一元二次方程根与系数的关系

1、12.4元二次方程的根与系数的关系中考考点1 理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)。2 会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求岀另一个根与未知系数。3 会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。考点讲解bc1 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 工 的两根为 xi,x2,贝U xi+X2=-“ , xi X2=。2 以Xi,X2为根的一元二次方程是(x-xi)(x-x 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax +bx+c=0(a 工 0)3 对二次项系数为i的方程x2+px+q=0的两根为xi,x2时，那么xi+x2=-p, xi X2=q。反之,以Xi,X2

2、为根的一元二次方程是：(x-x i)(x-x 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0 。4 一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：(1) 已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。(2) 已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。(3) 已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2X2-3x+i=0的两根为Xi,X2,不解方程，求 xi2+X22的值。33 5J Xi+X2=- ,

3、Xi X2=亠，. Xi2+X22 = (Xi+X2)2-2XiX2=( - )2-2 哭 =丨(4) 验根、求根、确定根的符号。(5) 已知两根，求作一元二次方程(注意最后结果要化为整系数方程)。(6) 已知两数和与积，求这两个数。(7) 解特殊的方程或方程组。考题评析1 (北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为X1 , X2，那么X1+X2与Xi X2的值分别为()(A)3 , 2( B) -3 , -2( C) 3, -2(D) -3, 2考点：一元二次方程的根与系数关系。评析：由一一元-二次方程ax +bx+c=0 (a疋的两根X1,X2,满足 X1+X2= - ,

4、 X1X2=-可直接计算,答案为B。2 .（杭州市）若汕匚是方程 J 一： - 的两个根9 ；山J 1的值为（）（A） -（ B） 1（ C） 一（ D）皿答案：A考点：一元二次方程根与系数的关系bc蛊十 K：2 = K, X.=评析思路：由韦达定理知二，=!,先求岀X1+X2, X1 X2的值，然后将代数式（X1+1）（X2 + 1）展开，最后将 X1+X2, X1 X2的值代入即可。3 （辽宁省）下列方程中，两根分别为一 的是（）（A）二 一二 I -一（ B） 一工 I -一（C）一二 I - - I（D）x2 - 4 = 0答案：B考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：因给岀了二根

5、，所以好求二根和二根积，再根据X1+X2=-p X1 X2=q，即可确定正确答案为B。4 （辽宁省）已知a B是方程卫亠= 的两个实数根，则口口的值为。考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2，a b= -5。而所求式中有 a2+2a部分，因a是方程的根，所以有 a2+2a-5=0, 即卩a2+2a=5，再加a b，原式值为0。答案：05 （河南省）关于 X的方程；1 + 1 - -：，是否存在负数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 4?若存在，求岀满足条件的k的值；若不存在，说明理由。又: 4k2-5k-9=0.9解这个方程，得k1=-1，k2=-(不合题

6、意，舍去) 当k=-1时，原方程的判别式 =b2-4ac=-(5k+1) 2-4(k2-2)=(-4) 2-4(1-2)=200.所以存在满足条件的负数k，k=-1.考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给岀的条件进行讨论,因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意厶0。6 .(福州市)以 2, -3为两个根的一元二次方程是(A)2x2-x-6=0(B) x2+x-6=0(C) x2-x+6=0).2(D) X +x+6=0答案:考点:元二次方程根与系数关系。评析:利用一元二次方程 x2+px+q=0的根xi,X2

7、与系数关系:直接计算即得答案。7 (广州市)已知 2是关于X的方程x2+3mx-10=0的一个根，则 m=考点：一元二次方程的根与系数关系评析：根据方程解的概念， 将未知数的值代入方程求岀m，或利用根与系数的关系解方程组求出。答案：1=2，贝U m=8 (贵阳市)若 Xi,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且 -考点：一元二次方程根与系数关系、一一、口2、 X】+ 幻=-朋巧评析：由一兀二次方程 ax2+bx+c=0 (a0的两根xi、X2与系数的关系-，丄十得x什X2=2xiX2=m，求 r -的值，代入已知的等式求岀m答案：19 .(河北省)在 Rt ABC中，/ C=9O0, a、b

8、、c分别是/ A、/ B、/ C的对边，a、b是 关于x的方程人 丁 T -的两根，那么 AB边上的中线长是( )35(A)二(B)二(C) 5( D) 2考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系评析思路：因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，.有 a+b=7a b=c+7，由勾股定理知c2=a2+b2，联立组成方程组求得c=5，斜边上的中线为斜边的一半，故选B。10 .(北京市海淀区) 已知：关于x的方程八豐-；_ -的两个实数根的倒数和等于3,关于x的方程nA-1=0有实数根且 k为正整数，求代数式 氏一 2的值。考点：根的判别式，根与系数的关系。评析：先根据根与系数的关系求得a

