高等教育自学考试辅导

1、高等教育自学考试辅导概率论与数理统计（经管类）2010年10月真题讲解一、前言自考365网校的学员朋友们，你们好！现在，对全国2010年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题进行必要的分析，并详细讲解，供学员朋友们学习和应试参考。三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年

2、8月第一版。二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容略偏，难度偏易（个人看法）。内容略偏： 概率分数偏高，共76分；统计分数只占24分，与历年试题相比较，少了56分； 课本中第九章回归分析没有题目，对其他各章的考察似乎有些过于集中前三部分，共占72分；难度偏易：与历次试题比较，本套试题难度稍大的题目只有2题，仅占4分，中等题目占72分，容易题目占24分。偏难的题目均属于“知识难度”范围，“难的程度”也低于历年试题，而且，全部试题基本上没有出现“计算难度”的题目；另外，考察的内容也有重复出现的情况，所以，使人感到整套试题有些偏向容易，可能会对未来的考生产生“误导”，影响复习效果和考试

3、成绩。当然，以上观点只是相对于历年试题而言，是在与历年试题对比中产生的看法。如果只看本套试题，应该说还是无可挑剔的。2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率20分，一维随机变量（包括数字特征）26分，二维随机变量（包括数字特征）26分，大数定律4分，统计量及其分布6分，参数估计8分，假设检验10分，回归分析0分。考点分布的柱状图如下三、试题详解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设随机事件a与b互不相容，且p（a）0,p（b）0，则（）a.p（b|a）0b.p（

4、a|b）0c.p（a|b）p（a） d.p（ab）p（a）p（b）答疑编号918070101正确答案分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。解析：a： ，因为a与b互不相容，p（ab）0，正确；显然，b，c不正确；d：a与b相互独立。故选择a。提示： 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； 条件概率的计算公式：p（a）0时，。2.设随机变量xn（1，4），f（x）为x的分布函数，（x）为标准正态分布函数，则f（3）（）a.（0.5）b.（0.75）c.（1）d.（3）答疑编号918070102正确答案分析：本题考察正态分布的标准化。解析： ，故选择c。提示：正态分布的标准化是非

5、常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量x的概率密度为f （x） 则p0x（）答疑编号918070103正确答案分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。解析： ，故选择a。提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量x的概率密度为f （x） 则常数c（）a.3 b.1c. d.1答疑编号918070104正确答案分析：本题考察概率密度的性质。解析：1 ，所以c1，故选择b。 提示：概率密度的性质：1.f（x）0；4.在f（x）的连续点x，有f（x）f（x）；5.5.设下列函数的定义域均为（，），则其中可作为概率密度的是（）a.f （x）exb.

6、f （x）exc. f （x）d.f （x） 答疑编号918070105正确答案分析：本题考察概率密度的判定方法。解析： 非负性：a不正确； 验证：b：发散；c：，正确；d：显然不正确。故选择c。提示：判定方法：若f（x）0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（x，y）n（1,2，），则y （）答疑编号918070106正确答案分析：本题考察二维正态分布的表示方法。解析：显然，选择d。 7.已知随机变量x的概率密度为f （x） 则e（x）（）a.6b.3c.1d.答疑编号918070107正确答案分析：本题考察一维连续型随机变量期望的求法。解析：解法一：根据记忆，

7、均匀分布的期望为 ；解法二：根据连续型随机变量期望的定义， 故选择b。提示：哪种方法熟练就用哪种方法。 8.设随机变量x与y 相互独立，且xb（16，0.5），y服从参数为9的泊松分布，则d（x2y3）（）a.14b.11c.40d.43答疑编号918070108正确答案分析：本题考察方差的性质。解析：因为xb16，0.5），则d（x）npq160.50.54；yp（9），d（y）9，又根据方差的性质，当x与y相互独立时，有d（x2y3）d（x（2）y3）d（x）d（2y）43640 故选择c。提示： 对于课本上介绍的六种常用的分布，它们的分布律（概率密度）、期望、方差都要记住，在解题中，可直

8、接使用结论； 方差的性质： d（axb）a2d（x）； d（xy）d（x）d（y）2cov（x,y）， 若x与y相互独立时，d（xy）d（x）d（y）。 9.设随机变量znb（n，p），n1，2，其中0p1，则 （）答疑编号918070109正确答案分析：本题考察棣莫弗拉普拉斯中心极限定理。解析：由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理故选择b。 提示： 正确理解中心极限定理的意义：在随机试验中，不管随机变量服从何种分布，当试验次数趋于无穷大时，它的极限分布都是正态分布，经标准化后成为标准正态分布。可见正态分布在概率统计中是如何重要的！ 如何记忆中心极限定理定理结论：定理5.4：独立同分布随机变量序列xi

