高阶系统的时域分析

1、课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 自动化1002班 指导教师： 肖纯 工作单位： 自动化学院 题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） 当K=10,a=1,b=5时用劳斯判据判断系统的稳定性。（2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用Matlab绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。（3） 如不稳定，则计算系统稳定时K、a和b的取值范围，在稳定范围内任取一值重复第2个要求。

2、（4） 绘制稳定时系统的根轨迹（在稳定范围内任取a、b值）。分析K变化对系统性能的影响。时间安排： 任务时间（天）指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料2分析、计算2编写程序1撰写报告2论文答辩1指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目 录1 高阶系统的数学模型12 系统稳定性分析23 高阶系统的时域分析53.1 单位阶跃响应53.1.1 单位阶跃响应53.1.2 单位阶跃响应动态性能73.1.3 单位阶跃响应稳态性能83.2 单位斜坡响应93.2.1 单位斜坡响应93.2.2 单位斜坡响应稳态性能103.3 单位加速度响应113.3.1 单位加速度响应113.3.2

3、 单位加速度响应稳态性能124 系统根轨迹135 设计心得体会14参考文献14 高阶系统的时域分析1 高阶系统的数学模型一个高阶系统的闭环传递函数的一般形式为： 对分子、分母进行因式分解，得到零极点形式： (1)式(1)中，K=b0/a0；zi ,pj分别为系统闭环零、极点。本设计给定的单位反馈系统的开环传递函数为 (2)则其闭环传递函数为（假设为负反馈）： 2 系统稳定性分析任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性， 是指系统在扰动消失之后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。线性系统 的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。线性系统稳定的充 分必要条

4、件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函 数的极点均位于 S 左半平面。 若求出闭环系统特征方程的所有根，就可判定系统的稳定性。但对于高阶系统来说，求特征方程根很困难，并且不易对参数进行分析。现使用一种不用求解特征根来判别系统稳定性的方法劳斯稳定判据。设系统的特征方程为，则可列出劳斯表如表1所示。表1 劳斯表 按照劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各值均为正。否则系统不稳定，且第一列各系数符号改变次数即为特征方程正实部根的数目。当K=10，a=1，b=5时，代入式(3)得到系统闭环传递函数则系统的闭环特征方程为：D(s)=s4+6s3+15s2+20s

5、+50=0. 按劳斯判据可列出如下劳斯表：1550620505000由于劳斯表第一列数值符号有两次变化，故系统不稳定，且存在2个正实部根。用 MATLAB 求出全部特征根如下： y=roots(1 6 15 20 50) y = -3.1534 + 1.7836i -3.1534 - 1.7836i 0.1534 + 1.9458i 0.1534 - 1.9458i现继续用劳斯稳定判据求原给定系统稳定时K，a，b的取值范围。原给定系统的闭环特征方程为：D(s)=s4+(5+a)s3+(10+5a)s2+(10a+K)s+Kb=0，按劳斯判据可列出如下劳斯表：+ 根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一

6、列各元素为正，即： (4)即K、a和b必须满足：(5) 系统才稳定。3 高阶系统的时域分析取K=12，a=b=3时，此时系统由四阶变为三阶，系统开环传递函数为 (6) 系统闭环传递函数为 (7)经分析可知，此时 K、a、b 的值满足要求，系统稳定。3.1 单位阶跃响应3.1.1 单位阶跃响应 单位阶跃响指的是系统在单位阶跃信号 r(t)=1(t)作用下的响应。取其拉氏变换即 R(s)=1/s。此时，系统输出为: 对上式进行部分分式展开： 对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位阶跃响 应:(8) 对于一般的高阶系统来说，用这种方法来求取单位阶跃响应都比较麻烦，有时候甚至

7、很难完成。但利用 MATLAB 软件则可以很方便的得到响应，并绘制出响应曲线。MATLAB中tf2zp()函数能将传递函数模型转化为零极点模型，residue()函数可以直接求出传递函数部分分式展开，由这些结果可以直接写出系统的输出解析解。另外，利用step()函数还能准确绘制系统单位阶跃响应曲线。式(7)所表示系统可以用下面的MATLAB语句求解系统单位阶跃响应。 num=12 36;den=1 8 25 42 36 %描述闭环系统传递函数的分子、分母 多项式sys=tf(num,den); %高阶系统建模z,p,k=tf2zp(num,den); %对传递函数进行因式分解zpk(z,p,k

8、) %给出闭环传递函数的零极点形式r,p,k=residue(num,den,0) %对C(s)部分分式展开 %在分母多项式后补零相当于乘以sstep(sys) %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线grid %添加栅格title(单位阶跃响应); %标注标题xlabel(t); ylabel(c(t); %标注横、纵坐标轴 绘制的单位阶跃响应曲线如图1所示。图1 单位阶跃响应曲线由(8)式单位阶跃响应时域表达式可知系统闭环稳定时，单位阶跃响应的指数项和阻尼正弦余弦项均趋近于零，稳态输出为常数项1，这与用MATLAB绘制的响应曲线相符。3.1.2 单位阶跃响应动态性能动态性能指标是指稳定的系统在单位

