数值分析典型例题

1、数值分析典型例题 第一章典型例题 例3 ln2=0.，精确到10一3的近似值是多少 解精确到10和=,即绝对误差限是=,故至少要保留小数点后 三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1用顺序消去法解线性方程组 2兀 + x2 + 4x3 = -1 3“ + 2x2 + x3 =4 “ + 2x2 + 4x3 = -1 解顺序消元 2 1 4 A+rr（-3/2） 2 1 4 -1 2 1 4 -1 Ab= 3 2 1 4 1/2） 0 0.5 一气 5.5 +印一3）、 1 - 0 0.5 5 5.5 1 2 4 -1 0 1.5 2 -0.5 0 0 17 -17 于是有同解方程组 2Xj +

2、x2 +4乃=一1 O.5x2 -5a3 =5.5 17x3=-17 回代得解 兀3=- 1,%2=U原线性方程组的解为X= (1,1, - I)7 例2取初始向量丹)=(0,0,0)用雅可比迭代法求解线性方程组 M + 2x2 一 2x3 = 1 +3 伙=1,2,3,.) 第1次迭代*=0 盘0) = 0,得到 Yn = (1,3,5/ 第2次迭代,k= x； =-2x3 + 2x5 + l = 5 .垮)=-1-5 + 3 = -3 x；2)=_2xl-2x3 + 5 = -3 Y2) = (5,-3,-3)r 第3次迭代，心2 x；3) =-2x(-3) + 2x(-3) + l =

3、l X= (1,1,1)丁 第4次迭代，k=3 x2 =-2xl + 2xl + l = l =_1 一 1 + 3 = 1 jj21 = -2 x 1 - 2 x 1 + 5 = 1 炉)=(1,1,1卩 而咼斯- 例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛, 赛德尔迭代法发散。 证明例2中线性方程组的系数矩阵为 1 2 -2 4=111 2 2 1 _1 0 0 0 0 0 P 2 -2 于是D = 0 1 0 Dl=D L = 1 0 0 u = 0 0 1 .0 0 1_ 2 2 0_ 0 0 0 雅可比迭代矩阵为 1 0 o 0 2 -乞 0 2 -2 Bo= -D*(L + U)

4、= - 0 1 0 1 0 1 = 1 0 1 0 0 1 2 2 0 2 2 0 2 2 -2 2 2 0 RI-BO| = 1 2 1 = 1 2 2 + 1 2 2 2 2 2 2 + 2 =/12(2 + 2)-2(2 + 1)-22 + 2-2(2 + 1) = 23 =0 得到矩阵Bo的特征根人23=0,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法 收敛。 高斯-赛德尔迭代矩阵为 G- (D + L)U 1 0 O 9 2 -丁 1 1 0 0 0 1 = 2 2 1 .0 0 0 2 2 |AI-G|= 0 2-2 - 2 3=2(几-2)，=0 2-2 解得特征根为1=0, 2尸2。由迭代

5、基本定理4知，高斯-赛德尔迭代 发散。 例5填空选择题 1.用高斯列主元消去法解线性方程组 “ + +2x2 +x3 = 0 2x + 2x2 + 3x3 = 3 X 3x?= 2 作第1次消元后的第2, 3个方程分别为 答案： x2 一05入)=一15 一2兀2 + 15入)=3.5 解答选C=2为主元，作行互换，第1个方程变为： 2x14-2x2+3x3=3，消元得到 x2 一0.5入3 = -15 * -2x2 + 1.5x3 =3.5 是应填写的内容。 3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组 M + +2x2 一 2x3 = 1 ( (齐 1)! 利=Pn (x) + R (x)=工 (

6、x) + ： 二 +i (x) A-0 当7!加一1时，严）（兀）=0, 7?n（X）=0,所以 jxkW = xm A-0 注意：对于次数不超过斤的多项式 Q =+ + y + 5 , 利用上结果，有 Qn W = % + C +. + aYx + a。 +-iSz*w-1+“+ix）无 +“oix） A-0X-020i-0 nft =工/（切知灯 +%尽+. + axk + /0 J =Qn （xk ）1 k （x） DX:-0 上式Q”w（x）正是Q3的拉格朗日插值多项式。可见，03的 A-0 拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过H的多项式在”+ 1 个互异节点处的拉格朗日插值多项

