异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高

1、空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或 直角称为两异面直线所成的角.n取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是 氏(0,空,当n=2时，称异面直线a和b垂直，记为a丄b.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角 形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1) 定义：设I和a分别表示直线与平面.若I / a或I? a，则称直线I和平面a所成的角为0；若Ila,则称I与a所成的角为一；若I与a相交，则I2与I在a内的射影所成的锐角为直线I与平面a所成的角.取值

2、范围：设B是直线I与平面a所成的角，贝U B的取值范围是0,.2(3)求法：定义法：探寻直线I在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直 线I与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面 所成的角.三、二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角， 且定义平面角的大小为该二面角的大小.(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为0，冗.(3) 求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角 称为该二面角的平面角练习提升1.如图，E、F分别是三棱锥 P ABC的棱AP、BC的中

3、点, 异面直线AB与PC所成的角为 （）A. 30B. 45C. 60 D. 90PC = 10, AB = 6,EF =乙则ABCD AiBiCiDi 中,AB= BC= 4, CCi = 2，则直线 BCi和平面DBBiDi 所成的角的正弦值为（)A舟B，2c殛C. 5i0D.命答案：C2.已知长方体3如图，在边长为i的菱形ABCD中，/ ABC = 60,将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD = i,则二面角B AC D的余弦值为ia3iB.22 *2C. 3答案：A( )DDiBiB所成角的大小是4.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，BiC与对角面A. i5B . 30C.

4、 45D. 60答案：B5.如图，ABCD AiBiCiDi 是长方体， AAi = a,/ BABi=Z BiAiCi= 30，则AB 与 AiCi所成的角为 , AAi与BiC所成的角为 答案：300, 4506. 在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，直线AiB与平面ABCD所成的角是;直线AiB与平面ABCiDi所成的角是 ;直线AiB与平面ABiCiD所成的角是 .答案 (i)45 (2)30 (3)907.设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合线所成角的大小范围为集合R,贝U P、Q、R的关系为（）Q,异面直答案：CA. R=P? QB. R? P?

5、 QC. P? R? QD. R? P= Q答案：B8 .设 ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且 AB = BC= BD = a，/ CBA=/ CBD = 120 则AD与平面BCD所成角的大小为（）A. 30B. 45C. 60D. 75解析：作AO丄CB交CB的延长线于 O,连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，/ ADO即为AD与平面BCD所成的角.AO = OD = -23a,/ADO = 45 答案：B9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A、B）且PA= AC,则二面角P BCA的大小为A. 60 B . 30 C. 45D . 15答

6、案 CPA丄平面 ABCD，且PA= AD，则平面10.如图，已知四棱锥 P ABCD的底面是正方形,PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（）A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 解析：TAB /CD ,面PAB与平面PCD的交线I必为过P点与AB平行的直线.PA丄平面ABCD ,PA丄 AB, PA丄 CD，又 CD 丄 AD,DC丄平面FAD ,DC 丄 PD ,PAX I, PD丄I,即/APD为所求二面角的平面角,ZAPD =45.答案：C11.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：AC丄BD :厶ADC是正三角形；AB与CD成60角；AB与平面BCD成6

7、0角.则 其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个 D . 4个解析：取BD的中点 0,则BD丄0C,BD丄OA，得BD丄平面 AOC ,1BD 丄AC,正确；cosADC = cos45 s45 =?,/ADC = 60； AD =DC ,AADC是正三角形，正确；AB与CD成60。角，正确；AB与平面BCD成角/ ABO= 45 ；错误.答案：CI)12.如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1中，过顶点 B、D、C1作截面，则二面角 B DC1C的平面角的余弦值是 .解析：取C1D的中点O,连接BO、CO,贝U zBOC是二面角 B DC1 C的平面角.设正方体的棱长为

8、1,则CO =22,DC1为正三角形，OB 二寺且 BC = 1,OB2+ OC2 BC2cosZBOC =2OB OC答案：于13.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中,AB = BC= AA1,Z ABC = 90 ；点 E、F 分别是棱AB、BB1的中点.则直线 EF和BC1所成的角是（A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 解析：取B1C1的中点G, A1B1的中点H,连结EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得1cos/EFG =-，故所求角为 60 A则/ AED即为所求.又知BC = 4.3,再由面积公式答案：B14.如图，将RtA ABC沿斜边上的高 AD折

9、成120。的二面角C- AD C,若直角边 AB =4 3, AC = 4 6，则二面角 A BC D的正切值为（）A. 2B乎解析：ZCDC = 120 过D作DE丄BC于E,连结AD丄平面BC D, AD = 4 2，在 BC D中，由余弦定理求得ADDE = 2Scd = *BC DE = 2 BD CD sin60 知 DE = 4,.tanZAED =答案：A点评：考查二面角的知识,余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键.15.在矩形 ABCD 中，AB= 3,的度数是（）A. 30 C. 60 A BD PAD = 4,解析：如右图所示，过A作AE丄