9、阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，体现系统动态过程特征。用解析法求解高阶系统的动态性能指标很困难，这里用MATLAB编程求解。调用单位阶跃响应函数step()，获得系统的单位阶跃响应，当采用y,t=step(sys)的调用格式时，将返回值y及相应的时间t，通过对y和t进行计算，可以得到高阶系统各项动态性能指标。利用MATLAB编程求取系统动态性能指标程序如下：sys=tf(12 36,1 8 25 42 36)%系统建模 %计算峰值时间tp和对应最大超调量MpC=dcgain(sys) %取系统终值y,t=step(sys); %求取单位阶跃响应，返回变量输出y和时间tY,k=

10、max(y); %求输出响应的最大值Y（即峰值）和位置ktp=t(k) %取峰值时间Mp=(Y-C)/C %计算最大超调量 %计算上升时间trn=1;while y(n)0.98*C)&(y(i) sys=tf(12,conv(1 3,1 2 4) %系统建模t=0:0.01:10; %响应时间u=t; %单位斜坡输入lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应gridxlabel(t); ylabel(c(t) %标注横、纵坐标轴title(单位斜坡响应); %标注标题xlabel(t); ylabel(c(t) %标注横、纵坐标轴程序运行后得到系统单位斜坡响应曲线如图2所示。图2 单位斜坡响

11、应曲线由(9)式单位斜坡响应时域表达式分析可知，本系统的单位斜坡响应的稳态分量为(t-0.8333)，系统稳态输出速度恰好与单位斜坡输入速度相同，即系统能跟踪斜坡输入，在位置上存在稳态跟踪误差，这与图2所示曲线相符合。3.2.2 单位斜坡响应稳态性能由系统的开环传递函数可知，u=1，该系统为型系统，待分析系统的开环传递函数为，其静态速度误差系数为所以系统在单位斜坡输入作用下的稳态误差为3.3 单位加速度响应3.3.1 单位加速度响应单位加速度输入，此时展开为部分分式形式：对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位加速度响应： (10)利用 MATLAB 软件绘制该系统在单

12、位加速度响应曲线。由于 MATLAB 没有专用的单位加速度响应函数，故使用任意输入响应函数 lsim（）。在MATLAB工作空间中输入如下程序代码：num=12; den=conv(1 3,1 2 4); sys=tf(num,den); %系统建模t=0:0.01:10; %响应时间序列u=0.5*t.2; %单位加速度输入lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线gridxlabel(t); ylabel(c(t);title(单位加速度响应);程序运行后，得到系统单位加速度响应曲线如图3所示。图3 单位加速度响应曲线由(10)式单位加速度响应时域表达式分析可知，系统单位加速度响

13、应的稳态输出为()，稳定时系统不能跟踪加速度输入，随响应时间t的增大，稳态位置误差将越来越大，从图3所示单位加速度响应曲线也可以看出。3.3.2 单位加速度响应稳态性能 待分析系统的开环传递函数为，其静态速度误差系数为： 所以在单位加速度输入作用下的系统稳态误差为：4 系统根轨迹 根轨迹表示 K 值从 0 变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面变化的轨迹。根轨迹与系统性能之间有着密切的关系。当 a=3，b=3 时，系统开环传递函数：MATLAB提供有专门绘制根轨迹的函数rlocus(),该函数是针对开环传递函数的，因此可以直接用 rlocus(Gp)绘制出系统的根轨迹。 程序运行后，得

14、到系统根轨迹图如图4所示。图4 根轨迹程序如下： num=1 3; %开环零点den=conv(1 0,conv(1 2 4,1 3); %开环极点sys=tf(num,den);%建立开环传递函数rlocus(sys); %绘制根轨迹title(根轨迹)； %添加标题xlabel(实轴); ylabel(虚轴);%添加坐轴标注 title(根轨迹)； %添加标题5 设计心得体会 在本学期学习自动控制原理的时间里，很少涉及到高阶系统分析与设计，只在根轨迹、稳定性判定等方面对高阶系统有一些了解。本次课程设计要求对高阶系统的根轨迹、稳定性、单位阶跃响应、单位斜坡响应与单位加速度响应等作出分析，在分

15、析过程中需要一个专门的工具MATLAB帮助解决问题。MATLAB计算功能强大、图形功能丰富方便、编程效率高且易学易用，很多的问题都能迎刃而解。本次课设任务书中要求画图的地方较多，直接调用MATLAB的相应函数就可以轻松实现相关要求。另外，在求解高次方程中遇到的困难，MATLAB也能方便地解决。通过本次课设，我不但对所学的自动控制原理的相关知识有了更深入的认识和更牢固的掌握，而且学会了运用MATLAB来解决高阶系统的分析和设计的相关问题。特别是对于有关绘图和校正等人工解决较困难的问题，学会运用有效的工具能够起到事半功倍的效果。在以后的学习和生活中，我不断要加强理论的学习，也要加强这些使用工具的学习，从理论和实际操作两方面提高自己的能力。参考文献1 胡寿松，自动控制原理(第五版). 北京：科学出版社，20072 胡寿松，自动控制原理同步辅导及习题全解（第四版）.中国矿业大学出版社,20023 王正林，王胜开等. MATLAB/Simulink与控制系统仿真(第2版). 北京：电子工业出版社，20084 王万良，自