最新八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4

1、 精品文档4 专题三角形证明总复习学员姓名年级：课 题 三角形证明总复习教 学 1、巩固三角形的基础知识，并提升考查重 点 1、重点是全等三角形、等腰三角形、直角三角形等相关提升难 点 2、难点是分析实际问题考查的知识点，进而猜想辅助线的能力考 点 3、考查基础性质、定理、概念、计算、变形、证明等实际运用精品文档 精品文档知识核心1、全等三角形与等腰三角形知识回顾复习1、等腰abc 中，已知一个角为 30，则其他两个角的度数是2、等腰三角形的一个角为 100，则它的底角为（a.100 b.40 c.100或 40 d.不能确定）3、下列推理中，错误的是()aabc，abc是等边三角形babac

2、，且bc，abc是等边三角形ca60，b60，abc是等边三角形 dabac，b60，abc是等边三角形4、已知，如图abc中，abac,d点在 bc上，且 bdad，dcac.将图中的等腰三角形全都写出来.并求b的度数.a知识要点bdc知识点一：与三角形全等相关的公理与推论(1)与三角形全等相关的公理对应相等的两个三角形全等(sss)对应相等的两个三角形形全等(sas)对应相等的两个三角形全等(asa)全等三角形的相等、相等对应相等的两个三角形全等(aas)(2)与三角形全等相关的推论：“sss”“sas”“asa是”判“定aa三s ”角形全等的条件，特别提示：判定三角形全等的各组条件描述的

3、都是一个三角形中的三个元素，处在特定位置时，与另一个三角形对应的三个元素相等时，才能判定这两个三角形全等，并且各组条件中至少有一个是边相等的条件。知识点二：等腰三角形1、等腰三角形的性质定理(1)定理：等腰三角形的两个(2)推论：等腰三角形顶角的可简述为“三线合一”特别提示：相等，可简述为“等边对等角”、底边上的 、底边上的 互相重合，（1）“等边对等角”为证明两角相等提供了一条证题途径，注意两角需在同一三角形中。（2）等腰三角形“三线合一”定理包含三项，只要其中一项成立，其余两项都成立，例如，若知某线段为等腰三角形顶角的平分线，则该线段一定是这个等腰三角形底边上的中线与高，“三线合一”常用来

4、证明两个角相等、线段相等或线段垂直。2、等腰三角形的判定定理定理：有相等的三角形是等腰三角形，可以简述为“等角对等边”特别提示：（1）只有在同一个三角形中，才有“等角对等边”。（2）“等角对等边”既可以判定等腰三角形，又可以为证线段相等的方法之一知识点三：等边三角形性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于度。判定定理：有一个角是等边三角形精品文档 精品文档特别提示: (1)等边三角形具有特殊的轴对称性，三边的垂直平分线都是其对称轴，三边上都有“三线合一”的性质。 （2）判定一个三角形为等边三角形的方法有三个三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等

5、于 600 的等腰三角形是等边三角形。要根据题目条件、特征、灵活选择判定方法。知识点四：反证法1、定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结论，从而证明命题的结论成立，这种证明方法称为反证法。2、反证法的一般步骤为：先假高命题的结论不成立，然后从假设出发，用正确的推论方法，得出矛盾，从而肯定命题的结论成立。特别提示： （1）用反证法证题时，由于假设命题的结论不成立，就必须考虑结论的反面所有可能出现的情况。 （2）反证法是一种很重要的证明方法，当我们直接证明一个命题成立有困难时，就可以用反证法证明。经典例题类型一：全等三角形例 1、（09 深圳）

6、如图 9，四边形 abcd 是正方形，bebf，be=bf，ef 与 bc 交于点 g。adc（1）求证：abecbf；（2）若abe=50，求egc 的大小。egbf图 9变式：（湖南长沙）在正方形 abcd中，ac 为对角线，e 为 ac 上一点，连接 eb、ed（1）求证：becdec；（2）延长 be 交 ad 于 f，当bed=120时，求efd 的度数例 2、（10 深圳）如图 8，aob 和cod 均为等腰直角三角形，aobcod90，d 在 ab 上（1）求证：aocbod；（2）若 ad1，bd2，求 cd 的长adcbo图 8类型二：等腰、等边三角形精品文档 精品文档例 1

