2019-2020学年度九年级数学培优讲义：矩形

1、 2019-2020 学年度九年级数学培优讲义：矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称

2、图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线） .对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的第 1 页 共 10 页 所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角

3、三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中 30所对的直角边等于斜边的一半.第 2 页 共 10 页 （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形 abcd 是矩形，pbc 和qcd 都是等边三角形，且点 p在矩形上方，点 q在矩形内求证：(1)pbapcq30

4、；(2)papq【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于 90，利用条件pbc 和qcd 都是等边三角形，容易求得pba 和pcq 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明pabpqc(sas)，从而证得 papq【答案与解析】证明：(1) 四边形 abcd是矩形， abcbcd90 pbc和qcd是等边三角形， pbcpcbqcd60， pbaabcpbc30，pcdbcdpcb30pcqqcdpcd30，故pbapcq30(2) 四边形 abcd是矩形， abdc pbc和qcd是等边三角形，第 3 页 共 10 页 pbpc，qcdcab abqc，pbapcq，pbpc pa

5、bpqc， papq【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片 abcd 沿 ef 折叠，使点 b 落在边 ad上的点 处，点 a落在点 处ab(1)求证：； =b e bf(2)设 ae ，ab ，bf ，试猜想 之间有何等量关系，a、b、cabc并给予证明【答案】证明：(1)由折叠可得bfe = bfe adbc， ，bef = bfe = bfe， = b e b f =b e bf(2)猜想理由：2a +b = c22由题意，得，a e ae a a b ab b = =由(1)知 =b e bf c

6、=第 4 页 共 10 页 在abe 中，a = 90 ae = aab = b be = c2a +b = c222、如图所示，矩形 abcd中，ac、bd相交于 o，ae平分bad交bc于 e，cae15，求boe的度数【思路点拨】boe在boe中，易知obe30，直接求boe有困难，转为考虑证 bobe由 ae 平分bad 可求bae45得到abbe，进一步可得等边aob有 abob证得 bobe【答案与解析】解： 四边形 abcd是矩形，11 dababc90，ao ac，bo bd，acbd22 aobo ae平分bad， bae45 aeb904545bae beab cae15，

7、 bao60 abo是等边三角形 boab，abo60 bebo，obe30180-30 boe= 752【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线第 5 页 共 10 页 分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决类型二、矩形的判定3、（2016濠江区一模）如图，在 abcd 中，abd 的平分线be 交 ad 于点 e，cdb 的平分线 df 交 bc 于点 f，连接 bd（1）求证：abecdf；（2）若 ab=db，求证：四边形 dfbe 是矩形【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出 ab=cd，a=c求出abd=cdb推出ab

8、e=cdf，根据 asa 推出全等即可；（2）根据全等得出 ae=cf，根据平行四边形性质得出 adbc，ad=bc，推出 debf，de=bf，得出四边形 dfbe 是平行四边形，根据等腰三角形性质得出deb=90，根据矩形的判定推出即可【答案与解析】证明：（1）在abcd 中，ab=cd，a=cabcd，abd=cdbbe 平分abd，df 平分cdb，abe= abd，cdf= cdb第 6 页 共 10 页 abe=cdf在abe 和cdf 中，abecdf（asa）（2）abecdf，ae=cf，四边形 abcd 是平行四边形，adbc，ad=bc，debf，de=bf，四边形 df

9、be 是平行四边形，ab=db，be 平分abd，bead，即deb=90平行四边形 dfbe 是矩形【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力举一反三：【变式】 （2015 春 邗江区期中）如图，四边形 abcd 中，对角线ac、bd 相交于点 o，ao=co，bo=do 中，且abc+adc=180（1）求证：四边形 abcd 是矩形（2）若adf：fdc=3：2，dfac，则bdf 的度数是多少？第 7 页 共 10 页 【答案】（1）证明：a0=c0，b0=d0四边形

10、 abcd 是平行四边形，abc=adc，abc+adc=180，abc=adc=90，四边形 abcd 是矩形；（2）解：adc=90，adf：fdc=3：2，fdc=36，dfac，dco=9036=54，四边形 abcd 是矩形，oc=od，odc=54bdf=odcfdc=18类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，bd、ce 是abc 两边上的高，g、f 分别是 bc、de的中点求证：fgde第 8 页 共 10 页 【答案与解析】证明：连接 eg、dg， ce是高， ceab 在 rtceb中 ，g是 bc的中点，11 eg bc，同理 dg bc22 egdg又 f是 ed的中点， fgde【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的根据这个性质又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题举一反三：【变式】如图，mon90，矩形 abcd的顶点 a、b分别在边 om，on上，当b在边 on上运动时，a随之在边 om上运动，矩形abcd 的形状保持不变，其中 ab2，bc1，运动过程中，点 d到点 o的最大距离为（）145