10、BD ,垂足为E，连结PE,则PE丄BD（三垂线定理）,故/PEA为二面角 P BD A的平面角.在 Rt BAD 中，_ AB AD 12 AE =BD5 在Rt AE中，/PA 並小otan ZPEA=忑= , /PEA = 30 .答案：A平面角为（）C. 120 解析：如图，作BE丄PC,连结DE.DC 也BC.DE 丄 PC/JDEB就是二面角 D PC B的平面角,O为DB的中点,zOEB = 2/DEB ,又面PAB丄面PCD ,po = 2ab,%/213在 Rt4POC 中，OC=-AB，所以 PC=AB.2ab AB/OE=芦AB.22 ABan ZOEB =a AB6冗，

11、2 n ZOEB = 3，./DEB =.答案：C2的正方形，其它四个侧面都是侧B . 90 D. 150 17.如图，在四棱锥 V ABCD中，底面 ABCD是边长为棱长为一5的等腰三角形，则二面角 V ABC的度数是答案 60n18.如图，直角梯形 ABCD中，AB/ CD，/ DAB =，点M、N分别在AB, CD上，且MN丄AB, MC CB, BC = 2, MB = 4，现将梯形 ABCD沿MN折起，使平面 AMND与平面MNCB垂直(如图).(1)求证：AB /平面 DNC ;3当DN = 2时，求二面角 D BC - N的大小.解：（1）证明：MB /NC, MB?平面 DNC

12、 , NC?平面 DNC ,.MB /平面 DNC.同理 MA /平面 DNC，又 MA A MB = M，且 MA、MB?平面 MAB.平面MAB /平面NCDAB / 平面 DNC .AB?平面MAB过N作NH丄BC交BC延长线于H ,平面AMND丄平面 MNCB , DN丄MN ,DN丄平面 MBCN，从而 DH丄BC,JDHN为二面角 D BC N的平面角.由 MB = 4, BC= 2, ZMCB = 90 知ZMBC = 60 ,3,32由条件知：tanNHD = DH = f,./NHD = 30 :NH 3CN= 4 2cos60 = 3,.NH = 3sin6019.如图，已

13、知在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD , FA= AD = 1 , AB = 2, E、F 分别是 AB、PD 的中点.(1)求证：AF /平面PEC ;求PC与平面ABCD所成的角的正切值;求二面角 P EC D的正切值.解：(1)证明：如图，取 PC的中点0,连接 OF、0E,贝 U FO /DC,且 FO = 1DC ,FO /AE,又E是AB的中点,且 AB= DC,FO = AE.四边形AEOF是平行四边形,AF /OE.又OE?平面PEC,AF?平面 PEC,AF /平面 PEC.如图，连接AC,PA丄平面ABCD , zPCA是直线PC与平面AB

14、CD所成的角.在Rt AC中,PA tan ZPCA = AC,5= 5即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为如图，作AM丄CE,交CE的延长线于M .连接PM，由三垂线定理得 PM丄CE ,/PMA是二面角 P EC D的平面角.由AAME sZcbe可得AM =面角P EC D的正切值为 2.20.如图所示，四棱锥 PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,/ BCD = 60 E 是 CD 的中点，PA丄底面 ABCD , PA =3.证明：平面 PBE丄平面FAB;证明 如图所示，连接BD,由ABCD是菱形且/ BCD = 60。知， BCD是等边三角形.(2)求二面角 A BE

15、F的大小.因为E是CD的中点，所以 BE丄CD.又 AB / CD,所以BE丄AB.又因为PA丄平面ABCD ,BE?平面 ABCD ,所以PA丄BE.而 FAQ AB = A,因此BE丄平面FAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE丄平面PAB.(2)解 由(1)知，BE丄平面PAB, PB?平面PAB, 所以PB丄BE.又 AB丄BE,所以/ PBA是二面角 ABE P的平面角.在 Rt PAB 中，tan/ PBA = TA = .3 则/ PBA= 60 .AB故二面角 A BE P的大小是60 .21.已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2, A、B两点在a内的射影之间距

16、离为.3,求直线AB和平面a所成的角.解 如图，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为Ai、Bi,则AAi= 1 , BBi = 2, BiAu ,3过点A作AH丄BBi于H，贝U AB和a所成角即为 / HAB.tan/ BAH =/ BAH = 30 如图，当A、B位于平面a异侧时，经 A、B分别作AAi丄a于Ai， BBi丄a于Bi,ABn a= C,则AiBi为AB在平面 a上的射影，/ BCBi或/ACAi为AB与平面 a所成角. BCBis ACAi, BBi = CC= 2, BiC = 2CAi，而 BiC+ CAi= /3, BiC = 3 . tan/ BCBi =/ BCBi= 60 AB 与 a所成角为 60 综合 、可知：AB与平面a所成角为30或60 22.如图，在三棱锥 PABC中，PA丄底面 ABC，/ BCA = 90 点D、E分别在棱 PB、PC上，且 DE / BC.求证：BC丄平面FAC.(2)是否存在点E使得二面角A DE