平面向量知识点总结及练习

1、向量有关概念平面向量1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示， 注意不能说向量就是有向线段 ，为什么（向量可以平移）。uuur如:已知A（ 1,2 ）, B（4,2 ）,则把向量AB按向量a = （- 1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0 ,注意零向量的方向是任意的；uuuuuu3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是AU ）;|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零

2、向量 a、b叫做平行向量，记作：a / b ,规定零向量和任何向量平行 。提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等; 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有0）；uuu uur 三点A B、C共线 AB AC共线；两个向量平行包含两个向量共线，但两条6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a 。如：下列命题：（1）若ab，贝U a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相uuu uur同。（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则uuu mi

3、urAB DC。( 5 )若a b, b c，贝U ac。（6）若a/b,b/c，贝U a/c。其中正确的是(答: (4) ( 5)二.向量的表示方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后;符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c 等;坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底,则平面内的任一向量a可表示为a xi yjx, y，称x, y为向量a的坐标,a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理 ：如果e1和e2是同一平

4、面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2，使a=占计 2e2。如(1)若 a (1,1)b(1, 1),c ( 1,2)，则 c（答：疥|b）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是uu（1,2）,e2irurA. e (0,0), e2(1, 2)B.ure1(5,7)iruuC. e(3,5),e2(6,10)D.ui(2, 3),q13(2, N)uuiT uuu(3)已知AD, BE分别是ABCuuir的边BC,AC上的中线，且ADr uuua, BE（答：B）；r uuurb,则BC可用向量a,I表示为2 r 4 r(答: -a -b);3

5、3（4）已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB , CDr ABsAC，贝U r s的值是（答：0）四.实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下:a, 20时，a的方向与a的方向相同，当 0，且a、b不同向，a b 0是 为锐角的必要非充分条件为钝角时，a ? b v 0,且b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充分条件 ；围是非零向量a , b夹角(1)已知 a ( ,2 ),的计算公式：cosa ?br r r rrr : |a?b| |a|b|。如 abb (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是(答:1 3(2)已知 OFQ的面

6、积为S，且OF FQ 1，若 S ，则OF , FQ夹角 的取值范2 2(答：(冇);a kb，其中 k 0,(3)已知 a (cosx,sinx),b (cos y,siny), a 与 b 之间有关系式 ka用k表示a b ；求a b的最小值，并求此时 a与b的夹角 的大小T T k2 11(答：a b - 1(k 0);最小值为，60)4k2六.向量的运算：;(AB CD)(AC BD)1 几何运算：TTUUUUUUUUUTabABBCAC;向量的减法：用“三角形法则”UUU :设ABT UUUTa, ACb,那么a bUUUABUUUTACUULCa，由减向量向量加法：利用“平行四边形

7、法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如UUU T UUU TUULTT T此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB a,BC b，那么向量AC叫做a与b的和，即的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。.一 UUU UUU UUUUUU UULT如: (1 )化简： AB BC CD : AB ADUULT(答：ADUUCT: CB : 0 )；UUU T UUT(2)若正方形ABCD的边长为1，AB a, BCT UUUT T b, AC c，(答: 2 2 )；UULT(3)若O是VABC所在平面内一点，且满足 OBUULT UUUOC OBU

8、UUTUUUOC 2OA，贝y VABC的形状(4)若D为 ABC的边BC的中点，UULABC所在平面内有一点 P，满足PAUUU UUUBP CPT0，UUU 设 LAP |PD|，则的值为(答：2)；(5)UUT若点O是厶ABC的外心，且 OAUUU OBULUT TCO 0，贝U ABC的内角C为(答：120o)；为(答：直角三角形)向量的加减法运算：a(2坐标运算：设a (为，),匕(x2, y2)如:(1)已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若，则:yi y2)。uu uuuUULTAP AB AC( R)，则当 = 时，点P在第、三象限的角平分线上(答:1 u