7、式就是它自身。 例5已知数据如表的第2, 3列，试用直线拟合这组数据。 解计算列入表中。斤=5。他“满足的法方程组是 k Xk yk Xkyk 1 1 4 1 4 2 2 4 9 3 3 6 9 18 4 4 8 16 32 5 5 25 15 31 55 5a0 +15d =31 0川必2,兀)(兀 一 X1)(Xl)(x - xn) f 5+1）（占） gm需 (D)一 XO)(X - X)(X 一 也)(兀一无-1)9 一 心) 答案：（A）, （D）o见教材有关公式。 第四章典型例题 例1试确定求积公式j:/（x）dy+）+/（*的代数精度。 依定义，对 =0,1,2,3,.）,找公式

8、精确成立的R数值 解当.心）取1忑汽时，计算求积公式何时精确成立。 取.心）=1,有 左边=L /血=匸皿=2，右边=/（一 ）+ /（-）= 1 + 1 = 2 取有 左边=/dx = f；pdx = O,右边二 /（-吉）+ /（吉）=一咅 + 寺=0 例6选择填空题 左边=打(劝山=卜(1 = 0,右边=/( (4) 取7U)/,有 -却+ /(却十护+啣=0 (5) 取 y(x)=x4,W 左边=/()=占匕=|右边二八-却-扫尸+(井 当幻求积公式精确成立，而疋公式不成立，可见该求积公式 具有3次代数。 例 5 试确定求积公式 /(x)cLv f (0) + /(/?) + alrl

9、fiQ) - f(li)中的参 数色并证明该求积公式具有三次代数精度。 解 公式中只有一个待定参数心 当f(x)=,x时，有 fidA = -l + l + 0,艮卩 h=h Jo 2 Jxldt = 0 + 力+ ah2 (1 一 1),=牛 不能确定/再令沧)事,代入求积公式得到 a 2dv = - 0 + /?2 + air(2 x 0- 2h)，即 = -2ahs Jo232 1hI/ 2 得 g 迈求积公式为 /(x)dx jl/(0) + /(/:) + 扫广(0) - fh) 将代入上求积公式，有 f-3ch- = -lO + /?3 + (3xO-3Zz2) Jo 212 可见

10、，该求积公式至少具有三次代数精度。再将代入上公式 中，有 x4ch-|-0 + /?4 + -(4x0-4/I3) 所以该求积公式具有三次代数精度。 1.牛顿-科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点 是O 解答：牛顿-科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计 其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 第五章典型例题 例1证明方程1 - X-Siiu = 0在区间0,1内有一个根，使用二分法求 误差不超过xlO-4的根要迭代多少次 证明令./(x) = 1 -%- siiiv /(0)=10, /(l)=-sinl0(x0, 1),故/(x) = 0 在区间0, 1内有 唯一实根

11、。 给定误差限=xl0-4,有 ln(,)-lng_i = -ln0.5 + 41nl0_i = i32877 In 2In2 只要取= 14o 例2用迭代法求方程R -铁- 2 = 0的最小正根。计算过程保 留4位小数。 分析容易判断1, 2是方程的有根区间。若建立迭代格式 r4 _ 7r5 _ 7S r4 X = 即(pg = -l(xe (1,2),此时迭代 444 发散。 建立迭代格式 A =如 + 2,(p(x) = V4x + 2,p(x) = , 4i(1 2),此时迭代收敛。 5V(4x + 2)45 解建立迭代格式 x = V4x + 2, y(x) = y/4x + 2 材Cv)| = _尸 (lx0,取 xo=代驚：屮6砂心8881.37662川 = 1.46348- 1.46348一1463482-1 1.463483 -1.463482 -1.4888