车道被占用对城市道路通行能力的影响国赛论文

1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛

2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： a 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20131255 所属学校（请填写完整的全名）： 南京理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 陆 宇 2. 赵 鹏 3. 吴建台 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 梁永顺 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文

3、可能被取消评奖资格。） 日期： 2013 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要本文研究的是道路发生交通事故，部分车道被占用对道路通行能力的影响问题。根据题目的要求，我们建立了相应的数学模型，并从所给的视频中采集数据，验证了它们的合理性。对于问题1，我们建立了三个不同的模型对事故所处横断面实际通行能

4、力的变化过程作了描述。模型1通过提取视频1中的数据，拟合出流量q与时间的关系，定性地描述事故所处横断面实际通行能力的变化过程，具体拟合图像及变化描述见模型1；模型2运用流体力学的知识，引入车流密度k及车流速度v，定量地求出事故所处横断面实际通行能力的变化关系式为公式（7）；模型3结合了模型1中的定性观点和模型2中的定量观点，建立了偏微分方程模型，得到与事故所处横断面实际通行能力相关的方程组为公式（14）。最后对模型1、2、3进行了分析总结。对于问题2，我们利用问题1中的模型2，构造了视频1、2中道路实际通行能力的差异函数，通过研究差异函数的变化来分析同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际

5、通行能力影响的差异，具体差异分析见问题2。同时运用方差分析的方法作拓展分析，一方面判断出事故所占车道不同这一因素对实际通行能力影响的确定性，即排除抽样误差这一偶然因素的影响，另一方面通过显著性检验得到事故所占车道不同的横断面实际通行能力存在显著性差异。对于问题3，我们建立了两个不同的模型。模型1利用车流波动理论中的集散波理论，推出了视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系方程组为公式（26）；模型2类比流体，应用交通流的思想，通过流量守恒原理，得到公式（27），结合题目具体变量，分析得到公式（28），将两式联列，得到排队长度与事故横

6、断面车流量、事故持续时间和上游车流量的关系模型，再通过格林希尔治速度密度模型，把事故横断面车流量转化为横断面的实际通行能力，便得到最终模型为公式（32）；同时结合视频1的具体情况，对模型2进行了一些改进，把车辆排队长度部分的车辆数分为两部分处理：边缘车道的行驶车辆数和事故所占车道的堵塞车辆数，把车辆排队长度定义为事故所占两个车道的车辆排队长度，而不是三个车道，这样与视频1中的实际情况更加接近，提高了模型的合理性和实用性，改进后的具体模型为公式（36）。对于问题4，用问题3中建立的模型逐一求解，求出模型中的具体参数值，进而估算出要求时间。使用问题3中模型1解出的时间为16.02min，问题3中模

7、型2解出的时间为16.00491min,改进后的模型2解出的时间为13.38761min。最后比较了各种方法求出的时间，并对从不同角度建立出模型的合理性作了一定评估。关键词：交通流理论 偏微分方程模型 差异函数 集散波理论一、问题重述车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通

8、管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。2. 根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。4. 假如视频1（附

9、件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。二、符号说明：车流量，即单位时间内通过事故所处横断面的车辆数，单位：辆/分：车流密度，即某时刻通过道路指定路段单位长度内的车辆数，单位：辆/米：车流速度，即某时刻通过事故所处横断面的车辆速度，单位：米/分：事故所处横断面的基本通行能力，在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过事故所处横断面的最大车辆数，单

10、位：辆/分：前后两车最小车头间隔，单位：米：司机刹车时的反应时间，单位：秒：刹车时司机在反应时间内汽车行驶的距离，单位：米：刹车时从制动器开始起作用到汽车完全行驶的距离，单位：米：与车辆自重、路面阻力、湿度、坡度等诸多因素有关的系数：两车之间的安全距离，单位：米：车辆的标准长度，以小型车辆的长度作为车辆的标准长度，单位：米：视频1中事故所处横断面的实际通行能力：车道折减系数：交叉口折减系数：车道宽度折减系数：驾驶员条件折减系数：视频2中事故所处横断面的实际通行能力：视频1的时间标号转化后的事故所处横断面的实际通行能力：车辆排队长度：上游车流速，单位：米/分：事故发生横断面处的车流速，单位：米/