9、uu(2)已知 A(2,3), B(1,4),且 AB (sin x,cosy),x,y ( 2,2)，则 x y(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力F,uu(3,4), F2(答：或6uuir uuuu(2, 5),F3 (3,1),则合力 FF1F2；2uuF3的终点坐标是(答:(9,1 )实数与向量的积：aXi，%xi, yi若 A(X1, %), B(X2, y2)，则uuuABX2Xi,y2% ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。luur设 A(2,3), B( 1,5)，且 AC如1 uuu AB , 3ULLTADuuu3AB ,则C、D的坐标

10、分别是11(答：(1,),( 7,9)；平面向量数量积：a?b已知向量a =( sinx,cosx ) , b =( sinx ,sinx ) , c =( 1, 0 )。(1)若x=,求向量a、3C的夹角；(2 )若X 3,，函数 f (x)84- 1a b的最大值为，求21(答：(1)150;(2)或 2 1 )；2的值向量的模：|：| .X2 y2,a2 |：|2 x2已知a, b均为单位向量，它们的夹角为60,那么uu|a3b | =(答: 13 )；两点间的距离：若A x1, y1 , B x2, y2I AB|2X2X1y2丫1。如如图，在平面斜坐标系xOy 中,xOy标系的斜坐标

11、是这样定义的:uuu 若OPuxq，则轴同方向的单位向量，贝UP点斜坐标为(x, y)。(1)若点P的斜坐标为(2, 2),求P到O的距离|P0|； （2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程。(答：(1) 2 ； (2) x2 y2 xy 1 0 )；七向量的运算律:rrrrrr r r r r1交换律：abba ,aa , a?b b?a ；2 .结合律：rrrr rr r rr r r rrrr r rrabca bc, a bc a b c ,a?ba?b a?b ；rrrrrrrrrrrr r r3 .分配律：aaa, aba b, ab?ca?c b?c。如下列命题

12、中:a(b c)a ba c : a (b c)(ab)c:(a b)2|a|2b|2rrrrr ry ；2 ；2|a| |b|I:若a b0,则a 0或b 0;若abcb,则 a c ； abbrr 2 2 rr 2r rr2-T2 匸：(ab)a b :(ab)a2a bb。其中正确的是 （答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2 ）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b?c) (a?b)c，为什么八向

13、量平行（共线）的充要条件：a/b ab (a b)2(|a|b|)2xyy1X2 = 0。如（1）若向量a(x,1),b(4, x)，当 x时a与b共线且方向相同(答:2)；（2）已知a(1,1),b (4,x) , u a2b , v 2a b，且 u/v，贝y x=(答:4)；um(3)设 PAuuuuuu(k,12),PB(4,5), PC(10, k)，则时，A,B,C共线（答：2或11)九.向量垂直的充要条件：1 a b I I a b I为X2yy 0 .特别地uju(ABuuuABuuuruuur )( ACujjABjjjjABuuurAC ) uuur )。ACuuuOAuu

14、u OB ,umuuu(1)已知 OA ( 1,2),OB (3,m)，若3(答：3 )；2(2) 以原点0和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB B 90，则点B的坐标是(答：(1,3)或(3，- 1);rr ur ritir(3) 已知n (a,b),向量n m，且n m，贝U m的坐标是(答：(b, a)或(b,a)十线段的定比分点：1. 定比分点的概念：设点P是直线P1 P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使uuuuuiruuumuRPPF2，贝y叫做点P分有向线段RP2所成的比，P点叫做有向线段 RP2的以定比为 的定比分点；2. 的符号与分点P的位置之间的关系

15、：当P点在线段P 1P2上时 0;当P点在线段P1P2uuur的延长线上时1；当p点在线段卩2匕的延长线上时1 o ；若点p分有向线段rp2uuur1所成的比为 ，则点P分有向线段F2P所成的比为-。如uuu3uuu若点P分AB所成的比为一，则A分BP所成的比为 4(答：-)3luiu3线段的定比分点公式：设只(为$)、P2(x2, y2) , P(x,y)分有向线段RP2所成的比为，X2，特别地，当y2=1时，就得到线段Pf?的中点公式x-1x22y1y2 o在使用定比分2点的坐标公式时，应明确(x,y),(为$)、(X22)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件