7、、下列命题正确的是（ ）.（a）等腰三角形是锐角三角形（c）真命题的逆命题一定是真命题（b）两个等腰直角三角形全等（d）等腰三角形两腰上的高相等变式 1：设 m 表示直角三角形，n 表示等腰三角形，p 表示等边三角形，q 表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（ ）变式 2：具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）a. 顶角、一腰对应相等c. 两腰对应相等b. 底边、一腰对应相等d. 一底角、底边对应相等例 2、如果等腰三角形的一个角是 80，那么另外两个角是_度。变式 1：等腰三角形底角 15，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是_变式 2：abc

8、 中，ab=ac，cd 为 ab 上的高，adc 为等腰三角形，bcd 为（ ）.（a）67.5 （b）22.5 （c）45 （d）67.5或 22.5变式 3：（深圳 2010）9如图 1，abc 中，acadbd，dac80，则b 的度数是（a40 b35）c25d20例 3、如图 1-c-6，在abc 中，ab=ac，点 d、e 在 bc 上，且 db=ec，求证：bad=cae.例 4、如图，在abc 中，ad 是中线，bf 交 ad、ac 于点 e、f，且 af=ef。求证：be=ac.例 5、（安徽中考）已知；点 o 到abc 的两边 ab、ac 所在直线的距离相等，且 ob=oc

9、。（1）如图（1），若点 o 在边 bc 上，求证：ab=ac；（2）如图（2），若点 o 在abc 的内部，求证：ab=ac；（3）若点 o 在abc 的外部，ab=ac 成立吗？请画图表示。例 7、如图 1，点 c 为线段 ab 上一点，acm，cbn 是等边三角形，直线 an，mb精品文档 精品文档交于点 f。（1）求证：an=bm；（2）求证：cef 为等边三角形；（3）将acm 绕点 c 按逆时针方向旋转 90，其他条件不变，在图 2 中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立。2、直角三角形与线段垂直平分线、角平分线知识回顾复习1、不能确定两个三角形全等的

10、条件是a、三条边对应相等（）b、两角和一条边对应相等c、两条边及其夹角对应相等d、两条边和一条边所对的角对应相等2、某校计划修建一座既是中心对称又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）a等腰三角形b等边三角形c等腰梯形d菱形3、用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于 60时，假设“”，则与“”矛盾，所以原命题正确4、已知直角abc 中，ac=4，bc=2，则 bc=。5、常见勾股数有。6、直角abc 中，a=90，b：c=4：6，则b=，c=。7、如图，在abc 中，acb=900 ，ab=5，bc=3，cd

11、ab 于点 d，求 cd 的长。知识要点知识点一：直角三角形3、勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的的平方和等于的平方。逆定理：如果，那么这个三角形是直角三角形。4、命题包括已知和结论两部分；逆命题是将命题的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。5、直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（hl）。（4）定理：在直角三角形中，如果有一个角等于30，那么它所对的直角边等于知识点二：线段垂直平分线的一半。（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到的距离相等。判定：到一条线段距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。精品文档 精品文档（2）三角形三

12、边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。（外心）（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点 a、b 为圆心，以大于 ab 的一半长为半径作弧，两弧交于点m、n；作直线 mn，则直线 mn 就是线段ab 的垂直平分线。知识点三：角平分线（4）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到的距离相等；判定：在一个角的内部，且到（5）三角形三条角平分线的性质定理距离相等的点，在这个角的平分线上。性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。（内心）（3）如何用尺规作图法作出角平分线（略）经典例题类型一：直角三角形例 1、下列

13、条件中，（1）一边及一锐角对应相等（2）两锐角对应相等（4）两条边对应相等（3）一条边对应相等能够证明两个直角三角形全等的条件有变式：能确定两个三角形全等的条件是a、三个角对应相等（）b、两角和一条边对应相等c、两条边及一角对应相等d、两条边和一条边所对的角对应相等例 2、如图 1， abc 中，c=90，e 为 ab 的中点,deab 于 e，caddab=25，则b=。变式：abc 中，c=90，a=30，bd 平分b 且交于 ac 于点 d,ac=1，则 ad=例 3、已知：如图 3， abc 是边长为 2cm 的等边三角形，延长 cb 到 d，使 bd=bc，.延长 bc 至 e 使