11、分：集散波的传播速度，单位：米/分：单一车长加上车间距，单位：米：对应的车流密度，单位：辆/米：阻塞车流密度，单位：辆/米 ：初始时刻即刚发生车祸时（t=0）车祸横断面到上游路口之间的车辆数：t时刻上游路口的车流量，单位：辆/分：t时刻通过事故横断面的车流量，单位：辆/分：t时刻事故横断面和上游路口之间的车辆数：事故横断面和上游路口之间的阻塞密度，单位：辆/米：事故横断面和上游路口之间的最佳行驶密度，单位：辆/米：边缘通行车道的密度，单位：辆/米：事故横断面和上游路口之间的车辆排队长度，单位：米：事故横断面和上游路口之间的距离，单位：米三、模型假设1、假设车流量、车流密度关于时间和地点的函数、

12、都连续可微。2、假设在集散波模型中不同的车流均为匀速运动。3、假设两小区进出发生事故道路的车辆也算入上游车流。4、假设在事故发生道路不存在超车现象。四、问题分析、模型建立与求解4.1问题14.1.1问题1的分析问题1要求根据视频1，描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。该问题可以从以下三个角度考虑：因为事故所处横断面实际通行能力总是与流量q有关，流量q的变化过程一定程度上能反映事故所处横断面实际通行能力的变化过程，所以可以先找出流量q与时间t的关系，由此来定性地描述事故所处横断面实际通行能力的变化过程；运用流体力学的知识，引入车流密度k及车流速度v，可以定量地

13、求出事故所处横断面实际通行能力的变化过程；由于车流量、车流密度都是关于时间和地点的函数、，还可以建立偏微分方程模型，描述事故所处横断面的流量q及密度k的变化过程，进而描述和分析事故所处横断面实际通行能力的变化过程。4.1.2模型的建立与求解4.1.2.1模型1因为事故所处横断面实际通行能力总是与流量q有关，流量q的变化过程一定程度上能反映事故所处横断面实际通行能力的变化过程，所以可以找出流量q与时间的关系，由此来定性地描述事故所处横断面实际通行能力的变化过程。通过观察附件1的视频，统计出如下表一：表一 不同时刻标号的流量q时刻标号起始时刻终始时刻流量q（辆/min）116:42:4016:43

14、:4029216:43:4016:44:4023316:44:4016:45:4019416:45:4016:46:4022516:46:4016:47:4021616:47:4016:48:4024716:48:4016:49:4023916:50:4016:51:40211016:51:4016:52:40231116:52:4016:53:40201216:53:4016:54:40191316:54:4016:55:402313.516:55:1016:56:1024注：标准车当量数的换算统计数据时只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，并将小型车辆作为标准车，其它类型车辆与它的换算

15、关系如下表二：表二 交通部规定车种换算系数车种换算系数电瓶车、摩托车0.5小汽车、小客车1大客车、卡车2流量q的统计从视频中交通事故发生时刻开始，每隔60s作一次通过事故所处横截面车辆数的统计，分别标号为时刻1、2、。作出流量q随时间变化的散点图，通过观察散点图，决定采用关于时间的四项式进行拟合，拟合后的曲线如下图一：图一 流量q随时间t变化的关系图拟合后的关系式为（1）在excel中可以求得，比较接近1，表明拟合的程度较好。观察图一可以发现，事故刚发生时，车流量的变化率下降的很快，表明此时实际通行能力马上下降；当时刻标号为34和1213时，车流量出现极小值，表明实际通行能力下降到最小，此时道

16、路最堵；当时刻标号为34和79时，车流量出现极大值，表明此时间段内实际通行能力提升了，这可能是由于此时通过的车辆比较少造成的，通过观察视频1中16:48:40-16:51:40时间段，确实发现通过的车辆相对较少。4.1.2.2模型2模型1只是通过计算出流量q随时间t的变化关系，定性地分析了事故所处横断面实际通行能力的变化过程。运用流体力学的知识，引入车流密度k及车流速度v，可以定量地求出事故所处横断面实际通行能力的变化过程。类比流体力学，根据物理学知识，流量q、速度v、密度k满足 （2）事故所处横断面的基本通行能力是指，在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车

