2018年专题10(几何)最值问题(含详细答案)

1、专题10几何最值问题 【十二个基本问题】 1【问越1】 作法 图形 原理 i / V 在直皴/上求一点P,便 刃+PB恒最小. 连*乩与7交点即为P. R 垢点之钱段最短. PAPB Jft小值为丄5 【问趣2】将军饮马” 作法 图形 原理 1 在直线/上求一点P,使 左什值最小. 作B关干/的对称点B 连 (2)如图1,作N点关于直线x=3的对称点M，则N (6,3),由得D(l,4), 故直线DN1的函数关系式为y, 当M(3)在直线DNr上时财N+MD的值最小， nil 121 18 则,w=-x3+y=y; 由、(2)得刀(1,4)2( 1,2), 点E在直线2C上， 设 E(x;r+

2、1), 如图2,当点E在线段AC上时，点F在点E上方， 则F(xa+3)/F在抛物线上匸*+3=, + 2丫+3, 解得 /=0 或 x = 1 (舍去) (0,1); 当点E在线段FC(或Cd)延长线上时，点F在点E下方，则F(xa1) 由F在抛物线上Ax-1 = 一,+2x+3解得x=二严或x上尹 一回 3- 2 ， 畀或( 1+0 3 + 2 ， 综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、(上护,匕护)或(上号叵,吐害) (4) 方法一：如图3,过点P作P0丄x轴交dC于点0,交x轴于点H 过点C作CG丄x轴于 点 G,设 0(“ + 1),则P(x,-x2+2x+3).PQ=( ,+2x

3、+3) (x+l)=-,+x+2 又I 面积的最大值为诗 方法二：过点P作PQ丄x轴交2C于点0,交x轴于点H：过点C作CG丄x轴于点G.如图 3,设 Qxx+l),则P(x,x+2x+3)又Ssc=S_QJPH)+S_(直角梯形 PHGC)S_(A AGC) 27 HAPC的而积的最大值为#. 11. 解：如图1所示，设经翻折后，点/、B的对应点分别为岀、0, 依题意，由翻折变换的性质可知(3,0)耳(- 1,0),C点坐标不变， 因此拋物线经过(3,0個(一 1,O),C(O,3)三点， 设抛物线厶的解析式为歹=拐+加+“则有： 如图2所示，连接0C并延长，与对称轴x=l交于点P,则点P即

4、为所求. 此时 Ri! -PC| = PB-PC=BC. 设尸为对称轴x=l上不同于点P的任意一点,则有： 尸 （2）CD=BE、 理由：: HABD 与ZIUCE 是等边三角形，：.4D=ABC=AE,ZBAD= ZCAE=6Q :.ZB1D+ ZBAC=ZCAE+ ABAC,即 ZCW= ZEAB, 在CQ与EJE中， AD=AB ZaiD=ZE.lB9 : “CAD竺HEAB00： CD= BE； yACAE .线段BE长的最大值=线段CD的最大值， 由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上, 最大值为 5D+5C=JB+5C=3+6=9： .将厶妒必绕着点P顺时针旋

5、转90得到PBV,连接2N,则JPN是等腰直角三角形, :.PN=PA=2N=.1M, :A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0), A OJ=2,05 = 5, .J5=3, .线段长的最大值=线段BN长的最大值， 当N在线段的延长线时，线段阳取得最大值，最大值=AB+AN, 二0=返妒=2最大值为2花+ 3; 如图2,过P作PE丄x轴于E, : HAPN是等腰直角三角形， .PE=4E=yli,.OE=BO-AB-AE=5-3-农=2- y2,2ff976c3.png .P(2-返乜). (4) 如图4中，以BC为边作等边三角形BC3/, / ZABD= ZCBM= 60, ZA

6、BC=AB=DBJBC=BW HABC 些 HDBW :.AC=MD, 欲求/C的最大值，只要求岀D忆的最大值即可， VBC=4 边=定值,Z5DC=90, 点D在以BC为直径的OO上运动， 由图象可知，当点D在BC上方丄BC时，D忆的值最大，最大值=2迈+ 2&. :-AC的最大值为2边+2托. 14. 解：(l)b=a(x+3)(x-l),点/的坐标为(-3,0).点P两的坐标为(1,0), 直线经过点 A,：.b=-3y3,：.y=-yj3x-3y3,x=2 时$= 5书， 则点D的坐标为(2,-5 *),点D在抛物线上,(2+3)(21)=一5心 解得,a= VI则抛物线的解析式为y=

7、-萌(x+3)(x-l)=帝x?2 Vx+3羽； (2)如图1中，作PHx轴于H,设点P坐标(和7), 图1图2 OC_PH OA HB 诂Tj,即 n=-a(jn-:. 7i= a(m 1) ” = a(初+ 3)(加一 1) 解得加= -4或1（舍弃）, 当加=一4 时,n=5a,T BRIsMbc,： AC_AB 9ABPB :.AB2=AC PB、 当厶 BEQsabc 时上 BAC= ZPBA,： tanZ5JC=tanZPBJ,即 .409J+9 p25,+25,解得 a= - 噜或劭(15)”(15)(舍弃)， 则”=5a=冷2点P坐标(一4,普可. QQ pri 、沁时,即面=丽 -3a n =一加+r 7i = 3a(?n I), /. 幵=3a(加一 1) n=a(m+3)(加1) 解得m=6或1（舍弃）, 当加=一6 时m = 21a,T PBAs/ABC, .BC_AB BA=PB ，即AB2=BC PB、 ：.42=y+9a2 寸7，+ (-21a)1 解得“=一 则点P坐标(-6,-3 V7), 综上所述,符合条件的点P的坐标（-4,一 (3)如图2中，作DM/x轴交抛物线于胚作D