 ，x =10- 10 ；212同理 x（4