17、头间隔连续行驶时，单位时间内通过事故所处横断面的最大车辆数。记前后两车最小车头间隔为d，显然 （3）最小车头间隔主要由刹车距离决定，而刹车距离又与车速密切相关，交通工程中常用如下公式计算最小车头间隔d （4）其中是刹车时司机在反应时间内汽车行驶的距离，是刹车时从制动器开始起作用到汽车完全行驶的距离（制动距离），是与车辆自重、路面阻力、湿度、坡度等诸多因素有关的系数，是两车之间的安全距离，是车辆的标准长度。联列式，可得 （5）由于考虑到道路实际的交通状况，需要加入一些折减系数，可以得到事故所处横断面的实际通行能力， （6）考虑车道折减系数，自中心线起第一条车道的折减系数为1，第二条车道的折减系数

18、为0.800.89，第三条为0.650.78，第四条为0.500.65，第五条以上为0.400.52，第一问中车道位于第三条车道，因此取0.71。对于交叉口折减系数，它与速度和交叉口之间距离的关系见附录一，由此可以粗略地估算其值为1.0。考虑车道宽度折减系数，它与车道宽度之间的关系见附录二，问题中的车道宽度为3.25米，由此可得为0.94。对于驾驶员条件折减系数，范围为1.0与0.9之间，这里我们取其值为1.0。于是可得 （7）因此只要求出速度随时间t的变化关系，代入上面的（6）式，就可以得到事故所处横断面实际通行能力的变化过程关系式。通过观察视频1，统计出如下表三：表三 不同时刻的实际通行能

19、力时刻编号起始时间终止时间流量q（辆/min）密度k(辆/m)实际通行能力n1（辆/min）116:42:4016:43:40290.05833333320.77310641216:43:4016:44:40230.0520.12554447316:44:4016:45:40190.09166666713.08259238416:45:4016:46:40220.05833333318.39840086516:46:4016:47:40210.04166666720.8852573616:47:4016:48:40240.062518.55822037716:48:4016:49:40230.

20、05416666719.43978179916:50:4016:51:40210.08333333314.78365741016:51:4016:52:40230.112512.965845111116:52:4016:53:40200.10416666712.43795621216:53:4016:54:40190.12916666710.321205681316:54:4016:55:40230.10833333313.2875615913.516:55:1016:56:10240.12916666712.16630908注： 密度k的统计统计在时刻1、2、下从视频中交通事故发生的地点到上

21、游路口的车辆数，再除以其间的距离240m。参考交通工程的专业教材，在一般情况下可取司机刹车的反应时间=1s，系数，安全距离，小型车辆的标准长度。根据表三作出实际通行能力随时间变化的散点图，通过观察散点图，决定采用关于时间的四项式进行拟合，拟合后的曲线如下图二：图二 实际通行能力的变化过程拟合后的关系式为 （8）在excel中可以求得，比较接近1，表明拟合的程度较好。观察图二可以发现，事故从发生到撤离时所处横断面实际通行能力总体上是先下降再上升的，当时刻标号为12时，实际通行能力最小，表明该时刻道路处于最拥挤的状态。4.1.2.3模型3仔细分析发现，模型2存在如下的一些缺点： 虽然（2）式在任何

22、时刻和任何地点都成立，但是在模型的求解中，流量q是每隔60s作一次统计，密度k从视频中交通事故发生的地点到上游路口的车流密度的平均值，用此来描述实际通行能力显然不够准确。 流量q和密度k都是时间和距离的函数，在考虑事故所处横截面的实际通行能力时，也必然要考虑到该路段上不同地点对它们的影响，而上述模型中只是在事故所处横断面该处考虑的。鉴于上面的一些缺点，我们建立如下的偏微分方程模型。将发生事故的该路段记为x轴，x轴正向为上游车流指向下游车流的方向。由于车流量、车流密度都是关于时间和地点的函数、，假设它们都是连续可微的。 根据车辆数守恒，有 （9）因为假设函数是连续可微的，有 （10）由于安全上的

23、原因，是的函数，并且两者之间满足如下的定性关系：当k的值较小时，路段利用率较低，q较小（k=0时路段是空置的，车流量q为零）；随着k的增大，路段利用率逐渐提高，q逐渐增大。当k增大到一定程度（达到）时，q达到最大；k继续增大时，车流量q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车流量，使之下降，即出现堵塞排队现象。通过观察视频1可以统计出流量q和密度k对应的变化数据如下表四：表四 流量q和密度k对应的变化数据k(pcu/m)0.0583330.050.0916670.0416670.0625q(pcu/min)29231921240.054166670.0833330.11250.1041670.1

