【2019年整理】第二章极限习题及答案：数列极限

1、函数、数列以及极限的综合题 例 已知函数y = f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n 1( n= 0,1,2，) 时，该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b 1)，设数列xn由f (xj = n(n二1,2,)定 义.求： (1) 求为、x2和xn的表达式； (2) 求f (x)的表达式，并写出其定义域； (3) 证明：y二f (x)的图像与y =x的图象没有横坐标大于 1的交点. 分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推 理和综合的能力. (1)由斜率分式求出XX2，同样由斜率公式求出关于 召的递推式，然后求出xn ,( 2) 由点斜式求出心人段的f

2、 (x)的表达式，用极限的方法求出定义域.(3) y = f (x)与 y =x没有交点，只要b 1时f (x) x，或0 ： b ：1时f (x) ： x恒成立，当b 1，由于 f(X)- Xf (Xn) - Xn，只要证 f(Xn)-X. 0. 解：(1)依题意 f(0) =0，又由f(xj =1，当0乞y乞1时，函数y二f(x)的图象是 斜率为b0 =1的线段, 故由 f(X1)-f(0)=1 得 X1. 又由 f(X2)=2 , 当1辽y乞2时，函数目二f(x)的图象是斜率为b的线段，故由 f (x2) - f(X, )1 +,1 21 b，即 X2 - X1 得 x 1 - x2 -

3、 论bb 记x。=0.由函数y = f(x)的图象中第n段线段的斜率为bnd，故得 5讣 Xn Xn/ 又 f (Xn) -n, f(Xn4)= n -1; 八皿 由此知数列Xn -乩为等比数列，其首项为1,公比为b n 因 b /，得 Xn = (Xk -Xn) Xn - b -1 1 n_1 7厂 b -1 (2)当0乞y乞1时，从(1)可知y =x，即当0乞x乞1时，f (x)二x, 当n y n 1时，即当xxn 1时，由(1)可知 f(x) = n bn(x Xn)(Xn 沁 EXn 1,n =1,2,3,). 为求函数f(x)的定义域，须对 Xn b) b1 (n二1,2,3，)进

4、行讨论. 当b 1时, lim xn = lim n .n ): 叫) n -1 b -1 b b1 k 4 0 : b ：1时，n-:，Xn也趋向于无穷大. 综上，当b .1时，y = f(x)的定义域为0占 当 0 :：: b ：1 时,y 二 f (X)的定义域为0,：). K (3)证法1首先证明当b ： 1,1 ： x 时，恒有f(x)x成立. b1 K 对任意的X (1,)，存在Xn使Xn ： X乞Xn 1，此时有 b-1 f(X)- f(Xn) =bn(X -Xn)X-Xn( n_ 1), f (x) -X f (Xn) - Xn. 1 1 又 f (Xn)二 n 1 亠亠 亠

5、n 4 =Xn， b b f(Xn)-Xn 0, f(X)-X f (Xn) - Xn 0, 即有f (x) X成立. 其次，当b ：1，仿上述证明，可知当x 1时，恒有f(x) ：x成立. 故函数f (x)的图象与y二x的图象没有横会标大于 1的交点. K 证法2首先证明当b 1,1 ： x 时，恒有f(x) .x成立. b-1 用数学归纳法证明： (i )由(1 )知当 n =1 时，在(1,x2上，y 二 f (x) = 1 b(x - 1),所以 f(x) -x =(x -1)(b -1)0 成立. (ii)假设n=k时在(xXk上恒有f (x) x成立. 可得 f (xkk 1 Xk

6、 1， 在(Xk 1，xk 2上，f (x) - k 1 bk 1(X =Xk 1), 所以 f (x) _x = k 十1+bk41(x_xk也)_x -(b -1)(x -兀.J (k 1 -兀.J 0也成立. K 由(i)与(i)知，对所有自然数n在(Xn,Xn上都即1 ： X -时，恒有f (X) X. b-1 其次，当b : 1，仿上述证明，可知当 x : 1时，恒有f (x) ： x成立. 说明：本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学 知识、思想方法解决问题的能力.解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能 力，本题的(2)用求极限的方法求定义

7、域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不 过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1 分，创了近年高考得分低的记录. 命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置.本题得分低一 方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的 模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法.以后坚持考不等式证 明题的方向不会改变，试题难度会适度降低. 判断数列极限命题的真假 例判断下列命题的真假: (1) 数列 0,1,0,1，J (T),的极限是0和1. 2 (2) 数列 (3) 数列 11 1 1

