圆锥曲线的定点、定值和最值问题

1、圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题本节目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.一、主要知识及主要方法：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的

2、曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.二、精选例题分析 【举例1】 （广东改编）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（）求得重心的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【举例2】已知椭圆上的两个动点及定点 ，为

3、椭圆的左焦点，且，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.【举例3】（全国改编）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（）过、两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5xA，0.5xB），设其交点为。（）证明为定值；（）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值问题4直线：和双曲线的左支交于、两点，直线过点和线段的中点，求在轴上的截距的取值范围. （四）课后作业： 已知椭圆（）的右焦点为，过作直线与椭圆相交于、两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，求证：交抛物线的对称轴上一定点. 如图，在双曲线

4、的上支上有三点，它们与点的距离成等差数列.求的值；证明：线段的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.（六）走向高考： （重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（）求双曲线的方程；（）若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围.（江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 （重庆）如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.求椭圆的方程；在椭圆上任取三个不同点，使证明：为定值，并求此定值.(全国）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆

5、于、两点，与共线。（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.(全国)、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值(浙江)已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点、在双曲线的右支上，点到直线的距离为，若直线的斜率为，且, 求实数的取值范围；当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程.（重庆文）如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.（山东）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线：与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标（上海）已知双曲线，为上的任意点。（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值