专题3.1：导数中极值和最值问题的研究与拓展

1、专题3.1 :导数中极值和最值问题的研究与拓展【探究拓展】探究1 ：已知函数f (x) = x3 + ax2 +bx + a2在x=1处有极值10，则a + b=. -7变式1 ：已知函数f x = x4 ax3 - 2x2 b，其中a,b 二R .若函数f x仅在x = 0处有极值，则a的 取值范围是.-8,83 31 2变式2：已知函数f(x) x4 -6x2 cx d既有极大值又有极小值，实数C的取值范围是 .4L16,16 1首先转化为导函数(三次函数)至少有两个互异实数根极小值小于等于0小于等于极大值变式3:若 X =1是定义在R上的函数f(x)极小值点，且f (x)=(x-1)(x

2、2-ax+2),则a的取值范围为 . a3变式4:设函数f (x) =(x-2)2(x+b)ex，若x = 2是f (x)的一个极大值点，贝U实数b的取值范围为 .b ： -2、”，_2 x变式5:下列关于函数 f (x) =(2x-x )e的判断正确的是 .f(x) 0的解集是0,2 ；f(-2)是极小值，f(.2)是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值|变式6:对于函数f (x) = x3 ax2-x 1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有 2个极值；乙：该函数的极大值必大于1丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程f(x) =0 定有3个不等的实数根这四种说法中，正确的个数为

3、3只有丁错误1 3 1 2探究 2 :设 f (x)x3x2 2ax32(1)若函数在 -丄，2 上单调递增，求实数 a的取值范围;-113丿9(3) 当0 ：a 2时，f(x)在1,4上的最小值为-16，求f (x)在该区间上的最大值322解：(2) f(x)在(一：)上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m, n)(：)使得f (x) .0由33 2 1 2 1 2 2f (x) =-xx2=_(x)2a , f (x)在区间,：)上单调递减，贝U只需f ( ) . 0即由2433221f ( ) 2a - 0 解得 a39912所以，当a时，f (x)在(,川匕=)上存在单调递增区间.9

4、31 J1 +8a(3)令 f (x) = 0，得两根 x-i21, 1 8ax2 :2所以f(x)在(_：,xj , (X2,=)上单调递减，在(X1,X2)上单调递增当0 : a : 2时，有x1 ：1 ：x2 : 4，所以f (x)在1,4上的最大值为f (x2)又 f - f(1) - -27 6a ：0，即 f ：:f (1)240 所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a_-310 从而f(x)在1,4上的最大值为f (2.32 2变式：设函数 f (x) = In x x -2ax a , a R ,(1)若a = 0，求函数f(x)在1,e 1上的最小值;(2)若函数f

5、(x)在-,2上存在单调递增区间，求实数IL2a的取值范围;(3)求函数f (x)的极值点.解：(1) f (x)min = 1 ；(2)使f (x)0在丄，2上有解，得129-4(3)当a 2时，f (x)没有极值点;33是函数的极小值点.2a - a2- 22时，x是函数的极大值点,2探究 3 :已知 m R , f (x) = x3 - 3(m 1)x2 12mx 1.(1) 若f (x)在区间0,3上无极值点，求实数 m的值.1(2) 若存在X。 0,3，使得f(x0)是f (x)在0,3】上的最值，求实数 m的取值范围.m-1或m-4探究4:设函数f(x)=ax2+ex(a R)有且

6、仅有两个极值点xi, X2(xiX2).(1) 求实数a的取值范围；2(2) 是否存在实数a满足f(xi)=e3xi?如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由.解：(1) f (x) =2ax+ex.显然0, xi, X2是直线y= _丄 与曲线丫=9仪)=食两交点的横坐标.2ae(思考为何要这样变形？)2分由 g (x) = Xx =o,得 x=i 歹u表：ex(-m, 1)1(1, +m)g(x)+0-g(x)/1g(X)max=_e此外注意到:当 x0 时，g(x)0;一ii当x 0 , i及x (i , +旳时，g(x)的取值范围分别为0 ,丄和(0, i).ei ie于是题设

7、等价于 基= a匚，故实数a的取值范围为e(-m)(，2).存在实数a满足题设.证明如下:由知，0 Xiix2, f (xi) =2axi+ ei =0,2X i ?故 fXg+e&ei，故、exi 2记 R(x)= ex 一e3 (0x0, f (i)0,而 xi= 2 (0,316分3 2 故当a= e时，f(x)极大=f(x”= e4 3探究5:已知函数f (x) = (x -a)(x - b)2, a, b为常数.(1) 若a =b,求证：函数f (x)存在极大值和极小值；(2) 设(1)中f (x)取得极大值、极小值时自变量的分别为Xi,x2，令点A(x1, f (x1)， B(x2

8、, f(x2)1如果直线AB的斜率为，求函数f(x)和f (x)的公共递减区间的长度；2(3) 若f (x) _mxf (x)对于一切R恒成立，求实数 m,a,b满足的条件.解: ( 1) f/(x) = (x-b) 3x-(2a b) 12a +bre x丁. f,(xro有两不等b和2-l, f( x)存在极大值和极小值3(2)若a=b，f(x)不存在减区间若ab时由(1 )知X1=b, X2=-32a + b 2(a-b)2:.A( b,0) B ，-392(a -b)22(a -b)2 二 3(a -b).a-b=3291.2a b2b32a +b33(3当ab时 X1=,X2=b。同理可得 a-b=(舍)综上a-b=322a + KA二 f (x)的减区间为(b,)即(b,b+1), f，(x)减区间为(-,b+ )3211公共减区间为(b, b+-)长度为22(x -a)(x - b)2 一 m x(x -b) 3x -(2a b)】(x -b)(1 -3m)x2m(2a b) - (a b) X a- 01若m，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式，或者是三个一次因式的积，3无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负 m = 1 (x -b) (a 2b)