24、083330.129167232123202324利用matlab作图，可以得到视频1事故发生路段流量q与密度k的关系图如下图三：图三 视频1事故发生路段流量q与密度k的关系图观察图像可以发现，对于视频1的事故发生路段而言，流量q与密度k的关系并不是简单的之前描述的关系，即随着密度k的增加，流量q是先增大后减小的。但是它是以一定长度密度段为间隔的周期性地表现之前描述的关系的。对于每一个密度段而言，之前描述的关系是成立的，现在对每一个密度段的这种关系进行讨论。可以用二次函数来拟合每一个密度段q和k的关系，令 （11）其中a、b为常数。将上式带入式（10），可得 （12）令，可将上式化简为 （13

25、）于是可以建立如下方程组来描述事故所处横断面的流量q及密度k的变化过程 （14）式（14）可以描述视频1中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面的流量q随密度k的变化过程，通过此过程并结合模型2中求出的实际通行能力的公式可以得到实际通行能力的变化过程。视频1中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面的实际通行能力的变化过程可定性描述如下：随着时间的推移，由于上游车道过来的车辆的影响，使得事故发生车道的车流密度发生不同的变化。车流密度的变化会导致该车道实际通行能力的变化。不同区间车流密度的变化趋势基本一致，即在该区间内随着车流密度的增大，实际通行能力是先增大后减小的。对于不同区间的车流密度，实际通

26、行能力的峰值也各有差异。描述实际通行能力具体变化过程的微分方程为式（14）。4.1.3模型1、2、3的分析总结通过模型2，可以求出不同车流q所对应的道路实际通行能力具体数值见上述表三。对道路实际通行能力值和车流流量值作相关性分析，利用求出的正负相关系数判断道路实际通行能力值与车流流量值的相关性。车流系统可以看成是一个灰色系统，利用灰色系统中的灰色分析方法，可以求得道路实际通行能力值和车流流量值的正负相关系数。实际通行能力值序列可以记为，车流流量序列可以记为，由于两序列的单位相同，所以不需要进行无纲化处理。由 （15）（其中代表第i种序列，代表该序列的相关系数值）可以求得实际通行能力值序列与车流

27、流量值序列的正负相关系数和，当时，两者正关联，当时，两者负关联。于是通过 和的正负情况就可以判断实际通行能力值与车流流量的正负相关性。通过matlab编程，可以求得道路实际通行能力值和车流流量值的正负相关系数分别为-35和 -134.371具体求解程序见附录五。由于两者的符号相同，所以道路实际通行能力值和车流流量值是正相关的，即车流流量变大，道路实际通行能力也会随着变大。这样就可以说明模型1用流量q随时间变化来定性描述道路实际通行能力值的合理性，同时也说明了模型3最后描述语言中第点的合理性。4.2问题24.2.1问题2的分析问题2要求根据问题1所得结论，结合视频2，分析说明同一横断面交通事故所

28、占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。可以根据问题1求出视频1、2中事故所处横断面实际通行能力随时间变化的拟合函数，求出两者的差异函数，通过研究差异函数随时间变化的规律，可以分析同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。此外还可以通过方差分析对模型作拓展，定性地判断视频1、2中事故所处横断面实际通行能力存在显著性差异，从而说明差异函数变化过程的合理性。4.2.2模型的建立与求解通过观察视频2，统计出如下表五：表五 视频2不同时刻实际通行能力时刻标号起始时间终止时间流量q(辆/min)密度k(辆/m)实际通行能力n2（辆/min）117:34:0017:35:0016

29、0.02705421.44425188217:35:0017:36:00280.03124329.272653317:36:0017:37:00220.03543126.83435644417:37:0017:38:0027.50.0396226.64566929517:38:0017:39:00230.04380827.85615812617:39:0017:40:00230.04799626.46729626717:40:0017:41:00260.05218530.24983071817:41:0017:42:00220.05637322.38842872917:42:0017:43:0

