(完整版)勾股定理知识点及典型例题

1、 八下第18 章 勾股定理勾股定理知识点导航一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为c，那么abc. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方222勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a b c ，那么这个三角形是直角三222角形。2. 勾股数：满足 abc 的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc 同样222也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如

2、果三角形的三边长 a、b、c 满足 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角222三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若cab，则abc 是以c 为直角的三角形；222若abc，则此三角形为钝角三角形（其中 c为最大边）；222若abc，则此三角形为锐角三角形（其中 c为最大边）2224.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3、（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于ba斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。dcachbace5. 勾股定理的作用：gacfbbc（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。abacbaacdbn（4）利用勾股定理，作出长为 的线段6、2、勾股定理的证明eac勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法cbb 7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理：（一）结合三角形：d-+ -(a b) (b c)=da b c01.已知 abc 的三边 、 、 满足22，则

4、abc 为三角形d2.在 abc 中，若bbd=（ + ）（ - ），则 abc 是90cca 2三角形，且d3.在 abc 中，ab=13，ac=15，高 ad=12，则 bc 的长为x -12 + x + y - 25z -10z + 25xy z互为相反数，试判断以 、 、 为三边的三角形的4、已知形状。与2d5、.已知：在 abc 中，三条边长分别为 、 、 ， =a b c a n 1 b n c n 1 n-+（ 1）2， =2 ， =2 90试说明： c=。da b c6.若 abc 的三边 、 、 满足条件a + + +=+2 b c 338 10a 24b 26c+d，试判断

5、 abc 的形22状。a - 6 + 2b - 8 + (c -10)2 = 0,a b c则以 、 、 为边的三角形是7.已知（二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：mm（1）一架长 2.5 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 （如图），如果梯子的顶端沿m墙下滑 0.4 ，那么梯子底端将向左滑动米 a8bc6第1题图第2题图第3题图（2）如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如图，梯子 ab 斜靠在墙面上，acbc，ac=bc，

6、当梯子的顶端 a 沿 ac 方向下滑 x 米时，梯足 b 沿 cb方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（a. x+y b. xy c. x y（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 1 m，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为）d. 不能确定米2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为 a，b，斜边上的高为 h，则下列式子总能成立的是（）1 1 1111ab = b2a + b = 2h+ =a b h+=b2 h2a.b.222c.d.a2变：如图，在 rtabc 中，acb=90，cdab 于 d，

7、设 ab=c，ac=b，bc=a，cd=h。c111+=b2 h2求证：（1）a2（2）a + b c + h（3）以a + b，h，c + hadb为三边的三角形是直角三角形11h ( + ) = 1，从左边推到到右边试一试：（1）只需证明2ab22( ) ( )a + b c + h22（2）（3）( )( )2a + h + h = c + h ，注意面积关系ab = ch22的应用 3. 爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10cm，得到c壁的 忽略不计）处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒1（1）假设昆虫甲在顶点c 处静止不动，如图 a，在盒子的内部我们

8、先取棱bb 的中点 e，再连结 ae、ec，111a e c1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，昆虫乙如果沿途径并在图 b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点 a 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2）如图 b，假设昆虫甲从点cc c以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿向下爬行，同时昆虫乙从顶点 a11以 2 厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？c c1试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点沿棱向顶点 c 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2.如图，一块

9、砖宽 an=5 ，长 nd=10 ，cd 上的点 f 距地面的高 fd=8 ，地面上 a 处的一只蚂蚁到 b 处吃食，要爬行的最短路线是cmdm dm dm、3 、23.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20，a 和 b 是这个台阶两相对的端点，a 点有一只昆虫想到 b 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 b 点的最短路程是米？分4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 a 爬到点 b，则它走过的路程最短为（( )）+ 2 a3a3a15aa.b.c.d. qmabpn5、如图，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 a 处，它发现在自己的正上

10、方油罐上边缘的 b 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3）6、如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 a 点沿表面爬行至右侧面的 b 点，最少要花几秒钟？7 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？如果阅读以

11、上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为 3 cm，绕一圈升高 4cm，则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为 8 cm，绕一圈爬行 10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 8、如图，a、b 是笔直公路 l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和 500m，两村庄之间的距离为 d(已知 d =400000m )，现要在ba22l公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？4、实际问题1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是

12、 米。32. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4平距离是 米。米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水3. 如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 b、c 两点，在江对岸取一点 a，使 ac 垂直江岸，测得 bc50 米，b60，则江面的宽度为。5、如图，公路 mn 和公路 pq 在 p 点处交汇，点 a 处有一所中学，ap=160 米，点 a 到公路 mn 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明

13、理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 5、求边长：001.如图所示，在四边形abcd 中，bad=90 ，dbc=90 ，ad=3，ab=4，bc=12，求cd。6、方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由 a 点出发沿正东方向 an 航行，在 a 点望湖中小岛 m，测得man30，当他到 b 点时，测得mbn45，ab100 米，你能算出 am 的长吗？mabn2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接着，它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km? 若轮船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中

14、轮船共耗油多少升? 7、折叠问题：1.如图，矩形纸片 abcd 的长 ad=9 ，宽 ab=3 ，将其折叠，使点 d 与点 b 重合，那么折叠后 de 的长是多少？（1）试说明：af=fc；（2）如果 ab=3，bc=4，求 af 的长3.如图，在长方形 abcd 中，dc=5，在 dc 边上存在一点 e，沿直线 ae 把abc 折叠，使点 d 恰好在 bc 边上，设此点为 f，若abf 的面积为 30，求折叠的aed 的面积adebfc4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 ac=6 ，bc=8 ，现将直角边 ac 沿直线 ad 折叠，使它落在斜边 ab 上，且与 ae 重合，你能求出 cd 的长吗？ a 重合，折痕为 de，则 cd 等于（2542237453a.b.c.d.8、利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边 d 点 1.5 米的 c 处，直立长着一根芦苇，出水部分 bc 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 b 恰好落到 d 点，并求水池的深度 ac.1、如图，p 是等边三角形 abc 内一点，pa=2,pb=2 3 ,pc=4,求abc 的边长。 2、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 abcd