9、，e（xi），d（xi）2， ，分布函数为fn（x），则 ； 拉普拉斯中心极限定理同样记忆。10.设x1，x2，x3，x4为来自总体x的样本，d（x）2，则样本均值的方差d（）（）答疑编号918070110正确答案分析：本题考察样本均值的方差。解析：课本p135，定理62，总体x （，2），则 ，e（s2） 2。故选择d。 （二）填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设随机事件a与b相互独立，且p（a）p（b），则p（a）.答疑编号918070201正确答案分析：本题考察事件的独立性及“和事件”的概率的求法。解析：因事件a与b相

10、互独立，事件a与也相互独立，则 ，所以故填写 。提示： 四对事件：（a、b），（a、），（、b），（、）其一独立则其三独立； 加法公式：p（ab）p（a）p（b）p（ab）是必考内容，记住！ 12.设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_.答疑编号918070202正确答案分析：本题考察古典概型。解析： 故填写。提示：不要发生计算错误！ 13.设a为随机事件，p（a）0.3，则p（）_.答疑编号918070203正确答案分析：本题考察对立事件概率。解析：故填写0.7 14.设随机变量x的分布律为.记yx2，则py4_.答疑编号91

11、8070204正确答案分析：本题考察随机变量函数的概率。解析：py4px24p（x2）（x=2）0.10.40.5；也可求出y的分布律y014p0.20.30.5得到答案。故填写0.5.提示：互斥事件和的概率概率的和。 15.设x是连续型随机变量，则px5_.答疑编号918070205正确答案分析：本题考察连续型随机变量在一点的概率。解析：设x的概率密度为f（x），则 ，故填写0.提示：积分为0：被积函数为0；积分上限积分下限。 16.设随机变量x的分布函数为f（x），已知f（2）0.5，f（3）0.1，则p3x2_.答疑编号918070206正确答案分析：本题考察用分布函数求概率的方法。解析

12、：p3x2f（2）f（3）0.50.10.4，故填写0.4. 提示：分布函数的性质：1. f（x）pxx；2.f（） 0，f（）1；3. paxbf（b）f（a）；4. f（x）f（x），在f（x）的连续点。 17.设随机变量x的分布函数为f（x）则当x0时，x的概率密度f （x）_.答疑编号918070207正确答案分析：本题考察分布函数与概率密度之间的关系。解析：x0时，故填写e-x。提示： 分布函数与概率密度的关系：设x为f（x）的连续点，则f（x）存在，且f（x）f（x）； 注意复合函数求导的方法。18.若随机变量xb（4， ），则px1_.答疑编号918070208正确答案分析：本题

13、考察二项分布的概率。解析：已知随机变量xb（4，），则x的分布律为，k0，1，2，3，4则。故填写。提示：记住符号的意义。 19.设二维随机变量（x，y）的概率密度为f （x，y）则pxy1_.答疑编号918070209正确答案分析：本题考察连续型二维随机变量的概率。解析：。故填写 。提示：被积函数常数时，二重积分的值积分区域的面积。 20.设随机变量x的分布律为x202p0.40.20.4则e（x）_.答疑编号918070210正确答案分析：本题考察离散型随机变量的期望。解析：e（x）（-2）0.4+00.2+20.40故填写0. 21.设随机变量xn（0，4），则e（x2）_.答疑编号91

14、8070211正确答案分析：本题考察随机变量函数的期望的求法。解析：已知xn（0，4），则e（x）=0，d（x）=4，由d（x）=e（x2）-e（x）2，e（x2）= d（x）+ e（x）2 =4+0=4，故填写4. 22.设随机变量xn（0，1），yn（0，1），cov（x,y）0.5，则d（xy）_.答疑编号918070212正确答案分析：本题考察方差的性质。解析：已知xn（0，1），yn（0，1），d（x）=d（y）=1d（x+y）=d（x）+ d（y）+2cov（x,y）=1+1+20.5=3， 故填写3. 23.设x1，x2，xn，是独立同分布的随机变量序列，e（xn），d（xn）2

15、，n1,2，,则 _.答疑编号918070213正确答案分析：本题考察中心极限定理的应用。解析：由定理54（p120）0.5故填写0.5。 24.设x1，x2，xn为来自总体x的样本，且xn（0,1），则统计量 _.答疑编号918070214正确答案分析：本题考察统计量的分布之一x2布的定义。解析：由x2分布定义 ，故填写x2（n）。 25.设x1，x2，xn为样本观测值，经计算知,nx2 64，则_.答疑编号918070215正确答案分析：本题考察样本的偏差平方和。解析： 故填写36.提示：这是一个非常不被重视的内容，在课本p135，希望注意全面复习。 （三）计算题（本大题共2小题，每小题8

