随机过程概率空间

1、第一章第一章 预备知识预备知识 1.1 概率空间概率空间 1.2 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1.4 特征函数、母函数特征函数、母函数 1.5 收敛性与极限定理收敛性与极限定理 1.1 概率空间概率空间 一、随机事件的公理化定义一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率 等定义，有如下问题：等定义，有如下问题： 对于随机试验对于随机试验e的样本空间的样本空间,是否是否的每一个的每一个 子集子集( (事件事件) )都能确定概率都能确定概率? ? 定义定义(代数代数) )：设随机

2、试验：设随机试验e 的样本空间的样本空间 为为,f 是是的子集组成的集族，满足的子集组成的集族，满足 (1) f ; ; (2)若若af, ,则则 . .（对逆运算封闭）（对逆运算封闭）fa (3) 若若 则则 （对可列并运算封闭）（对可列并运算封闭） , 2 , 1 ifai 1i i fa 称称f为为的一个的一个-代数代数（事件体）（事件体）, , f 中的集中的集 合称为合称为事件事件. . f的定义给出了事件间类似于代数学中的代的定义给出了事件间类似于代数学中的代 数结构数结构. . ex1：在编号为：在编号为1,2，,n 的的 n个元件中取一件，个元件中取一件， 1. 考虑元件的编号

3、，则全体基本事件为考虑元件的编号，则全体基本事件为 样本空间为样本空间为 n,1,2, 构造如下事件构造如下事件: nkkak, 2 , 1 ,1,2, , nskaaa sksk nskiaaaa skiski ,1,2, , niii aaaa n iiiiii n ,1,2, 121 , 1211n21 , 1n21 , iiiskk aaa 可验证集族可验证集族 组成一个组成一个代数代数. 2. 仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为 a1=取到正品取到正品, , a2=取到次品取到次品 ,a,a,f 21 则则 为一个为一个代数代数. . .,aa,

4、f代代数数是是最最简简单单通通常常称称 ex.2 测量一个零件测量一个零件, ,考虑其测量结果与实际长考虑其测量结果与实际长 度的误差度的误差. . 基本事件为基本事件为x, ,样本空间为样本空间为 11 :rrxx 则则r1 1的子集全体：的子集全体： , ,单点集单点集 x ，一切开的，一切开的, , 闭的，半开半闭区间等组成的集族闭的，半开半闭区间等组成的集族f是一个代数是一个代数. . , 另外，令另外，令 0: 0: 2 1 xxa xxa = =出现正误差出现正误差 = =出现负误差出现负误差 则则 为一个为一个代数代数. ,a,a,f 21 注：注：对同一研究对象的同一试验对同一

5、研究对象的同一试验,试验目的不同试验目的不同, 其样本空间和代数的结构会不同其样本空间和代数的结构会不同. 定义定义(可测空间可测空间)：样本空间：样本空间和和代数的二元体代数的二元体 (,f) 称为可测空间称为可测空间. 可测空间有如下可测空间有如下性质性质： 1. ;f 2.对可列交运算封闭对可列交运算封闭,若若 则有则有 ),1,2,( ifai 1 f i i a 证证, 11 i i i i aa因因 ff ii aa 11 ff i i i i aa 3. 对有限并对有限并, ,有限交封闭：若有限交封闭：若 则则 niai,1,2,f n i i n i i aa 11 ff, 或

6、或 4. .对差运算封闭对差运算封闭,即即若若 则则 . .f,f, baf ba f baba 二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义定义( (概率概率) )：设：设(,f)是一可测空间，对是一可测空间，对 定义在定义在f上的实值集函数上的实值集函数p(a), 满足满足 f a 1) 非负性：对非负性：对 ; 10f, apa 2) 规范性规范性: :p() = 1; ; 3) 完全可加性完全可加性, ,对对 ,1,2,fjiaaia jii 有有 11i i i i apap 称称p是是(,(,f) )上的上的概率概率

7、( (测度测度),),p(a)是事件是事件a 的概率的概率. . 三元体三元体(,f, p)称为称为概率空间概率空间. ex: 设某路口到达的车辆数为设某路口到达的车辆数为m, ,基本事件基本事件 为为m, ,样本空间样本空间 f是是的一切子集的一切子集 组成的集族，则组成的集族，则f是一个是一个代数代数. . ,0,1,2, 定义定义p()=0,并对并对af 令令 ak k k ap0, ! e 证明证明 p为可测空间为可测空间(,(,f) )上的概率上的概率. . 证证: 1) 0 1 ! e ! e kk kk kk p , 0 ! e0 k k k 有有，对，对2) 因因 ; 1 !

