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文档简介
1、空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法定义:在空间任意取一点,过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或 直角称为两异面直线所成的角.n取值范围:若B是异面直线a和b所成的角,则其取值范围是 氏(0,空,当n=2时,称异面直线a和b垂直,记为a丄b.(3)求法:平移法:将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后,构造三角 形,通过解该三角形而求其大小;二、直线与平面所成的角及求法(1) 定义:设I和a分别表示直线与平面.若I / a或I? a,则称直线I和平面a所成的角为0;若Ila,则称I与a所成的角为一;若I与a相交,则I2与I在a内的射影所成的锐角为直线I与平面a所成的角.取值
2、范围:设B是直线I与平面a所成的角,贝U B的取值范围是0,.2(3)求法:定义法:探寻直线I在平面a内的射影,(通常由垂直法找射影)构造直 线I与平面a所成角对应的直角三角形,通过解该直角三角形而求得直线与平面 所成的角.三、二面角及求法(1) 定义:在二面角的棱上任取一点,分别在二面角的两个面内作棱的垂线,则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角, 且定义平面角的大小为该二面角的大小.(2) 取值范围:规定二面角的取值范围为0,冗.(3) 求法:定义法:分别在二面角的两个面内作棱的垂线,则这两垂线所成的角 称为该二面角的平面角练习提升1.如图,E、F分别是三棱锥 P ABC的棱AP、BC的中
3、点, 异面直线AB与PC所成的角为 ()A. 30B. 45C. 60 D. 90PC = 10, AB = 6,EF =乙则ABCD AiBiCiDi 中,AB= BC= 4, CCi = 2,则直线 BCi和平面DBBiDi 所成的角的正弦值为()A舟B,2c殛C. 5i0D.命答案:C2.已知长方体3如图,在边长为i的菱形ABCD中,/ ABC = 60,将菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD = i,则二面角B AC D的余弦值为ia3iB.22 *2C. 3答案:A( )DDiBiB所成角的大小是4.在正方体 ABCD AiBiCiDi中,BiC与对角面A. i5B . 30C.
4、 45D. 60答案:B5.如图,ABCD AiBiCiDi 是长方体, AAi = a,/ BABi=Z BiAiCi= 30,则AB 与 AiCi所成的角为 , AAi与BiC所成的角为 答案:300, 4506. 在正方体 ABCD AiBiCiDi 中,直线AiB与平面ABCD所成的角是;直线AiB与平面ABCiDi所成的角是 ;直线AiB与平面ABiCiD所成的角是 .答案 (i)45 (2)30 (3)907.设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合线所成角的大小范围为集合R,贝U P、Q、R的关系为()Q,异面直答案:CA. R=P? QB. R? P?
5、 QC. P? R? QD. R? P= Q答案:B8 .设 ABC和厶DBC所在两平面互相垂直,且 AB = BC= BD = a,/ CBA=/ CBD = 120 则AD与平面BCD所成角的大小为()A. 30B. 45C. 60D. 75解析:作AO丄CB交CB的延长线于 O,连接OD,则OD即为AD在平面BCD内的射影,/ ADO即为AD与平面BCD所成的角.AO = OD = -23a,/ADO = 45 答案:B9.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A、B)且PA= AC,则二面角P BCA的大小为A. 60 B . 30 C. 45D . 15答
6、案 CPA丄平面 ABCD,且PA= AD,则平面10.如图,已知四棱锥 P ABCD的底面是正方形,PAB与平面PCD所成的二面角的度数为()A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 解析:TAB /CD ,面PAB与平面PCD的交线I必为过P点与AB平行的直线.PA丄平面ABCD ,PA丄 AB, PA丄 CD,又 CD 丄 AD,DC丄平面FAD ,DC 丄 PD ,PAX I, PD丄I,即/APD为所求二面角的平面角,ZAPD =45.答案:C11.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,对于下列结论:AC丄BD :厶ADC是正三角形;AB与CD成60角;AB与平面BCD成6
7、0角.则 其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个 D . 4个解析:取BD的中点 0,则BD丄0C,BD丄OA,得BD丄平面 AOC ,1BD 丄AC,正确;cosADC = cos45 s45 =?,/ADC = 60; AD =DC ,AADC是正三角形,正确;AB与CD成60。角,正确;AB与平面BCD成角/ ABO= 45 ;错误.答案:CI)12.如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1中,过顶点 B、D、C1作截面,则二面角 B DC1C的平面角的余弦值是 .解析:取C1D的中点O,连接BO、CO,贝U zBOC是二面角 B DC1 C的平面角.设正方体的棱长为
8、1,则CO =22,DC1为正三角形,OB 二寺且 BC = 1,OB2+ OC2 BC2cosZBOC =2OB OC答案:于13.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1 中,AB = BC= AA1,Z ABC = 90 ;点 E、F 分别是棱AB、BB1的中点.则直线 EF和BC1所成的角是(A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 解析:取B1C1的中点G, A1B1的中点H,连结EFG或其补角就是所求的角,利用余弦定理可求得1cos/EFG =-,故所求角为 60 A则/ AED即为所求.又知BC = 4.3,再由面积公式答案:B14.如图,将RtA ABC沿斜边上的高 AD折
