固体物理第三章晶格振动与晶体的热学性质3.4三维晶格的振动

1、03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 3.4 三维晶格的振动三维晶格的振动 三维复式格子三维复式格子 各原子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移 晶体的原胞数目晶体的原胞数目 321 nnnn 原子的质量原子的质量 n mmmm, 321 第第l个原胞的位置个原胞的位置 332211 )(alalallr 原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 n l r l r l r l r , 3 , 2 , 1 n llll , 3 , 2 , 1 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子 01/19 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 第第k个原子运动方程个原子运动方程

2、k l k l mk 2 3, 2, 1 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解 q k l rti ke a k l 将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 2 , k k kk a kk q cam ;,;,;, 222111nznynxzyxzyx aaaaaaaaa 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个)3, 3,

3、 2, 1(nj j 长波极限长波极限0q3个个q j 趋于一致趋于一致 n aaaa , 321 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波 1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相 对运动对运动 3n3支光学波支光学波 结论：结论：晶体中一个原胞中有晶体中一个原胞中有n个原子组成，有个原子组成，有3支声学波和支声学波和 3n3支光学波支光学波 波矢波矢 332211 bxbx

4、bxq 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢 321 ,bbb 三维晶格中的波矢三维晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢 123 ,x xx 3个系数个系数 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 )( )( )( 333333 222222 111111 bx k l ranti kz bx k l rti kzz bx k l ranti ky bx k l rti kyy bx k l ranti kx bx k l rti kxx zz yy xx eaea k l eaea k l eaea k l 采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件 1 1 1 1122222333

5、 33 2,2,2n a x bhn a x bhn a x bh 05/19 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 1 11 1 1 11 2 22 2222 3 33 33 33 2 2 2 h xx n a bn h xx n a bn h xx n a bn 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b n h b n h b n h q 波矢波矢 波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积 123 123 *() bbb v nnn 0 *v n 倒格子原胞体积倒格子原胞体积)(* 3210 bbbv 状态密度状态密度 0123 *() nn vbbb 0 33 (2

6、 )(2 ) nvv 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振动波函数原子振动波函数 qlri e )( 波矢改变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢 332211 bnbnbngn n gqq qlriqglri ee n )()()( 1 12233 ( )2 () n r lgl nl nl n q k l rti ke a k l 不同原胞之间位相联系不同原胞之间位相联系 原子振动状态一样原子振动状态一样 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 k的取值限制在一个倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布

7、里渊区 22 11 b q b x 22 22 b q b y 22 33 b q b z 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b n h b n h b n h q 11 1 22 nn h 22 2 2 2 n h n 22 3 3 3 n h n 个取值个取值 321 nnnn 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z h qb n h qb n h qb n 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 对应于一个波矢对应于一个波矢q 3支声学波支声学波和和3n3支光学波支光学波 总的格波数目总的格波数目nnnn3) 333( 晶体中原子的坐标数目晶体中原子的坐标数目 n

8、n i ii qqne 3 1 )( 2 1 )(晶格振动总的能量晶格振动总的能量 )(q i 晶格振动能量量子晶格振动能量量子 声子声子_phonon 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 二维布里渊区二维布里渊区 正方格子的布里渊区正方格子的布里渊区 正方格子的基矢正方格子的基矢 1 2 aai aaj 倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢 j a b i a b 2 2 2 1 10/19 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 第一布里渊区第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点倒格子空间离原点最近的四个倒格点 1122 ,bbbb 垂直平分线方程垂直平分线

9、方程 a k a k y x 第一布里渊区第一布里渊区 大小大小 2 ) 2 ( a 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 第二布里渊区第二布里渊区 由由4个倒格点个倒格点 12 12 12 12 () () () () bb bb bb bb 2 ) 2 ( a 第二布里渊区大第二布里渊区大 小小 的垂直平分线和第一的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成布里渊区边界所围成 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 由由4个倒格点个倒格点 12 12 2 ,2 2 ,2 bb bb 第三布里渊区第三布里渊区 2 ) 2 ( a 第三布里渊区大小第三布里渊区大小 的垂

10、直平分线和第二布的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成里渊区边界边界所围成 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第三布里渊区 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形成 15/19 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 正方格子其它布里渊区的形状正方格子其它布里渊区的形状 每个布每个布 里渊区经过适里渊区经过适 当的平移之后当的平移之后 和第一布里渊和第一布里渊 区重合区重合 03_04_三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质 二维斜格子的第一布里渊区二维斜格子的第一布里渊区 03_04_三维晶格的