有限元分析第5章 平面矩形单元与平面等参单元

1、有限元分析有限元分析 内容内容 平面矩形单元与平面等参单元平面矩形单元与平面等参单元 1 平面平面矩形单元分析矩形单元分析 2 等参单元的等参单元的概念概念 3 平面平面四节点等参单元分析四节点等参单元分析 要求要求 理解：平面矩形单元分析流程理解：平面矩形单元分析流程 平面矩形单元与三角形单元的比较平面矩形单元与三角形单元的比较 等参单元的目的和实现方法等参单元的目的和实现方法 掌握：掌握： 等参单元分析的基本思想等参单元分析的基本思想 课后作业课后作业 收集、阅读平面收集、阅读平面8节点等参元分析资料节点等参元分析资料 回顾回顾 整体 离散 单元 组装 人工节点人工节点 逼近离散逼近离散

2、单元刚度方程单元刚度方程 ee e kf kp 总体刚度方程总体刚度方程 回顾回顾 2. 单元分片插值（单元分析）单元分片插值（单元分析） 几何形状，特别是边界的逼近程度。 插值多项式的项数的截取。 3. 其它其它 回顾回顾 回顾回顾 节点位移节点位移内部节点位移内部节点位移 vm um vj vi ui i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e uj y x o ,0,0,0, 0,0,0, i i ijmj ijmj m m u v n x yn x yn x yu x yu n x yn x yn x yv x yv u v 1 ,() 2 iiii n

3、x yab xc y a 如何增加？如何增加？ 一、平面矩形单元 (xm, ym) ui vi (xi, yi) (xj, yj) ij m um vj vm uj (xk, yk) k uk vk aa bb x, y, 矩形单元也是常用的单元之一，由于矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三采用了比常应变三 角形单元更高次数的位移模式角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的，故可以更好地反映弹性体的 位移状态和应力状态。位移状态和应力状态。 如图所示四节点矩形单元，记单元的节点位移向量 和节点力向量为： f t iijjmmkk uvuvuvuv t xiyix jy

4、jxmymxkyk ffffffff f 为了能推导出简洁的结果，在这里引入无量纲坐标： x a y b (xm, ym) ui vi (xi, yi) (xj, yj) ij m um vj vm uj (xk, yk) k uk vk aa bb x, y, 11 11 单元位移场 由图可以看出，节点条件共有8个，因此，x和y方向的位 移场可以各有4个待定系数，可以取以下多项式作为单元的位 移场模式： 1234 5678 v uaa xa ya xy aa xa ya xy 它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以上两式中右端 的第四项是考虑到x和y方向的对称性而取的。 48 ,a xy

5、 a xy 由节点条件，在处，有 ,(, , ) rr xxyyri j m k , (, , ,) , rrr rrr u xyu ri j k m v xyv 回代，可以求解出待定系数，然后整理可得 18 aa 0000 0000 ijmk ijmk nnnnu nnnnv n 其中，n为单元的形函数矩阵， 1 11 4 1 11 4 1 11 4 1 11 4 i j m k xy n ab xy n ab xy n ab xy n ab 如以无量纲坐标系来表达，则上式可以写成 1 11(, , ) 4 rrr nri j m k 其中： ,(, , ) rr rr xy ri j m

6、k aa (xm, ym) ui vi (xi, yi) (xj, yj) ij m um vj vm uj (xk, yk) k uk vk aa bb x, y, x a y b 单元应变场 根据单元的位移场函数式，由几何方程可以得到单 元的应变场表达式， 0 1 0 u u b x vv a yab uvuv ab yx 记为： b x a y b 这里，b矩阵称为几何矩阵。b矩阵可以表示为分块矩 阵的形式 ijmk bbbbb 其中 0 (1)0 11 00(1)(, , ,) 4 (1)(1) r rr r rrr rrrr rr n b b n aari j k m abab ab