8、1,一 ，2，一 3,，(一1)厂* n：厂的极限是0. 2 2 2 2 111 sin 1,sin , sin , ,sin ， 的极限不存在. 23n 1 1 1 （4）数列1, 2，10000的极限是0. 3 33 分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化 趋势. 解：（1） 一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命 题. （2）随着n无限增大，数列 2nJ 的项无限趋近于 0,因此它的极限是 给出4与Sn的关系式，可以利用Sh4an( n-2)，设法求出a.的表达式. 是真命题. （3） 随着n无限增大，数列彳丄的项无限趋近

9、于0,因此数列$sin？无限趋近于0, 是假命题. （4）有穷数列无极限，是假命题. 说明：（3）中容易认为极限不存在. （4）容易错误认为是真命题，尽管数列 随着n的增大而逐渐趋近于 0,但由于 数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限. 根据数列的极限确定参数的范围 例 八1_aY 右 lim ! 2a 丿 =0，则a的取值范围是（） A. a =1 b. a 1 C. -Uac1 D. 1 a 一或 a1 3 3 3 分析 :由 lim an = 0 （a为常数） ，知la v1，所以由已知可得 1-a 1，解这个不等 njpC 2a 式就可求得a的取值范围. ：1 , 所以1a 2

10、a 两边平方，得：（1 -a）2 : 4a2, 3a2 2a-1 0,(3a -1)(a 1) 0, 1 所以a ： -1或a 1. 3 答案 B 1 _a 说明：解题过程容易误认为只有0，得a = 1，错选A 解决含有涉及到求字母 2a 取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题. 分析数列求极限 已知数列1.9, 1.99, 1.999，1.9999， (1) 写出它的通项an ； (2) 计算 I an - 2 I ； (3) (4) (5) 第几项以后所有的项与 第几项以后所有的项与 指出这个数列的极限. 2的差的绝对值小于 0.01? 2的差的绝对值小于 0.00

11、1 ? 分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再 求极限. 解：(1)可将数列改写为 n个 . (2-0.1), (2-0.01) , (2-0.001),，(20.00,01 ), 1 于是此数列的通项an =2 - n . 10 11 (2) 丨an -2 冃(2 n) -21 n . 1010 1 (3) 令 |an 一2卜：0.01 即-:：:0.01，解得 n 2 10 故这个数列的第2项以后的所有项与 2的差的绝对值均小于0.01. 1 (4) 令 |an -2卜：0.001 即 n 0.001，解得 n 3 10 故这个数列的第3项以后的所有项

12、与 2的差的绝对值均小于0.001. 1 nim：(210n)=2 可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限. (5) 说明: 求数列奇数项和的极限 数列：aj的前n项和记为Sn ,已知an =5Sn -3( nN )，求 l i m1a?n J 的值. n 分析：为求a1 a - a2n当n； 的极限，应先求出an的表达式.从已知条件中 ”,3 解：由 ai = S 及 ai = 5Sj - 3 = 5a - 3，可得 ai - 4 又 n _ 2 时，an = Sn Sn j，贝V an = 5Sn 3 =; an 丄一5Sn一3 、/i 两式相减，得 an = anj =5

13、an,anand 4 曰 是， QA 数列：a是以一为首项，公比为-一的无穷等比数列. 4 进而可得，数列a!，a3,a5, ,a2n“,是以a-为首项，公比为 4 无穷等比数列，于是可求出极限. 3 L i2 i lim (ai a3a?n J 二 n-；i 丄 i5 i6 说明：这同i999年全国高考文史类试题. 对于这类求极限的题目，必须先用数列的性 质求出an的通项公式，或确定数列的特征再求极限由于所求数列是一个公式 穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式 ai 等比数列和的极限 q 0 ),且ana是公比为q ( q 0 ) i 的等比数列.设bn=a2n4 a2n( n =i,2，)，求bn与lim，其中Sn二bib2_bn FSn 解：因为 an ian 2_ an 2 anan ian =q， 所以乩 bn a2n ia2n a2n -4a2n a2nqa2nq a2n 4a2n i =0 ； d =i= 0,所以bn是首项为i + r，公比为q的等比数列，从而bn =(i * r)qn_l 当q =i时，Sn = n(i r) , lim = lim nTcsn1( i+r) 当 0 : q 1 时, Sn，r)(_qn)，lim 丄=limn i -qn: Snnr (i r)(i -q ) i -q i