层次分析法例题

1、某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对 3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次 结构如下图所示。以a表示系统的总目标，判断层中bi表示功能，b2表示价格,b3表示可维护性。ci, c2, c3表示备选的3种品牌的设备目标层判断层i=r方案层购买设备a图设备采购层次结构图解题步骤：1、标度及描述人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重 要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相 邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。为了便于将比

2、较判断定量化，引入19比率标度方法，规定用1、3、5、 7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较 强重要、强烈重要、绝对重要，而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的折 衷值。标度定义（比较因素i与j）1因素i与j同样重要3因素i与j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2、 4、 6、 8两个相邻判断因素的中间值倒数因素i与j比较得判断矩阵a ij,则因素j与i相比的判断为aji=1/aj注：a。表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：aij=1/aji ； aii=1 ; i, j=1 , 2,，n显然，比值越大，则要素i

3、的重要度就越高。2、构建判断矩阵a判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：例断失!阵a-b （即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较）如表1所示；呼j断矢!阵bi -c （相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；w断矢!阵b2 -c （相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示；w断矢!阵b3-c （相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所 示。表1判断矩阵a-babib2b3bi11/32b2315b31/21/51表2判断矩阵bi-cbicic2c3ci1l/31/5c2311/3c3

4、531表3判断矩阵b2-cb2cic2c3c1127c21/215c31/71/51表4判断矩阵b3-cb3cic2c3c113l/7c2l/311/9c37913、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标一般来讲，在ahp法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。求和法1）将判断矩阵a按列归一化（即列元素之和为1） : bj= aj /羽j；2）将归一化的矩阵按行求和：ci= ibj （i=1, 2, 3：n）；3）将ci归一化：得到特征向量 w= （w1, w2,wn ） t, wi=ci /力，w即为a的特征向量的近似值；

5、4）求特征向量w对应的最大特征值：, 1 （/何）尤孙二一）:（）打i 叱求根法1）计算判断矩阵a每行元素乘积的n次方根；w = 礼 aj（i =1,2,，n） wi2）将wi归一化，得到wi = 丁二；w= （w1, w2,wn ） t即为a的、wii 1特征向量的近似值;3)求特征向量w对应的最大特征值:(1)判断矩阵a b的特征根、特征向量与一致性检验 计算矩阵a- b的特征向量。计算判断矩阵a - b各行元素的乘积mi ,并求其n次方根，如12m1 =1x-x2=-, 皿=师=0.874 , 类似地有，w =vm2 =2.466 , 33戚=3：m7=0.464。对向量w=w1, w2

6、,，wnt规范化，有wi = 0.2300.87410,874 2.466 0.464- w i 4类似地有w2 =0.684 , w3 =0,122。所求得的特征向量即为:w =0.230, 0,648, 0.122t计算矩阵a-b的特征根aw 二11/3 2315 0.230, 0,648, 0.122tj/2 1/5 11aw1 =1 0.2300.648 2 0.122 = 0.693类似地可以得到aw? =1,948,人地=0.3666。按照公式计算判断矩阵最大特征根：j (aw)i 0.691.9480.3666max = = 3.004id nw3 0.230 3 0.648 3

7、 0.122一致性检验。实际评价中评价者只能对a进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断ci比c2重要，c2比c3较重要，那么，ci应该比c3更重要。如果又判断ci比c3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行 一致性检验。根据层次法原理，利用a的理论最大特征值lax与n之差检验一致性。致性指标：精品资料计算 ci =5匚n= 3.004 .3= 0.002 0 1n -13 -1般认为 ci0.1、cr0.1 时,cicr = =0.003 0.1 杳同阶平均ri随机一致性指标（表5所示）知ri = 0.58 ,（判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较） 表5平均随

8、机一致性指标阶数34567891011121314ri0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58（2）判断矩阵b1 -c的特征根、特征向量与一致性检验类似于第（1）步的计算过程，可以得到矩阵b1-c的特征根、特征向量与 一致性检验如下：w =0.105, 0.258, 0.637t , =3.039, cr = 0.0330.1（3）判断矩阵b2-c的特征根、特征向量与一致性检验类似于第 步的计算过程，可以得到矩阵刀：一c的特征根、特征向量 与一致性检验如下：w =0.592, 0.333, 0.075t ,人max =3.014 , cr

9、 = 0.012 0.1（4）判断矩阵b3-c的特征根、特征向量与一致性检验类似于第（1）步的计算过程，可以得到矩阵b3 的特征根、特征向量与一 致性检验如下：w =0.149, 0.066, 0.785t , ?、max=3.08, cr =0.069 0.149=0.426方 案 c2 的 重 要 度 （权 重）=0.230 x0.258+0.648 x0.333+0.122 0.066=0.283方案 c3 的重要度（权重）=0.230 0.637+0.648 0. 075+0.122 0.785=0.291依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。 层次总排 序如表6所不。表6层次总排序层次层次b1b2b3层次c总排序权重0.2300.6480.122c10.1050.5920.14