9、成120。的二面角C- AD C,若直角边 AB =4 3, AC = 4 6,则二面角 A BC D的正切值为()A. 2B乎解析:ZCDC = 120 过D作DE丄BC于E,连结AD丄平面BC D, AD = 4 2,在 BC D中,由余弦定理求得ADDE = 2Scd = *BC DE = 2 BD CD sin60 知 DE = 4,.tanZAED =答案:A点评:考查二面角的知识,余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键.15.在矩形 ABCD 中,AB= 3,的度数是()A. 30 C. 60 A BD PAD = 4,解析:如右图所示,过A作AE丄
10、BD ,垂足为E,连结PE,则PE丄BD(三垂线定理),故/PEA为二面角 P BD A的平面角.在 Rt BAD 中,_ AB AD 12 AE =BD5 在Rt AE中,/PA 並小otan ZPEA=忑= , /PEA = 30 .答案:A平面角为()C. 120 解析:如图,作BE丄PC,连结DE.DC 也BC.DE 丄 PC/JDEB就是二面角 D PC B的平面角,O为DB的中点,zOEB = 2/DEB ,又面PAB丄面PCD ,po = 2ab,%/213在 Rt4POC 中,OC=-AB,所以 PC=AB.2ab AB/OE=芦AB.22 ABan ZOEB =a AB6冗,
11、2 n ZOEB = 3,./DEB =.答案:C2的正方形,其它四个侧面都是侧B . 90 D. 150 17.如图,在四棱锥 V ABCD中,底面 ABCD是边长为棱长为一5的等腰三角形,则二面角 V ABC的度数是答案 60n18.如图,直角梯形 ABCD中,AB/ CD,/ DAB =,点M、N分别在AB, CD上,且MN丄AB, MC CB, BC = 2, MB = 4,现将梯形 ABCD沿MN折起,使平面 AMND与平面MNCB垂直(如图).(1)求证:AB /平面 DNC ;3当DN = 2时,求二面角 D BC - N的大小.解:(1)证明:MB /NC, MB?平面 DNC
12、 , NC?平面 DNC ,.MB /平面 DNC.同理 MA /平面 DNC,又 MA A MB = M,且 MA、MB?平面 MAB.平面MAB /平面NCDAB / 平面 DNC .AB?平面MAB过N作NH丄BC交BC延长线于H ,平面AMND丄平面 MNCB , DN丄MN ,DN丄平面 MBCN,从而 DH丄BC,JDHN为二面角 D BC N的平面角.由 MB = 4, BC= 2, ZMCB = 90 知ZMBC = 60 ,3,32由条件知:tanNHD = DH = f,./NHD = 30 :NH 3CN= 4 2cos60 = 3,.NH = 3sin6019.如图,已
13、知在四棱锥 P ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA丄平面 ABCD , FA= AD = 1 , AB = 2, E、F 分别是 AB、PD 的中点.(1)求证:AF /平面PEC ;求PC与平面ABCD所成的角的正切值;求二面角 P EC D的正切值.解:(1)证明:如图,取 PC的中点0,连接 OF、0E,贝 U FO /DC,且 FO = 1DC ,FO /AE,又E是AB的中点,且 AB= DC,FO = AE.四边形AEOF是平行四边形,AF /OE.又OE?平面PEC,AF?平面 PEC,AF /平面 PEC.如图,连接AC,PA丄平面ABCD , zPCA是直线PC与平面AB
14、CD所成的角.在Rt AC中,PA tan ZPCA = AC,5= 5即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为如图,作AM丄CE,交CE的延长线于M .连接PM,由三垂线定理得 PM丄CE ,/PMA是二面角 P EC D的平面角.由AAME sZcbe可得AM =面角P EC D的正切值为 2.20.如图所示,四棱锥 PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,/ BCD = 60 E 是 CD 的中点,PA丄底面 ABCD , PA =3.证明:平面 PBE丄平面FAB;证明 如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且/ BCD = 60。知, BCD是等边三角形.(2)求二面角 A BE
15、F的大小.因为E是CD的中点,所以 BE丄CD.又 AB / CD,所以BE丄AB.又因为PA丄平面ABCD ,BE?平面 ABCD ,所以PA丄BE.而 FAQ AB = A,因此BE丄平面FAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE丄平面PAB.(2)解 由(1)知,BE丄平面PAB, PB?平面PAB, 所以PB丄BE.又 AB丄BE,所以/ PBA是二面角 ABE P的平面角.在 Rt PAB 中,tan/ PBA = TA = .3 则/ PBA= 60 .AB故二面角 A BE P的大小是60 .21.已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2, A、B两点在a内的射影之间距
16、离为.3,求直线AB和平面a所成的角.解 如图,当A、B位于平面a同侧时,由点A、B分别向平面a作垂线,垂足分别为Ai、Bi,则AAi= 1 , BBi = 2, BiAu ,3过点A作AH丄BBi于H,贝U AB和a所成角即为 / HAB.tan/ BAH =/ BAH = 30 如图,当A、B位于平面a异侧时,经 A、B分别作AAi丄a于Ai, BBi丄a于Bi,ABn a= C,则AiBi为AB在平面 a上的射影,/ BCBi或/ACAi为AB与平面 a所成角. BCBis ACAi, BBi = CC= 2, BiC = 2CAi,而 BiC+ CAi= /3, BiC = 3 . tan/ BCBi =/ BCBi= 60 AB 与 a所成角为 60 综合 、可知:AB与平面a所成角为30或60 22.如图,在三棱锥 PABC中,PA丄底面 ABC,/ BCA = 90 点D、E分别在棱 PB、PC上,且 DE / BC.求证:BC丄平面FAC.(2)是否存在点E使得二面角A DE
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