30、026.50.06056124.74774621017:43:0017:44:0023.50.0647528.601125721117:44:0017:45:0018.50.06893829.823708921217:45:0017:46:0023.50.07312622.23657611317:46:0017:47:0022.50.07731530.196311721417:47:0017:48:0021.50.08150322.444241071517:48:0017:49:00250.08569228.385598141617:49:0017:50:00240.0898820.74427

31、4681717:50:0017:51:0025.50.09406823.592966251817:51:0017:52:0023.50.09825721.620861621917:52:0017:53:0025.50.10244518.642357172017:53:0017:54:0026.50.10663323.140657952117:54:0017:55:0024.50.11082221.001942832217:55:0017:56:0026.50.1150119.536434042317:56:0017:57:0028.50.11919824.681955332417:57:001

32、7:58:00230.12338717.022430632517:58:0017:59:00200.12757515.445002282617:59:0018:00:00200.13176413.953701012718:00:0018:01:00230.13595214.5443512818:01:0018:02:00220.1401418.651802952918:02:0018:03:00220.14432913.048484053018:03:0018:04:00420.14851722.50299242利用问题1中建立的模型2，同样可以拟合出视频2中事故所处横断面实际通行能力的变化关

33、系式如下 （16）通过matlab可以作出视频1、2中事故所处横断面实际通行能力的变化过程对比图如下图四：图四 视频1、2中事故所处横断面实际通行能力的变化过程对比图由于视频1中事故持续的时间比视频2要短，为了方便分析和比较视频1、2中横截面实际通行能力的差异，以视频2中的时间作为标度，视频1中的时刻全部转化为视频2中时间标度下的时刻。设视频2的所有时间标号的数目记为，视频2的所有时间标号的数目记为，视频1某一时间标号在视频2中时间标度的时刻标号为 （17）转化后视频1的时间标度及对应的实际通行能力如下表六：表六 转化后视频一的时间标度及对应的实际通行能力时刻标号2.22 4.44 6.67

34、8.89 11.11 13.33 实际通行能力20.77 20.13 13.08 18.40 20.89 18.56 15.56 20.00 22.22 24.44 26.67 28.89 30.00 19.44 14.78 12.97 12.44 10.32 13.29 12.17 根据表六，利用问题1中模型2的方法，可以求出视频1的时间标号转化后的事故所处横断面实际通行能力的拟合关系式 （18）通过matlab可以作出统一时间标度下视频1、2中事故所处横断面实际通行能力的变化过程对比图如下图五：图五 统一时间标度下视频1、2中事故所处横断面实际通行能力的变化过程对比图定义不同车道事故所处横

35、截面处实际通行能力差异函数，由此可得到差异函数的表达式为 （19）某一时刻的差异函数值在一定程度上能反应两视频中交通事故所占车道横断面处实际通行能力的差异大小。通过matlab做出差异函数的图像如下图六：图六 差异函数随时间变化的图像从图像中可以看出，随着时间的积累，视频2中交通事故所占车道横断面处实际通行能力与视频1的差距越来越大，并且视频2的实际通行能力始终大于视频1的实际通行能力。分析附件三可知，发生事故车道的右转车道流量比例为21%，直行车道流量比例为44%，左转流量比例为35%，由于视频2中的事故是发生在右转和直行车道的，视频1中的事故发生在直行和左转车道，由于左转车道的流量比例大于

36、右转车道的流量比例，所以视频2中的实际通行能力大于视频1，并且随着时间的积累差距越来越大。4.2.3模型的拓展利用方差分析，可以定性地判断视频1、2中事故所处横断面实际通行能力存在显著性差异。运用spss软件对视频1和视频2中的实际通行量进行方差分析，实际通行量的差异由研究因素即横截面车道的不同和抽样误差造成。表七 方差齐次性检验统计表从方差齐次性检验结果（见表七）中，可以看出p0.05，说明两个变量之间的方差没有显著性差异，满足方差分析的条件即方差具有齐次性。表八 描述统计量表格根据描述统计量表格（表八），的均值为15.9，的均值为22.9，很明显，。表九 方差分析表从方差分析表（见表九）中