16、分，共16分）26.设随机变量x服从区间0，1上的均匀分布，y服从参数为1的指数分布，且x与y相互独立，求e（xy）.答疑编号918070301正确答案分析：本题主要考察协方差的性质。解：因为x服从区间0，1上的均匀分布，所以 ，又y服从参数为1的指数分布，所以，由协方差性质知，当x与y相互独立时，cov（x,y）=0，又cov（x,y）e（xy）e（x）e（y），所以，。 27.设某行业的一项经济指标服从正态分布n（,2），其中,2均未知.今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值56.93，样本方差s2（0.93）2.求的置信度为95%的置信区间.（附：t0.025（8）2.306）

17、答疑编号918070302正确答案分析：本题考察单正态总体、方差未知，均值的区间估计。解：由已知，xn（，2），但，2均未知，对估计，这时可用t统计量，因为t（n-1），由推导可得的1-置信区间为，又已知样本容量n=9，1-=95%，=0.05，所以，将样本容量n=9，代入上式，得所以，该项指标均值的所求置信区间为56.93-0.715,56.93+0.715=56.215,57.645 提示：本题尤其要注意书写，以免书写不当丢分。 （四）综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.设随机事件a1，a2，a3相互独立，且p（a1）0.4，p（a2）0.5，p（a3）0.7.求：（1）

18、a1，a2，a3恰有一个发生的概率；（2）a1，a2，a3至少有一个发生的概率.答疑编号918070303正确答案分析：本题考察事件的概率的求法。解：（1）事件“a1，a2，a3恰有一个发生”表示为又事件a1，a2，a3相互独立，则所求概率为0.4（10.5）（10.7）（10.4）0.5（10.7）（10.4）（10.5）0.70.36所以，a1，a2，a3恰有一个发生的概率为0.36.（2）事件“a1，a2，a3至少有一个发生”的对立事件是“a1，a2，a3全不发生”所以，p（“a1，a2，a3至少有一个发生”）1p（a1，a2，a3全不发生）1（10.4）（10.5）（10.7）0.91

19、所以，a1，a2，a3至少有一个发生的概率为0.91. 29.设二维随机变量（x，y）的分布律为（1）求（x，y）分别关于x,y的边缘分布律；（2）试问x与y是否相互独立，为什么？答疑编号918070304正确答案分析：本题考察二维随机变量的两个分量的边缘密度及相互独立的验证方法。解：（1）由二维随机变量（x，y）的分布律得x的边缘分布律为 x01p0.30.7y的边缘分布律为y012p0.40.20.4（2）验证：px=0py=0=0.30.4=0.12而px=0,y=0=0.20.12所以，x 与 y 不相互独立。提示：若证明x与y相互独立，必须逐一验证全部px=xi py=yi= px=

20、xi, y=yi 的正确性；若证明x 与y不相互独立，只需验证其中一个px=xipy=yipx=xi, y=yi 即可。 （五）应用题（10分）30.某厂生产的电视机在正常状况下的使用寿命为x（单位：小时），且xn（，4）.今调查了10台电视机的使用寿命，并算得其使用寿命的样本方差为s28.0.试问能否认为这批电视机的使用寿命的方差仍为4？（显著性水平0.05）（附：（9）19.0, （9）2.7）答疑编号918070305正确答案分析：本题考察“单正态总体、均值未知、对方差进行的假设检验”，即x2检验。解：已知正常情况下，寿命xn（，4）。现在抽取容量为10的样本对一批电视机寿命的方差进行检

21、验。设欲检验的假设为h0： ，h1： 根据已知，可应用x2检验法，构造检验统计量。由=0.05查表得得拒绝域w=（0，2.7）（19.0，+）。计算检验统计量的观察值由于x2w，故不拒绝h0，可以认为这批电视机的使用寿命的方差仍为4。提示： 应严格按照假设检验的四个步骤来书写解题过程； 本题是由课本p176，例86改编而成； 记住p181，表84：各种假设检验的总汇表。 四、简要总结1.仍然强调全面复习在多次串讲中，我一再强调全面复习，本套试题的考察内容再次验证了这一观点的正确性。今天，再次强调这一观点，希望能够引起学员朋友们足够的重视。当然, 在全面复习的基础上, 也要注意重点复习。从本套试题的考点分布可以看出，前三部分占76%，后三部分占24%，与历年试题情况略有差异，但绝不能因此而否认全面复习的重要性。可以说，概率统计考试的考点分布一直是比较稳定的，不同试卷的分数分布只有比较小的调整，试题的覆盖面始终几乎囊括课本的全部主要内容。2.强化记忆从历次的考试内容可以看出，每次考试的绝大多数题目是考察记忆的。我相信