根式的运算技巧(20210315112030)

1、根式的运算 平方根与立方根 一、知识要点 1、平方根： 、左义：如果x2=a,贝Ijx叫做a的平方根，记作“土需”(a称为被开方数)。 、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数：0的平方根是0：负数没有平方根。 (3)、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“需”。 2、立方根： 、定义：如果x3=a,则x叫做a的立方根，记作“需”(a称为被开方数)。 、性质：正数有一个正的立方根：0的立方根是0：负数有一个负的立方根。 3、开平方(开立方)：求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。 二、规律总结： 1、平方根是苴本身的数是0：算术平方根是其本身的数是0和1：立方

2、根是其本身的 数是0和1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根：任何一个 数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3、苗本身为非负数，即血M0：需有意义的条件是 4、公式：(1)(苗)2=a (a$0):口 = _逅(a取任何数)。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0 (此性质应用很 广，务必掌握)。 例1求下列各数的平方根和算术平方根 (1) 64：(2) (-3几(3) 1：一 49(-3)2 例2求下列各式的值 (1) 土阿：(2) -届;(3) ； :(4) /冷. (5) Vk44 ,(6) -尿,(7) (

3、8) 7(-25)2 例3.求F列各数的立方根: (1)343： 一2笋。.729 二.巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当aNO时，a的平方根是土石，即a是非负数. 例4、若y/2 x Jx 2 y = 6,求y的立方根. 练习：已知y = Jl-2x+j2x-l+2,求*的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当aNO时，a的平方根是土需，而（+需）+ （-石）= 0. 例5、已知：一个正数的平方根是2a-l与2-a,求a的平方的相反数的立方根. 练习：若加+ 3和a 12是数加的平方根，求川的值. 四、巧解方程 例 6、解方程（1） （x+1） :=36（2） 2

4、7（x+l）3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0,即a=o时其值最小，换句话说石的最小值是零. 例4、已知：y二V + j3+l），当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时, 求b的非算术平方根. 练习: 1、若一个数的平方根是8,则这个数的立方根是(). A. 2B. 2C. 4D. 4 2、144的算术平方根是,辰的平方根是； 3、若加的平方根是5d + l和d-19,则加二. 4、V27=， 一阿的立方根是: 5、7的平方根为, Vl2T=； 6、一个数的平方是9,则这个数是, 一个数的立方根是1,则这个数是 7、平方数是它本身的数是:平方数是它的相反数的数

5、是； 8、当对时，J3x 1有意义;当x二时，孙5x + 2有意义: 9、若X4 =16,则沪:若3 =81,则 n二: 10、若長=長,贝lj x=:若 JP = -X,则 x: 11、的整数部分为a,小数部分为b,则a=_, b=_ 12、解方程：(兀一1)2 - 324 =0(2)125(x-2)3=-343 (3 )64(x-3)2-9 = 0 (4)1(x-1)3+8 = 0 13、已知二5 + |y 3| + (z + 2)2=O,求 xyz 的值。 -,卄_4 + v4 aa松 14、若y =,求2x+ y的值. x + 2 15、已知：x -2的平方根是2,2 x + y +7

6、的立方根是3,求x =+ y =的平方根. 16、若 y = J2x_l+J1-2 兀-1,求好的值。 3/17 二次根式 一.知识点 1 二次根式：式子循(a 0)叫做二次根式。 2最简二次根式：必须同时满足卜列条件： 被开方数中丕負开方开的昼.的因数或因去 被开方数中丕劭母：分母中丕負 根式J 3 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根 式。 4. 二次根式的性质： r a (a 0) (1)(五)-a (aO) :(2) Q =0 5. 二次根式的运算：一。(V 二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即

7、可。 二次根式的乘除运算： 4 =五兀(心0力玄0)； 【例题讲解】 =姿(沦00) Qb 7/17 一、利用二次根式的双重非负性来解题(需no (o0),即一个非负数的算术平 方根是一个非负数。) 例一 X取何值时，下列各式在实数范用内有意义。 x/27+4 277T lxl-2 例 2：若|2004_询 + Ja_2005 = a 则 0 20042= 若y =厶一3 + J3-兀 + 4，贝|Jx + y = 【基础训练】 1、下列各式中一泄是二次根式的是()。 A、J_3 B% yx : C、JaT +1 : D、JX 2、若Jx(x_l) =、Gy/x- ,则x的取值范用是 3、若丘

8、=戸,则x的取值范围是。 V A + 1厶+1 4、若顾7是一个正整数，则正整数m的最小值是. 5、设 m、n 满足“ =V二FW, 则 Jmn =。 加一3 6、若三角形的三边a、b、c满足4 + 4 + VF二5=0,则第三边c的取值范围是 7、若I4x-8l+jy-加=0,且y0时，贝U （） A 0 m 2 C、m 2 D、m 2 二、利用二次根式的性质叱:鳥（即-个数的平方的算术平方根等于这个 -a（a 0） 数的绝对值）来解题 例已知JF+3F =皿為,则（） A.jvWOB.xW 3C.xM 3D一3WxW0 例2：化简（x_2）zr的结果为（） A、y/2 x : B、Jx -

9、 2 : C、 Jx - 2 D、2 - x 【基础训练】 A、d = 0； B、a = l； C、a = 0 或 1： D、a a+bJI,则 b 二. 五、二次根式的比较大小 (1) 1/200和2石(2) 一5、$和一6石(3)、/17-、/1?和71?-佰 (4)设 a=、/I-血，b = 2-VLc =、S-2,则() A. abc B. acb C. cb a 0. bc a 六、实数范围内因式分解： 9x2 5/ 4x44x2+1x4+x2 6 练习： 1、若 x = y/a -、厉,y = ya + yb ,则 xy 的值为() A. 2,yci B 2、/ C ci + b