37、，我们可以得到组间的均方明显大于组内的均方，这说明处理因素即两个视频中横截面的不同车道确实对实际通行能力存在一定的影响，我们所得实际通行能力的不同并非是由抽样误差所导致的。f的值为19.686，对应的概率为0，所以与存在显著性差异。4.3问题34.3.1问题3的分析问题3要求分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。该问题可以从以下两个角度考虑：利用车流波动理论中的集散波理论，建立车辆排队长度与集散波波速的关系，进而推出车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系式；因为车辆排队长度、实际通行能力、

38、路段上游车流量都是和事故持续时间相关的量，所以只需要得到用实际通行能力和上游车流量表示的排队长度的关系式。道路上的车辆持续行驶，与流动的液体具有类似的性质，于是，可以引入交通流的概念，利用流体中的基本原理来解决车流问题，同时还对模型2作了改进。4.3.2模型的建立与求解4.3.2.1模型1在车流波动理论中，当某一路段出现交通事故时，该路段下游车道的实际通行能力将会下降，而上游车道的实际通行能力保持不变，必然会导致车辆排队现象。将该路段车辆排队长度用车流波动理论解释，于是车辆排队长度的变化可以用集散波的传播来表示（如下图七）。车辆排队长度图七 车辆排队长度变化的集散波模型其中表示上游车流速，表示

39、事故发生横断面处的车流速，表示集散波的传播速度。假设不同的车流均为匀速运动，那么该路段的车辆排队长度等于集散波的传播距离减去事故发生截面处通过的车辆总长度（包括车间间距），即 （20）其中表示单一车长加上车间距。由格林希尔治速度密度模型可知，直行车道的车流速度满足如下关系： （21）其中表示对应的车流密度，表示阻塞车流密度，表示自由车流速度。可以把上游车流速近似认为自由车流速度，即认为。阻塞车流密度等于单一车长加上车间距的倒数的3倍，即。由波速公式可知， （22）令，将称为标准化密度。所以，由公式（2），（22）式可以化为 （23）现假定事故横断面不能通车，即，车流的标准化密度，以区间平均速度

40、行驶，在排队队尾处暂停，此时，根据式（23），推导出集散波的传播速度为 （24）集散波会向上游方向传播，将形成一段长度为的排队队列。实际上，所以（20）式最终可以化为 （25）由，根据（25）式可以推出事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系式为 （26）其中路段车辆排队长度为，事故横断面实际通行能力为，事故持续时间为t, 路段上游车流量为。4.3.2.2模型2根据交通流思想，把道路上行驶的车辆看作流体。对于单入口单出口的道路（假设不考虑超车情况），根据流量守恒原理： （27）其中为初始时刻即刚发生车祸时（t=0）事故横断面到上游路口之间的车辆

41、数；为t时刻上游路口的车辆数，即路段上游车流量，则为初始时刻到t时刻的车辆总数；为t时刻通过事故横断面的车流量，则为初始时刻到t时刻的车辆总数；为t时刻事故横断面和上游路口之间的车辆数。由于事故横断面和上游路口之间的车辆数等于堵塞的车辆加上正在行驶的车辆数，即 （28）其中为堵塞的车辆数，为正在行驶的车辆数。联立（27）、（28）两式，可得车道路段车辆排队长度模型 （29）由格林希尔治速度密度模型 （30）其中表示对应的车流密度，表示阻塞车流密度，表示自由车流速度。根据道路相关规定，如视频1中的公路的为80km/h。把上式和式（2）联立，得 （31）联立（7）、（29）、（31）式，可以得到排

42、队长度模型为 （32）4.3.2.3模型2的改进实际情况下（如视频1中所示），发生事故时，只有一条车道即最边缘的车道在通车，其他两个堵塞的车道无法通车，这样模型2只是理想的情况，不再适合实际情况。现在作如下设定：只有最边缘的车道可以通车。车辆排队长度就是无法通车的两个车道的排队长度，如下图八所示，那么阻塞密度则变为2/3，边缘通行车道的密度为。图八 视频1中的车辆排队模型示意图根据流量守恒原理，得到 （33）t时刻事故横断面和上游路口之间的车辆数为 （34）从而得到 （35）那么，改进后的排队长度模型为 （36）4.4问题44.4.1问题4的分析问题4要求在给定条件下，估算出从事故发生开始车辆

