数理统计习题

1、数理统计考试试卷、填空题（本题 15分，每题3 分）1、总体X N（20,3）的容量分别为10, 15的两独立样本均值差 X Y 2、设XX2,，X!6为取自总体XN（0,0.52）的一个样本，若已知2.01( 16)32.0 ,则16PXi28=i 13、设总体X N（ ,2），若和2均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1 的置信区间为（X ,X），则的值为4、设X-X2,Xn为取自总体X N（ , 2）的一个样本，对于给定的显着性水平，已知关于 2检验的拒绝域为212 （n 1），则相应的备择假设H1为5、设总体 X N( , 2),2已知，在显着性水平0.05下，检验假设H。：拒绝

2、域是1、 N(0,1);2、0.01;3、t (n 1)2- n4、220 ；5、 Z Z0.05 o二、选择题（本题 15分,每题3 分）1、设Xi,X2,X3是取自总体 X的一个样本,是未知参数，以下函数是统计量的为（(A) (X1 X2 X3)(B) X1 X2X3(C) - X1X2X3(D)3 (Xi3 i 1)22、设 X1,X2,.,Xn 为取自总体 X N(,2）的样本，X为样本均值,X)2,则服从自由度为n 1的t分布的统计量为（Tn(X)(B) S（厂 n 1（X）(D)Sn3、设 Xi,X2,Xn是来自总体的样本,D(X)2存在，S2(Xi X)2,则（(A) S2 是2

3、的矩估计(B)S2是2的极大似然估计(C) S2 是2的无偏估计和相合估计(D)S2作为2的估计其优良性与分布有关4、设总体XN（ i, j）,YN（ 2,；）相互独立，样本容量分别为n i, n2，样本方差分别为s；,s2，在显着性水平下，检验H。： 22,Hi： i22的拒绝域为（）。(A)2S22F(n21, n11)(B)2S22F (n 1, n11)1 2S1S1(C)S；2F(m1,n21)(D)2S22F (n11, n2 1)1 _2S1S15、设总体XN(27），2已知，未知，X1 , X2,Xn是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为 0.95的置信区间为（4.71，5.

4、69），则取显着性水平0.05时，检验假设 H0：5.0,H,：5.0 的结果是（ ）。（A ）不能确定（B）接受Ho（C）拒绝Ho （ D）条件不足无法检验1、B； 2、D; 3、C； 4、A；5、B.2x甘仙，其中未知其他三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：f(x)2 ,0,参数0，X1,X n疋来自X的样本，求（1） 的矩估计；（2） 的极大似然估计。解:(1) E(X)xf (x)dx2x20 2dX 3，令E（於）X 3，3 得？ X为参数2的矩估计量。似然函数为：L(Xi,)n 2Xi2n n x22nXii 1i 1,0 Xi, (i1,2,n),而L（）是 的单调减少函

5、数，所以的极大似然估计量为? maxX,X2, ,Xn。四、（本题14分）设总体X N（0,2)，且 NXXg是样本观察值，样本方差s2（1 ）求 2的置信水平为 0.95的置信区间;（2）已知YX222（1），求D务的置信水平为 0.95 的置信区间；（0.975（9） 2.70，0.025 （9） 19.023）。解：（1）2的置信水平为0.95的置信区间为180.025 (9)180.975 (9)，即为（0.9462，6.6667 ）；(2) DX2312由于X232的单调减少函数，置信区间为即为(0.3000,2.1137)。五、(本题10分)设总体X服从参数为 的指数分布，其中0未

6、知，X1, ,Xn为取自总体X的样本，若已知(1)的置信水平为12 n 2UXi 2(2n)，求：i 1的单侧置信下限；(2)某种元件的寿命(单位：h)服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得5010 ( h)，试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。样本均值为(0.05(31)44.985,爲0(32)42.585)。解：P 2nX2(2n)1洱12 (2 n)即的单侧置信下限为2nX2 16 501042.5853764.706。六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 性抽取10个水样，测得平均浓度为 10.8 ( mg/L),标准差为1.2

7、XN(10,1)，今阶段(mg/L)，问该工厂生产是否正常？(2 20.05,t.25(9)2.2622, 0.025(9)19.023, 0.975(9)2.700)解:(1 )检验假设H0:2=1 , H1:2工1 ； 取统计量:(n1)s220拒绝域为:2(n21)20.025 =19.023 ,经计算:(n1)s220竺12.96，由于212.96(2.700,19.023) 2,故接受H。，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。(2)检验假设H0:10, H1:10;X取统计量：tS/ 1010 t_(9)；210 8 10拒绝域为 tt 025(9) 2.2622 ；

8、t 10.8 2 2.10282.2622 ,所以接受 H。，1.2/J10即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10 (mg/L)。综上，认为工厂生产正常。七、（本题10分）设X!,X2,X3,X4为取自总体 XN（ ,42）的样本，对假设检验问题Ho：5, Hi :5 , （ 1）在显着性水平 0.05下求拒绝域；（2 ）若=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率。解: （1）拒绝域为z 丄黑 口Z0025 1.96；|4/百| 2（2）由（1）解得接受域为（1.08，8.92）,当=6时，接受H0的概率为P1.08 X 8.928.92621.08 620.921 oi 1i 1八、（

9、本题8分）设随机变量 X服从自由度为（m,n）的F分布，证明：随机变量 丄服从X自由度为（n,m）的F分布；若m n,且PX 0.05，求PX -的值。证明：因为X F（m,n）,由F分布的定义可令 X U/m，其中U 2（m）,V 2（n）, UV/n与V相互独立，所以丄也巴尸（n,m） oX U /m当m n时，X与服从自由度为（n, n）的F分布，故有PX PX -,X从而 PX - P1P1 PX 10.05 0.95 oXX数理统计试卷参考答案、填空题（本题15分，每题3 分）Nep ; 2、0.01;3、t (n21) Sn ;4、;5、z z0.05。二、选择题（本题15分，每题

10、3 分）1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.三、（本题14分）解:(1) E(X)2x2xf (x)dx 0 才dx似然函数为：n 2xi2n nL(Xj, )22nXj ,0 Xi, (i 1,2,n),令 E(X? 23 X 3，得？ 2X为参数的矩估计量。而L（）是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为maxX1，X2，, Xn。四、（本题14分）解:（1 ）2的置信水平为0.95的置信区间为1820.025 (9)18-，即为(0.9462 , 6.6667 );0.975 (9)(2)DX23X2-21 2 yD由于2的单调减少函数,置信区间为即为(0.3000, 2.1

11、137)。五、（本题10分）解：P 2nX2(2n)浮1(2n)即的单侧置信下限为2nX；（2）2 16 501042.5853764.706。六、（本题14分）解:（1 ）检验假设H0:2=1 , H1:2工1; 取统计量:(n1)s220拒绝域为:2：(n21)20.025 =19.023,经计算:(n1)s29021竺12.96，由于212.96(2.700,19.023) 2,故接受H。，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。(2)检验假设H0:10, H1:10 ；X取统计量：t拒绝域为 t t.025(9)2.2622 ；10.8 101.2/ 102.10282.2622，所以接受 H。，即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 综上，认为工厂生产正常。10（ mg/L）。七、（本题10分）解：（1）拒绝域为zx 54/ 4Z0.0251 .96 ;（2）由（1）解得接受域为（1.08, 8.92）,当 =6时，接受H0的