10、D cib 2、若”一2| + V3 = 0,贝ij“2-b = 3、计算： + 3) 2-/2 ( 2 (3Vi8 十V50 4jL) - 1B. a刁 1c. a /l-x + 3 ,化间：卜_3卜 J)厂8y + 16。 “卄如勿+卜2一9|X + 1 0、L_j 知；=0, 求 (x + 3)y + 1 11.先阅读下列的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将Jc2亦 化简,若你能找到两个数加和“，使nr+n2 =a 且 mn = yb , 则a2y/b可变为m2+n22tnn ,即变成(mn)2方，从而使得 a2fb 化简。 例如：5 土 26 = 3 + 2 + 2-/ =(/3

11、)2 + (/2)2 +272.73=(73 + V2)2, 丁52衙=7(/3 + /2)2 =/3 + V2 请仿照上例解下列问题: (1 )2点； (2) 丁4 + 2巧 二次根式运算的技巧 二次根式的运算通常是根据苴运算法则进行讣算的，但在计算过程中若能巧妙地运用 一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下而举例说明二次根式的运算技巧： 一、巧移因式法 例1、 计算(372 +極X価-4/3) 分析：将3血、4舲根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或 先把届、届化简，然后利用平方差公式计算 解：原式=(V32x2 + 748)(718-a/42x3) = (V1

12、8+V48 )(V18-V48) =18-48 =-30 二、巧提公因数法 例 2、计算(5 + V6X5V2-2V3) 分iff： V2=(a/2)2.5血-2的中有公因数逅，提出公因数血后，可用平方差公式 计算 解：原式二(5 +茜)5血-(血尸厲 = (5 + V6)V2(5-a/6) =+ V6)(5 y/) -41 (25-6) =19a/2 三、公式法 例 3、il+ V3 /6)(-/2 a/6) 分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式 来计算很简便 解：原式=(x/2-/6) + V3(V2-/6)-V3 =(a/2-/6)2-(V3)2

13、 = 2-2726+6-3 = 5-43 四、因式分解法 例4、计算(x + 2历+刃一(頁+ ) 分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运 算很简便 解：原式二(眉)2 +2阿+ ()2“ (仮+ 77) 五.拆项法 例5.化简 品+ M + 30 (a/6 + %/3)(V3 + V2) 分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便 解: 原式二 (a/6 + V3) + 3(+ V2) + yf3)(y/3 + V2) 3 V3 +J2 V6 + V3 二巧一佢+亦一侖 六、配方法 例6、计算丿3-2厲+ 丁5-2后- J19 +

14、 M 分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的 式子化成完全平方式，使问题便于计算 解：原式二J(l_、伍尸+伙馆_运尸_ J(4 + V)2 二(血_1) + (圧血)_(4 + Q 七.整体代入，别开生面 例5已知 二口盯+同，y二+阴”） ,求下列各式的值。 2 2 (1) % 一紗 + y(2) y 玄 x + y = TT,芨一y 二xy = 分析：根据x、y值的特点，可以求得2 ,如果能将 所求的值的式子变形为关于”+y、K_y或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简 单得多。 W：因为 二, y 二- 运) z+y = V7, 所以 x2

15、- xy + y2 = (x + y)2 - 3xy = (V?) - 3x-1 = 5 (1) 2 2 兰 + 2. = J + y2 =(X 十 y)2_2龙y =卜厅)_2 逅=吃 y z zyzy丄 (2) 2 （也可以将 -即+b变为仗-卅+号来求） 八.巧换元，干净利索 例6. n 4- 2 4- Jn? 4 十 ti + 2 J J _4 讣算门十 2 _ Jn? 4 n + 2 + Jn? _4 分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设n + 2 + 7n2-4 =z, n + 2- J J -4 = y 止十亠 4-y2 (z + y)2 - 2zy (x+y)2 -2 则原式

16、卩 =n2 +4n+4-n2-l-4 = 4n4-8 : 0, y2-V3 0 所以W国 即2 + -/? + 丿2_= Vs J4 + 2朽十4_严 解法2：原式 V3 +1 + 3 - 1 72 所以遇到二次根式运算一立认貞审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍 效果 二次根式的运算测试 姓名班级学号 选择题（本题30分，每小题3分）: 1. 化简也羽（1 书）的结果是 A- 3 B. -3 C.V3 2. 计算（姬 2羽+羽必羽+屈的结果是 () A- Ha/7B 15羽 C- 21 D. 24 3 计算（3返+ 5V）X（3返5萌）的结果是 A. -57 () B57 C. -

17、53 D. 53 4. 计算 的结果是 A. 2 B. 4 5. 迈X（辺一羽）+&的值是: 6. 化简：萌X （迈一羽）一辺31= 7. 计算（価一诵）一迈的结果是. 8、 计算: 9、有下列讣算：（,）3 = 汽；寸4（卩一4+ 1 = 2。一 1 ；* 4- nr = ,； 27X506=15；2知一2羽+ 3飒 =14羽其中正确的运算有 10、计算：(2+1)(/2-1)= 二、计算题（本 30分，每小题5分）: (5+&)X(5 迈2 羽)； 1 , 1 1 科 (5)3y/8X(y/54-5y/2-2y/6)； 二、解答题（本, 40分，每小题10分）： 1、已知 a=y + 2, h=5 2,求寸“2+，+7的值? 2已知兀=羽+返，天2=菲一&，求Xi+%2? 3、已知 xy=yj3,求代数式(x+l)2 2i+y(y2x)的值. 4、先化简，再求值：（丹+如迁丁 其中