斐波那契数列的魅力研究性论文1

1、斐波那契数列的魅力【摘要】斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n【5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的【关键词】斐波那契数列（数学）【正文】背景目的：生活中到处存在着迷惑和困境，但却又到处充满了新鲜与乐趣，让人类对未知的事物，对新奇的东西产生了兴趣，让人们不断地摸索，探求，这就是事物的魅力，也是人类的本性而当莱奥纳尔多（“斐波那契数列”的发明者）在算经中提出了著名的“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，

2、13，21，34，55，.，其中每项都是前两项之和。这是欧洲最早出现的递归数列。一个了不起的成就出现了。而具有讽刺意味的是：斐波那契在今天的著名，是缘于一个数列而这个数列则来自他的算盘书中一道并不出名的问题他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习然而，到了19世纪，法国数学家e卢卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时，才把斐波那契的名字，加到该问题的解答和所出现的数列上去 这也引起了我对它的好奇和向往，究竟是什么能够使原来希腊人和罗马人使用的那一套陈旧的数字记号致受打击呢？这一定不只是一个简简单单的数列。它其中又包含有什么魅力在其中呢？方法过程： 我们先从算盘书中引致斐波那契数列的问题来

3、探讨吧：1）假定一个月大小的一对兔子（雄和雌的），对于繁殖还太年轻，但两个月大小的兔子便足够成熟又假定从第二个月开始，每一个月它们都繁殖一对新的兔子（雄和雌的）2）如果每一对兔子的繁殖都按上面说的同样的方式试问，从开始起每个月有多少对兔子呢？免子的对数斐波那契数列的每一项，都等于它前两项的和用公式表示为：fn=fn-1+fn-2（例子摘自百度百科）那时，斐波那契并没有去研究这种数列的结果，从而他没有给出任何真正有意义的东西一直到19世纪，当数学家们开始对这个数列感兴趣时，它的性质和它所触及的领域，才开始显现出来（斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”

4、。）然而，在这其中一定还有其他值得我们再去探索的，我们从中还可以观察到相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的，那么菲波那契数列与黄金分割会不回有什么关系呢？于是我经网上查找得知，有关研究报告中发现，由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。即f(n)/f(n-1)-0.618。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。 那就让我来举一个很能说明问题的例子吧。例如五角星或说是正五边形。五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星

5、中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。 由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18度。 黄金分割点约等于0618：1 是指把一线段分为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。 利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。 而就在2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为l的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，

6、1，2，3，5，8，13，21，.后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,.近似值的。还有苏格兰人robert simson也证明了，当项数趋于无穷时，斐波那契数列的后项与前项之比趋近黄金分割，也就是1.61803398875。这也许说明了斐波那契数列与黄金分割有天然的联系。如斐波那契螺旋就是最直接的例子。如果顺逆时针螺旋的数目是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。这样的螺旋能最佳利用圆周，疏密最为均匀。它的构造方法也不难，只需先用同样是与斐波那契数列有关的数构造黄金矩型（长宽之比为黄金分割），再在每个矩形中各描绘出一条1/4圆弧，让各段弧彼此连接

7、。这样的黄金矩形也往往能一些艺术名作中找到，如达芬奇著名的作品蒙娜丽莎。（摘自bzhang.lamost） 因此，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。那么对于斐波那挈数列通项公式的推导我也产生了浓厚的兴趣。查阅了一些书籍，可以推出：设常数r,s使得f(n)-r*f(n-1)=s*f(n-1)-r*f(n-2)则r+s=1, -rs=1n3时，有f(n)-r*f(n-1)=s*f(n-1)-r*f(n-2)f(n-1)-r*f(n-2)=s*f(n-2)-r*f(n-3)f(n-2)-r*f(n-3)=s*f(n-3)-

8、r*f(n-4)f(3)-r*f(2)=s*f(2)-r*f(1)将以上n-2个式子相乘，得：f(n)-r*f(n-1)=s(n-2)*f(2)-r*f(1)s=1-r，f(1)=f(2)=1上式可化简得：f(n)=s(n-1)+r*f(n-1) 那么：f(n)=s(n-1)+r*f(n-1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*f(n-2)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r3*f(n-3)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)*f(1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r

9、2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)（这是一个以s(n-1)为首项、以r(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）=s(n-1)-r(n-1)*r/s/(1-r/s)=(sn - rn)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+5)/2, r=(1-5)/2则f(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n （详细推导过程摘自百度百科） 其实，该数列还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作

10、惊讶地问你：为什么6465？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到 。这一切是不是都很有趣呢？ 还有如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。只要耐心发现，在自然界中的斐波那契数列也有最典型的例子，就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝都是按这

11、种方式生长的。如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。结论：斐波那契亚数列给人们的思维带来了新的突破，引起了人们对生活更多的思考，由于斐波那契数列还出现在：1）帕斯卡三角形，二项展开式和概率2）黄金比值和黄金矩形3）自然和植物4）使人感兴趣的数学戏法5）数学恒等式也使得学术的综合融解,使人们的思维创新，在生活中的巧妙运用，这些都是斐波那契亚数列的魅力之处。这次研究性活动也使我在思维上得到了新的突破，在知识上得到了更多的认识，每一样看上去似乎不相关的东西，往往它们却存在着紧密的联系。使我