7、 nn ab b 注意注意：矩形单元的应变场为一次线性函数。矩形单元的应变场为一次线性函数。 单元应力场 由物理方程及应变矩阵，可以得到单元的应力场表达 式， ddbs 其中为应力矩阵，d称为弹性矩阵，对于平面应力 问题， sdb 2 10 10 (1) 1 00 2 e d 注意注意：矩形单元的应力场为一次线性函数。矩形单元的应力场为一次线性函数。 将应力矩阵表示为分块矩阵的形式 ijmk sssss 其中： 2 (1)(1) (1)(1)(, , ,) 4(1) 11 (1)(1) 22 rrrr rrrrrr rrrr ba e bari j k m ab ab sdb 对于平面应变问题

8、，只需将e换为，换为。 2 1 e 1 单元刚度矩阵 和三角形单元一样，可以根据虚功理导出节点位移向 量和节点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵，可以 将其写成分块的形式。 k 8 8 iiijimik jijjjmjk mimjmmmk kikjkmkk kkkk kkkk k kkkk kkkk 其中 d( , , ) t rsrs r si j m k kb db 对于平面应力问题，如果单元厚度t为常数，则可得刚 度矩阵的显式形式： 2 1 1 31 211 1 23 , , , 4(1)1 1 31 211 1 23 rsrs rsrs rsrs rs rsrs rsrs rsrs b

9、a a bet r si j m k b a a b k 11 11 ( , , ) t rsrs abd d tr si j m k kb db 积分得： 等参单元 二、平面等参单元 问题：能否利用规则的平面矩形单元的结果来研究不规则的 任意四边形单元的计算公式？ 思路：任意直四边形可看成是正四边形( (常称为母元) )的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。 重点：1 1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系 2 2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边 形的单刚矩阵 （包括母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转

10、换过程中的导数、积分计算） 等参单元分析范例平面4节点等参单元 1、等参变换（坐标映射） 目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系 1234 5678 x y ii ii x f y （1,2,3,4）， x f y 解法解法：插值插值 代入4个角点坐标，确定系数。 11223344 11223344 xn xn xn xn x yn yn yn yn y 求出待定系数，得求出待定系数，得 1 1 1 1 x f y 2 2 1 1 x f y 3 3 1 1 x f y 3 3 1 1 x f y 1 2 3 4 1 11 4 1 11 4 1 11 4 1 11 4 n n n

11、n 1 ,11 4 iii n i = 1,2,3,4 将四角点的局部坐标代入将四角点的局部坐标代入 1234 5678 x y 2、等参单元位移函数 从坐标变换可知, ,等参单元位移与母元间位移仅相差坐标变 换式, ,而母元单元内任意点p的位移函数 i 3、等参单元应变矩阵 1 4123 4123 8 00 0,000 00 0000 u xx u nnnn v nyynnn v uv yxyx iii iii nnnxy xy nnnxy xy 由几何方程，得由几何方程，得 新问题：形函数是局部坐标的函数，而局部坐标又是整体坐标的函数，故： i i i i nxyn x n nxy y 3

12、、等参单元应变矩阵 i i i i nxyn x n nxy y i i i i nn x j n n y 11 yy j xxj 1 i i i i nn x j n n y xy j xy 称为雅克比矩阵，且 44 11 44 11 , , iiii ii iiii ii xyyx j nxnx xx nyny yy 3、等参单元应变矩阵 1 342 1 1 3124 4 11223344 4 , 0000 0000 ee nnnn u xxxx v nnnn b yyyy u nnnnnnnn v yxyxyxyx 4、等参单元应力矩阵 ddbs 5、等参单元刚度矩阵 e t kbd b tda 求微小平行四边形面积 11 11 | et ktbd bjd d 注：等参单元的刚度积分一般很难有解析式，必须进行数值积分，目前普 遍采用高斯数值积分法（略）。 等参单元小结 1、等参单元存在的充要条件是|j|0 为了保证能进行等参变换( (即总体坐标与局部坐标一一对应) )，通 常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接 近180180度情况。 等参单元小结 2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲 线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。 3、前述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与 描述单元位移函数中形函数的阶次相同，故