43、排队长度到达上游路口所经过的时间。该问题可以在问题3的基础上得到解决。由于问题3从两个角度建立了视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系式，问题4只要求出相应的参数并代入就能估算出要求的时间。可以比较两种方法求出的时间，并对从两个不同角度建立出模型的合理性作一定评估。4.4.2模型的建立与求解4.4.2.1利用问题3中的模型1解决由问题3中的（26）式，要求车辆排队长度到达上游路口所需的时间t，必须首先求出事故发生截面处的车流速、上游车流量、阻塞车流密度、单一车长加上车间距和车辆排队长度。由问题1整理出的表三可得到表十： 表十 时刻

44、编号起始时间终止时间流量q（辆/min）密度k(辆/m)事故发生截面处的车流速（m/min）116:42:4016:43:40290.0583333338.285714216:43:4016:44:40230.057.666667316:44:4016:45:40190.0916666673.45416:45:4016:46:40220.0583333336.285714516:46:4016:47:40210.0416666678.4616:47:4016:48:40240.06256.4716:48:4016:49:40230.0541666677.076923916:50:4016:51

45、:40210.0833333334.21016:51:4016:52:40230.11253.4074071116:52:4016:53:40200.1041666673.21216:53:4016:54:40190.1291666672.4516131316:54:4016:55:40230.1083333333.53846213.516:55:1016:56:10240.1291666673.096774采用多项式拟合与t，可得出下图九：图九 与t的关系图在excel中可以求得,比较接近1，说明拟合程度良好，即可以得到（37）题中给出的上游车流量=1500pcu/h，统一单位得=25pcu

46、/min。查阅交通工程的相关资料可以知道，小型车辆的标准长度为5m，车间安全距离为2m，于是单一车长加上车间距=7m，阻塞车流密度= 。题中给出的车辆排队长度=140m。将上述数据代入（26）式可得到下面的一元方程 （38）用matlab求解方程具体代码见附录可得t=16.02min。即可以认为从事故发生开始，车辆排队长度到达上游路口，所需时间为16.02分钟。4.4.2.2利用问题3中的模型2解决由于该事故路段有三个车道，当发生堵车时，设定前后两辆标准车之间的距离为2m，车长为5m，三个车道全部停满车辆。如下图十所示：图十 问题3中模型2各车道车辆分布模型图由题，为25pcu/min，为14

47、0m，为140m，由视频1可以看出为11辆，为0.06辆/m，为3/7辆/m，把这些数据带入（29）式得到如下方程式+49=25t （39）将问题1的模型1中的公式（1）的q代入，通过lingo求解可得t=16.00491min，即从事故发生开始，经过16.00491分钟车队长度到达上游路口。4.4.2.3利用问题3中模型2的改进模型解决由题，为25pcu/min，为140m，为140m，由视频1可以看出为11辆，为0.06辆/m，为3/7辆/m，把这些数据带入式（35），得：25t=+29+140 （40）从视频1中得到一组的值如下表十一：表十一 随时间的变化关系起始终始相对时间单车道小车单

48、车道大车单车道标准车密度16:42:4016:43:4012270.05833316:43:4016:44:4025160.0516:44:4016:45:4033050.04166716:45:4016:46:4045050.04166716:46:4016:47:4054050.04166716:47:4016:48:4063140.03333316:48:4016:49:4074040.03333316:50:4016:51:4098060.0516:51:4016:52:40104060.0516:52:4016:53:40114270.05833316:53:4016:54:4012

49、4160.0516:54:4016:55:40135050.04166716:55:1016:56:1013.54140.033333作出和t的函数图象，并进行函数拟合，得到的表达式为 （41）由问题1中模型1得到，将和的表达式代入入式（41），通过lingo求解得到t=13.38761min，即从事故发生到13.3876分钟车队长度到达上游路口。4.4.3三种计算方法的分析与比较问题3中的模型1利用车流波动理论中的集散波理论，推出了路段车辆排队长度关系式，问题3中的模型2引入了交通流的概念，利用流体中的基本原理来得到路段车辆排队长度关系式，两种方法求出的估计结果基本一致，但都是发生在理想条件下的。问题2中模型2的改进模型考虑了实际情况的问题。实际情况下（如视频1中所示），只有发生车祸的两个车道车辆堵塞，而最边缘的车道始