8、e ! e)(0 akk kk kk ap 3) 设设),( , )1,2,(,fjiaaia jii i i ak k i i k ap 1 ! e 1 . )( ! e 11 iaki i k i ap k 有有 三、概率性质三、概率性质 设设(,(,f, p) )是概率空间是概率空间, ,则概率则概率p 有如下性质有如下性质: : 1) p()=0; 2)有限可加性有限可加性: 若若 )( ,1,2,fjiaania jii ; )( 11 n i i n i i apap 则则 推论推论1: ; 1 apap 推论推论2 (单调性单调性):):若若 ，则，则ab p(ab)=p(a)p

9、(b) 且且 ,bpap 3) 概率的单调性概率的单调性 . 0)(lim n n ap则则 , 1 n n a且且若若, 21 aa 1,2, 1k nbaa nk k nk k 证：证： 211 nnnnn aaaaa a1 an an+1 其中其中b1,b2,互不相容，由完全可加性有互不相容，由完全可加性有 0)(1 1 1 1 1 k kk k k aapbpap 收敛级数的余项极限为收敛级数的余项极限为0,( (as ), ),即即 n . )as(0, 1 naapap nk kkn 则则且且若若, 1 21 aaaa n n 推论推论1： .linapap n n 推论推论2：

10、则则且且若若, 1 21 n n aaaa .linapap n n 证：在推论证：在推论1中中 , 21 bbaab nn 则则令令 . 00lim aapapapbp nnn n )( nasapap n aaaa n n 1 11n n n n aab且且 a bn= an - a 有有设设,1,2,f,niai 4）多除少补原理）多除少补原理 n i i n i i apap 11 .1 11 1 nki n i i n ki apaap 推论推论：概率具有次可加性：概率具有次可加性 . 11 n i i n i i apap 四、条件概率四、条件概率 bp abp bap 定义定义：

11、设：设(,f, p)是概率空间，是概率空间，a, bf， 且且p(b)0 称为已知事件称为已知事件b发生的条件下，事件发生的条件下，事件a 发生的发生的 条件概率条件概率. 定理：定理：设设(,f,p)是概率空间是概率空间,bf,且且p(b)0,则则 对对 有有 对应对应, 集函数集函数 满足三满足三 条公理条公理: : )(bap f, a bp 1;)()2 bp . 11 i i i i bapbap 则则且且),( ,1,2,f)3jiaaia jii 条件概率条件概率 是概率是概率. . ; 1)(0f,)1 bapa 定义定义: :记记pb= = p( (| |b）, ,则则pb

12、是可测空间是可测空间(,(,f) ) 上的概率上的概率, ,称称(,(,f, ,pb) )是是条件概率空间条件概率空间. . 定理：定理：设设a是概率空间是概率空间(,f, p)上的正概率事上的正概率事 件件,bf, 且且pa(b)0, 则对任意则对任意cf 有有 )(bacpbcp a )( )( )( )( abp acbp bp cbp bcp a a a 证证 . )( )( )( )( )( / )( )( bacp abp abcp ap abp ap abcp ex. 10 张签中有三张幸运签张签中有三张幸运签, ,3人依次各抽一人依次各抽一 张签张签, ,第一个人抽到幸运签第一个人抽到幸运签, ,假若第二人也抽到假若第二人也抽到, , 问第三人抽到幸运签的概率问第三人抽到幸运签的概率. . 解解 设设 ai= =第第i 人抽到幸运签人抽到幸运签, i=1,2,3. . , )( 1 1 appa 记记, 9 2 )()( 122 1 aapapa有有 . 8 1 )()( 21323 1 aaapaapa 所求概率为所求概率为 五、全五、全概率公式与概率公式与