函数极限习题与解析

1、 函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题= 2 - x + lg lg x1、设 f (x)，其定义域为。= ln(x +1)2、设 f (x)3、设 f (x)，其定义域为。= arcsin(x - 3)，其定义域为。4、设 f (x) 的定义域是0，1，则 f (sin x) 的定义域为。= f (x)=的定义域是0，2 ，则 y f (x ) 的定义域为5、设 y2x - 2x + k2= 46、lim，则 k=。x - 3x3x=7、函数 y有间断点，其中为其可去间断点。sin xsin 2xx 0 时 ， f (x)=在 =，且 f (x) x 0 处连续 ，则 f

2、 (0) =8、若当。xnnn+ +) =9、 lim(n。n +1 n + 2n + n22210、函数 f (x) 在 x 处连续是f (x) 在 x 连续的0条件。0(x +1)(x + 3x + 2)3211、limx=。2x + 5x352+ ) = e12、 lim (1nkn-3 ，则 k=nx2 -1=13、函数 y的间断点是。x2 - 3x + 21时， 是比 +x + 3 - x +114、当 x的无穷小。无穷小。xx 0时，无穷小1- 1- x15、当与 x 相比较是1= e16、函数 y在 x=0 处是第类间断点。x-13 x=17、设 y，则 x=1 为 y 的间断点

3、。x -1 pp 118、已知 f 3 = 3，则当 a 为时，函数 f (x)= asin x + sin 3x x =在处连续。33 sinxx 0xx + sin x=- 2水平渐近线方程是20、曲线 y21、 f (x)。x21= 4 - x +的连续区间为。2x -12 +x a 0,x=在 x 0连续 ，则常数22、设 f (x) cos x , x 0a=。二、计算题1、求下列函数定义域1=y = sin x；（1） y；（2）1- x21= e（3） y；x2、函数 f (x) 和 g(x) 是否相同？为什么？= ln x , g(x) = 2ln x（1） f (x)；2=

4、x , g(x) = x2 ；（2） f (x)= 1 , g(x) = sec x - tan x（3） f (x)；22 3、判定函数的奇偶性（1）；y= x (1- x )22y = 3x - x（2）23（3）；y= x(x -1)(x +1)4、求由所给函数构成的复合函数（1）（2）（3）；yyy= u , u = sin v , v = x22= u , u = 1+ x2 ；= u , u = e , v = sin x；2v5、计算下列极限1 11lim1+ 2 + 3 +l+ (n -1)（2） ；+ + + + )（1） lim (1nl；2 42nn2nx2+ 5x2-

5、2x +1（3）lim；（4）lim；x - 3-1x2x2x1x3+ 2x211+ )(2 - )（5） lim (1x；（6）lim；2(x - 2)2xxx2 x2-13 - x - 1+ x1（7）lim sin2；（8）limx1；xxx0+1 - x)（9） lim (x x；2x+6、计算下列极限sin wxsin 2x（1）lim；（2）lim；xsin 5xx0x0x（3）lim cot ；x x（4）lim(x) ；x1+ xx0（5） lim( x +1)；（6）lim(1- x)x0；1x-1xx -1x7、比较无穷小的阶（1）；x 0时 ， 2x - x 与x - x

6、2231（2）；x1时 ， 1- x与 (1- x )22 8、利用等价无穷小性质求极限tan x - sin xsin(x )n(n , m是正整数)；（1）limx0；（2）limsin x3(sin x)mx09、讨论函数的连续性 -1 ,x 1f (x) = x在 x = 1 。3 - x , x 110、利用函数的连续性求极限+ x - x - x)；（1） lim ln(2 cos 2x) ；（2） lim ( x22px6x+sin x1+ )（3）lim lnx0；（4）lim (1x；2xxxx1设f (x) = lim(1- ) , 求 lim f () ；（5）nnt -

7、1t1+nx -1x +1（6） lim xln(x) ； , x 0 0- x2 , x 0求 f f (x) , gg(x) , f g(x) , g f (x)3、利用极限准则证明：11+ = 1=（2） lim x 1 ；（1） lim 1nx+nx0 + 2 , 2 + 2 + 2 ,（3）数列 2 , 2的极限存在 ；x 0时 ，无穷小2 + 3 - 2 与 x 的阶。4、试比较当5、求极限xx2x + 32x +1x+1 - x)（1） lim x( x；（2）lim()；2x+1x+tan x - sin x（3）limx0；x3a + b + c1xxx（4）lim()(a

8、0 , b 0 , c 0)；x3x01, x 0xsin=在 -要使 f (x) (,+ ) 内连续，6、设 f (x) xa + x , x 02应当怎样选择数 a ？ 1e,x 07、设 f (x) x-1=求 f (x) 的间断点，并说明间断点类型。ln(1 x) , 1 x 0- a , f (b) b（5）、 设 f (x) 在闭区间a , b上连续 ，且 f (a)，x x=证明：在开区间(a , b) 内至少存在一点x ，使 f ( )。 第一章 函数与极限习 题 解 析（a）一、填空题（1）(1 , 2（2）(-1 , + )（3）2 ，4pp x (2k +1) , k z

9、（4） x 2k（5）- 2 ,2 = k , k z; x = 0（6）-3（7） xp（8）2 （9）113-（10）充分 （11）（12）（13）x=1 , x=2 （14）高阶（18）2 （19）-ln2（22）122（15）同阶 （16）二（17）可去（20）y=-2（21）-2 ,1u (1, 2二、计算题1、（1） (- , -1) u (-1,1) u (1, + )+ ) （3）(- , 0) u (0 , + )（2） 0 ,2、（1）不同，定义域不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数（2）不同，定义域、函数关系不同（3）奇函数 = (si

10、n x )y = 1+ x （3）y = e2 sin x 4、（1） y2 2（2）215、（1） 2 （2） （3）-9 （4）0 （5）2 （6）21（9）2- 2 2（7）0（8）26、（1）w （2）（3）1（4）e-1（5）e2（6）e-152x - x 是x - x 的低阶无穷小 （ ）是同阶无穷小7、（1）8、（1）22230 , m n9、不连续10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）e2（5）0 （6）-2 11、a=1（b） - e 11、（1）提示：由0（2）提示：由0x解得： x (, 0 ln x 1解得： x1, e o和 x 0两段求。f f (x) = f (x)gg(x) = 0，2、提示：分成 x，f g(x) = 0 , g f