整式的乘法和因式分解知识点汇总

1、整式乘除与因式分解 一知识点（重点） 1 幕的运算性质： am an=am+n（ m、n 为正整数） 同底数幕相乘，底数不变，指数相加. 例：（一2a）2 （- 3a2）3 m n 2. a = amn（m、n为正整数） 幕的乘方，底数不变，指数相乘. 例: （a(4) (-a) 7*(-a)(5) (-b) 5*(-b)2 ）5. 零指数幕的概念： .nn j 3. ab a b （n为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积. 例：（一a2b）3 练习： (1) 5x3 2x2y (2) 3ab ( 4b2) (3) 3ab 2a (4) yz 2y2z2 (5) (2x2y)3 (4xyam

2、 an = am-n (a0，m、n 都是正整数，且 mn) 同底数幕相除，底数不变，指数相减. 例：(1) x8*x2 (2) a4*a (3) (ab) 5*( ab) 2 ) (6) 1 3.5-2 /2、2 -a b 6a b c ( ac ) 6. 负指数幕的概念: 1 a-p = ap (a 0, p 是正整数) 任何一个不等于零的数的-p (p是正整数)指数幕，等于这个数的 p指数 幕的倒数. pp nm 也可表示为： mn(mH0, nM0, p为正整数) 7. 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的

3、指数作为积的一个因式. 11 例：(1) 3a (3X 108) X ( 4X 104) = b 2abc abc2(2) ( - m3n)3 ( 2m2n)4 32 8. 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积 相加. 2 1 例：(1) 2ab(5ab2 3a2b)(2) (-ab2 2ab) ab 3 2 (3) (-5m2n) (2n 3m n2)(4) 2(x y2z xy2z3) xyz 9. 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相 乘，再把所得的积相加. 例：(1) (

4、1 x)(0.6 x)(2) (2xy)( x y)(3) ( 2m n)2 练习： 1 1 .计算 2x3 ( 2xy)( xy)3 的结果是 2 / 11 3若n为正整数，且x2n= 3,则(3x3n)2的值为 4 如果(anb abm)3二a9b15，那么mn的值是 5. 02(2.03 a) 6. (-4x2 + 6x 8) ( 1x2) 7. 2n( 1 + 3mn2) 8 .若 k(2k 5) + 2k(1 k) 32,则 k 9. ( 3x?) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) 10. 在(ax2 + bx 3)(x2 I x+ 8)的结果中不含 x3 和 x

5、 项，贝 U a, b 11. 一个长方体的长为(a+ 4)cm，宽为(a 3)cm，高为(a+ 5)cm，则它的表面积 为，体积为。 12. 一个长方形的长是10cm,宽比长少6cm，则它的面积是，若将长方形的长 和都扩大了 2cm,则面积增大了。 10. 单项式的除法法则: 单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式：对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 例：(1) 28x4y2宁7x3y (2) -5a5b3c* 15a4b (3) (2x2y) 3 (-7xy2)* 14x4y3 11. 多项式除以单项式的法则: 多项式除以单项式, 先把这个多项式的每

6、一项除以这个单项式, 再把所得的 3 3 / 11 商相加. 例: (1)(3x2y 6xy) 6xy(2) (5a3b 练习： 1.计算： (1)3x4y2z3 x2y2 ; 77 2x2y3 3 2 x y 2 62 (3) 16 a b 4 a b . (4) 4x3y2n 2 2xyn 2 10a2b2 15ab3) (5ab) 7 / 11 (5) 4 1092 103 2计算: (1) 16x3y3 12 3 2xy 3 1 2xy ； (2) 2 2 5xy 1 5xy (3) 2anbn 5 3计算: (1) 4 x (2) 16a b5 b3 4.若(ax3my12) -(3

7、x3y2n)=4x6y8 ,贝U a = 易错点：在幕的运算中，由于法则掌握不准出现错误； 有关多项式的乘法计算出现错误； 误用同底数幕的除法法则； 用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错; 乘除混合运算顺序出错。 平方差公式：(a+ b) (a b)= a2 b2 文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：(a+ b)2= a2 + 2ab+ b2 (a-b) 2 = a2 2ab+ b2 文字语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或 减去)这两个数的积的2倍. 例 1： (1) (7+6x)(7-6x) ;(2) (3

8、y + x)(x-3y) ; (3) (-m + 2n)(-m-2n) 2 2 例 2： (1) (x+6)(2) (y-5)(3) (-2x+5) 练习: 1、 /32、22、3/2、3 。x(x y )2(x y) ( xy )= 2、 6a4b3 12a3b4 8a3b2 2a3b2 3、 x2 9y2 (x )2 ； x2 2x 35 (x 7)( 4、 已知 5、若 9x2 6、多项式 mxy 16 y 是一个完全平方式，那么 x3 x2, x2 m的值是 2x 1,x2 x 2的公因式是 7、因式分解: 8、因式分解: 4m2 2mn 9、计算：0.131 8 10、x2 0.00

9、4 (x 1 2 _n 4 8 0.002 8 y) A，则 A=_ 易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。 13因式分解（难点） 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式 分解 掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整 式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形， 因式分解是把和差化为积的形式， 而整式乘法 是把积化为和差的形式 二、熟练掌握因式分解的常用方法 1

10、、提公因式法 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的关键是找出公因式， 公因式的构成一般情况下有三部分： 系数一各项系数的最大公约数； 字母各项含有的相同字母； 指数 相同字母的最低次数； （3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确 定另一因式需注意的是，提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项 数一致，这一点可用来检验是否漏项 （4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”： 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的 系数是正的 例：（1）8a3b2 12ab3c（2）75x3y5 35x2y4 2、公式法