14、ce=bc，则 c ade=。变式 1：如图 2，abc 中，acb=90，ac=bc，ae 是 bc 边上的中线，过 c 作cfae 于 f，过 b 作 bdbc 交 cf 的延长线于 d ,若 ab=12cm,则 bd=cm.变式 2：已知等腰三角形的腰长为 10cm，一腰上的高为 5cm，则这个等腰三角形的顶角为例 4、图 1-c-21,折叠矩形 abcd,使点 d 与 bc 边上的点 f 重合,已知矩形的长为.10,宽为 6,则 bf=. de=.变式：如图，折叠长方形的一边 ad，点 d 落在 bc 边的点 f 处，已知：ab=8cm，bc=10cm，则efc 的周长=_cm。精品文

15、档 精品文档例 4 变式例 5、已知：在四边形 abcd中，d = 90，dc = 3cm，ad = 4cm，ab = 12cm，bc = 13cm.求四边形 abcd的面积.d34ac1213bc变式：如图，a = 60，ab=ad=8，d =150，四边形的周长为 32，求 bc 和 cd 的长。00dab例 6、如图， abc 是等边三角形中， ab =10cm . 求高的长和的面积.adabc变式：在 rtabc 中,c=90 ,d 是 bc 边上一点,且 bd=ad=10, adc=60,求abc 的面积.类型二：线段垂直平分线与角平分线例 1（1）如果一个三角形两边的垂直平分线的交

16、点在第三边上，那么这个三角形是（ ）a. 直角三角形 b. 锐角三角形 c. 钝角三角形 d. 不能确定（2）已知，如图，在abc 中，ob 和 oc 分别平分abc 和acb，过 o 作 debc分别交 ab、ac 于点 d、e，若 bd+ce5，则线段 de 的长为a. 5 b. 6 c. 7 d. 8（3）如图所示，有 a、b、c 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）a、ab、bc 两边高线的交点处b、ac、bc 两边中线的交点处d、a、b 的平分线交点处c、ac、bc 两边垂直平分线的交点处（2）（3）变式 1变式

17、：如图所示，abc 中，c=90，de 是 ab 的中垂线，ab=2ac，bc=18cm，则 be 的长度为.例 2、如图，acb=90，bc=1，a=30，d 为 ab 中点，deac 于 e，求ced 的周长。精品文档 精品文档变式 2：如图，在abc 中，ab = ac，ab 的垂直平分线交 ac 于 d，abc 和dbc 的周长分别是 60cm 和 38cm，求 ab、bc。例 3、三角形中到三边的距离相等的点是(3)三条边的垂直平分线的交点 b.三条高的交点(4) c.三条中线的交点 d.三条角平分线的交点)cdba变式：如图,在 rtabc中,c=90ad的平分bac, bad=2

18、0,则b的度数为(a. 40 b. 30 c. 60 d. 50)例 4、已知：如图，ceab，bfac，ce 与 bf 相交于 d，且 bd=cd.求证：d 在bac 的平分线上.例 5、如图，在abc 中，bac=40 ，c=80 ，be 是abc 的一条角平分线，debc,00求bec 的度数。adebc变式：如图，ae 是abc 的角平分线，b=bac， c=30 ，求bae 的度数。oa类型二：综合题型bce例 1、如图 1-c-27，abc 中，ab=ac，ad 和 be 是高，它们相交于点 h，且 ae=be，求证：ah=2bd 。例 2、如图 1-c-29，oc 是aob 的平分线，点 p 为 oc 上一点，若pdo+peo=180 ，0试判断 pd 和 pe 的大小关系，并说明理由。精品文档 精品文档培优操练简单思索 、已知：如图，d 是abc 中 bc 边上一点，eb=ec，abe=ace，求证：bae=cae.证明：在aeb 和aec 中，eb ec=abe = aceae = aeaebaec(第一步)bae=cae(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错