9、值，再将a代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据 的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。答案：0说明学生往往忽略 k=1的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的， 也有的不考虑 的范围。J_丄11.(河北省)若 X1、X2是一元二次方程3x2+x-仁0的两个根，则+亠的值是()(A)-1(B)0(C)1(D)2考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求岀X1+X2, X1 X2的值，然后将求的代数式1 I人十心11 一 石 耳2变形为八心，最后将Xl+X2=- , X1 X2=-：代入即可，故选 C。12

10、 .(哈尔滨市)已知： ABC的两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.(1) k为何值时， ABC是以BC为斜边的直角三角形.(2) k为何值时， ABC是等腰三角形，并求岀厶 ABC的周长.考点：Rt 三边关系，等腰三角形底与腰的关系，一元二次方程根与系数关系评析：(1) 已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的， 又根据Rt三边的关系 AB2+AC2=BC2可知，通过 AB 2+AC 2=(AB+AC) 2-2AB- AC可实现。答案：k=2或k= -5注：如果利用根与系数关系不能

11、求解，再利用解方程求根的方法。(2) 首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求 k的值，也就可求另一个根， 三角形的周长可求。答案：14或16.注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。13 (安徽)已知方程x2 + (1-f)X =0的两根为X1、X2,求X-+X；的值。考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据根与系数的关系，先求岀X1+X2、X1 X2 的值然后将 X12+X22=（X1+X2）2-2X1X2 变为以上形式，再将X1+X2=Ji-1代入即可。解：由根与系数关系,X1+X

12、2=-1 +X1X2=-X- +X =（X1+X2）2-2X1X2=(J- -1)2+2：=3-2 】+2=3.说明：如果先解岀根 X1、X2,再求岀X- +X=的正确值可以。14 (北京市东城区)已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求实数k的值。考点：一元二次方程根与系数的关系评析：先设方程二根为X1、X2，分别求岀X1+X2 , X1 X2的值，再根据两根的平方和是4,求岀k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证才能确定k的值，此题一些考生忽略厶的隐含条件的。解：设方程 X2-(k-1)X+k+1=0的两个实数根是 X1, X2，那么X1+X2=

13、k-1, X 1 X2 = k+1.2 2由 xl +x=4,得(X1+X 2)2-2X1X2=4.即(k-1)2-2(k+1)=42k -4k-5=0解这个方程，得k=5 或 k=-1.当 k=5 时, =(51)2-4(5+1)0,因此，k=-1为所求。真题实战1 (常州市)已知关于x的方程x2+mx - 6=0的一个根是2，则另一个根是 ，m=答案：-3; 12 (天门市)若方程 -2-: 一 的两根是X1、X2，则代数式-的值答案：63 已知Xi、X2是方程X2 x 1=0的两个根，则-；1 一一的值是（）A、1 B、一 1 C、D、0答案：B丄丄24 （石家庄市）设方程二】 一丄亠

14、-的两根为Xi和X2,且b-，则m等于（）A 8 B 4答案：C5 （潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（）A 2x2 4x+3=0B 2x2 2x 3=02C 2x +4X 3=0D 2x2 4x 3=0答案：D6 （山西省）若方程x的二根为X1, X2,则代数式/ :的值是（）A 6B 4C 2D -2答案：A7 （南昌市）已知方程2x2+kx 10=0的一个根是一2,求它的另一根及k的值解：设方程的另一根为X1，那么 -2x 1=-5，5 =1 2-k=-1 o5答：方程的另一根是-，k的值是-1丄8 （苏州市）已知关于x的方程x2+（m 2）x+ m 3=0。（1）求证：无

15、论 m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根;（2） 若这个方程的两个实数根X1,X2满足2x1+X2=m+1,求m的值。, 1A = (pm - 2)3 - 4(阳 _ J)(1)证明：二二地一 6牌 +16=(酬-3/ + 70无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根解T X1,X2是这个方程的两个实数根礙=(1)又 2xi+x2=m+1,(3)(3) -(1),得 Xi=2m-1把代入(1),得x2=3-3m (5)把、(5)1代入(2),得(2m-1)(3-3m)=-hl =OFirL.=s 129 (南通市)设 X1、X2是关于X的方程X2 - (k+2)+2k+1=0的两个实数根，且X12+X22=11.(1) 求k的值；(2) 利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一 根是原方程两根差的平方。解：(1)由题意得 X1+X2=k+2 , X1 X2=2k+1 : - . : 又二，解得 k=3。又 =-(k+2) 2-4(2k+1)=k 2-4k，当k=3时，A=3v 0，原方程无实数解；当k=-3时， =21 0,原方程有实数解。故 k=-3