11、 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： 平方差公式：a b2=(a+ b) (a b) 完全平方公式：a2+ 2ab+ b2=( a+ b) 2 a2 2ab+ b2=( a b) 2 例：( 1) a2b2 0.25c2 (2) 9(a b)2 6(b a) 1 3) a4x2 4a2x2 y 4x2y2 (4) (x 22 y)2 12(x y)z 36z2 练习： 1、 若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，则m的值等于 2、x2 x m (x n)2 则 m = n = 3、2x3y2与12x6y的公因式是 4、若 xm yn =(x y2)(x

12、y2)(x2 y4)，贝U m= ， n=。 5、在多项式 m2 n2, a2 b2,x4 4y2, 4s2 9t4中，可以用平方差公式分解因 式的 其结果是 6、若 x2 2(m 3)x 16是完全平方式，则 m= ) x 2 (x 2)(x ) 8、已知 1 x x2 x2004 x2005 0, 则 x2006 7、 9 / 11 9、 若16(a b)2 M 25是完全平方式 M=。 2 22 2 10、 x2 6x _ (x 3)2 ， x2_ 9 (x 3)2 11、若9x2 k y2是完全平方式，则k=。 12、若 x2 4x 4的值为 0，则 3x2 12x 5的值是 13、若

13、 x2 ax 15 (x 1)(x 15) 则 a=。 22 14、若 x y 4,x2 y26 则 xy _。 15、方程 x2 4x 0 ，的解是。 易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误； 分解因式不彻底。 13 / 11 中考考点解读: 整式的乘除是初中数学的基础，是中考的一个重点内容其考点主要涉及以下几个方面： 考点1、幕的有关运算 例1. （2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（） （A） a3 a2 a6 （B） （a2）3 a5 （C） a8 a2 a4（d）（ab2）2 a2b4 分析:幕的运算包括同底数幕的乘法运算、幕的乘方、积的乘方和同底数幕的除

14、法运算. 幕的运算是整式乘除运算的基础，准确解决幕的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则. 解：根据同底数幕的乘法运算法则知a3 a2 a3 2 a5，所以（A）错；根据幕的乘 方运算法则知（a2）3 a2 3 a6，所以（B）错；根据同底数幕的除法法则知 a8 a2 a8 2 a6，所以（C）错；故选（D）. 例2. （2009年齐齐哈尔）已知10m 2 , 10n 3，则103m 2n . 分析:本题主要考查幕的 运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幕的乘法法则 am an amn，将指数相加化为幕相乘的形式 ，再逆用幕的乘方的法则 （am）n amn,将指数 相乘转化为幕的乘方的形式，然

15、后代入求值即可 解：103m2n 103m 102n （10m）3 （10n）2 23 32 72. 考点2、整式的乘法运算 例3. （2009年贺州）计算：（2a）（丄1）=. 4 分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算计算时，按照法则将其转化为单项式与 单项式的乘法运算，注意符号的变化. 111 解：（2a） （ a31） = （ 2a） a3（ 2a） 1 = a4 2a. 442 考点3、乘法公式 2 例4. （2009年山西省）计算：x 3 x 1 x 2 分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项 解: 29 x 1 x 2 =x 6x 9 (x 2x x

16、2) 2 2 =x 6x 9 x 2x x 2 = 9x 7. 3 例5.(2009年宁夏)已知：a b , ab 1，化简(a 2)(b2)的结果是. 2 分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算，然后灵活变形， 使其出现(a b )与ab，以便求值. 3 解：(a 2)(b 2) = ab 2a 2b 4 = ab 2(a b) 4 = 12 - 42 2 考点4、利用整式运算求代数式的值 2 2 例6. ( 2009年长沙)先化简，再求值：(a b)(a b) (a b) 2a ,其中 a 3, b 3 分析:本题是一道综合计算题，主要在于乘法公式的应用. 解：(

17、a b)(a b) (a b)2 2a2 2,2 2 2 2 aba 2ab b 2a 2ab 11 当 a 3, b 时，2ab 2 32 33. 考点5、整式的除法运算 例 7. (2009 年厦门)计算:(2x y)(2x+ y) + y(y 6x)乞x 分析:本题的一道综合计算题，首先要先算中括号内的，注意乘法公式的使用，然后再进行 整式的除法运算. 解：(2x y)( 2x+ y) + y(y 6x)乞x =(4x2 y2 + y2 6xy) -2x =(4x2 6xy) -2x =2x 3y. 考点6、定义新运算 例& (2009年定西)在实数范围内定义运算“”其法则为：a b a

18、2 b2，求方 程(4 3)x 24的解. 分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式aba2 b2可知，在 本题中“ ”定义的是平方差运算， 即用“ ”前边的数的平方减去“”后边的数的平 方. 解： t a b a2 b2 , (4 3) x (42 32)x 7x 72 2 x 72 22 x224 x225 x 5 考点 7、乘法公式 例 3 ( 1) (2009 年白银市 )当 x 3、 y 1 时，代数式 (x y)(x y) y2的值是. 2) (2009 年十堰市 )已知： a+b=3 ， ab=2,求書+匕2的值. 解析： 问题(1)主要是对乘法的平方差公式的考查.原式 =x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题(2) 考查了完全平方公式的变形应用， (a b)2 a2 2ab b2, - a2 b2 (a b)2 2ab 32 2 2 5 说明： 乘法公式应用极为广泛， 理解公式的本质， 把握公式的特征，熟练灵活地使用乘 法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍 考点 8、因式分解 例 4(1) (2009 年本溪市 )分解因式： xy2 9x 2)(2009 年锦州市 )