16、，灵活地确定起点,(1)若 M(-3 , -2 ), N (6, -1 )，且分点和终点，并根据这些点确定对应的定比1 一MP - MN,则点P的坐标为3(答:6,勺);(2)已知 A(a,0), B(3,2 a),直线 y1 urur-ax与线段AB交于M，且AM2iuir2MB，则a等于(答：2或4)十一平移公式 ：如果点 P(x, y)按向量a h,k平移至P(x, y )，贝U x x h ；曲线y y kf (x, y) 0按向量a h,k平移得曲线f(x h, y k) 0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系 (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 如(1)按

17、向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，则按向量a把点(7,2)平移到点 (2)函数y sin2x的图象按向量 a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1，贝U a =(答：(一1)412、向量中一些常用的结论 ：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2) | a | b | |a b | |a |b|，特别地，当 a、b 同向或有 0|； b | |a | |b |a | |b| |a b| ;当 a b 反向或有 0I； b| |；| |b|rr r rr r|a| |b| |a b| ;当 a b 不共线|a |b| |a b| |a|b|(这些和实数比较类

18、似).(3 )在 ABC 中，若 A x1, y1 , B x2, y2 , C x3, y3则其重心的坐标为Xi X2 X3 % y2 y3。如3，3若ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3 , 4)、(-1 , -1 ),则ABC的重心的坐标为UJUTUUl UUl UUU PG *(PA PB PC) G 为3uur innABC的重心，特别地 PA PBuuffpc; c|7 B )4- 3 / 2一 3 为 : P的重心;UUl uuu uuu uuu PA PB PB PCUULT ULH PC PAP为ABC的垂心;UUU向量|AB|UUUr -UUt)( |AC|0)所在

19、直线过 ABC的内心(是 BAC的角平分线所在直线)；UUU UUT UUU UUU UUU UUU r | AB | PC | BC | PA |CA| PB 0P ABC 的内心；uuuuUju uuju(3)若P分有向线段RP2所成的比为，点M为平面内的任一点，贝U MP MP1，特另q1 UULU UUUU地P为P1P2的中点MP MP1 MP2 ；JJJ JJJ JJJJJJUJJJ(4)向量PA、PB、PC中三终点 A、B、C共线存在实数 、使得PA PBPC且1.如(A) 1(B) 2(C) 3(D) 43 若a与b的方向相反,b，则a+b的方向与a的方向此时a4 .已知D E、

20、F分别是 ABC的边jjjBC CA AB的中点，且BCjjj式：EF11jjj2c 2b BE1 jjj a -b: CF2确的等式的个数为jjjjjja ,CAb ,ABc,则下列各JJLTjjjjjj:ADBECF0 .其中正答案:2答案：相同;0,则0是厶ABC的JJJ5.已知A、BC三点不共线，0是厶ABC内的一点，若OAUJUOBuuu0C平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3),若点C满足OC1 OA 2 OB,其中1, 2R且121,则点C的轨迹是(答：直线AB)平面向量的线性运算1在矩形ABCD中，AB ,3 ,BC 1，则向量(AB AD A

21、C)的长等于()(A) 2(B) 2 . 3(C) 3(D) 42 .下面给出四个命题：对于实数m和向量a、b恒有：m(a b) mamb对于实数m、n和向量a，恒有(m n)a mana若ma mb(m R)，则有ab若 ma na(m, nR, a 0)，则 m n其中正确命题的个数是()(填重心、垂心、内心、外心之一)jjj6 若 ABJJIT8, ACjuur5,则BC的取值范围是答案：重心答案：3,13A解析：由结论 | a|-| b| w | a b| | a|+| b| ,因为uur uuu uuur BC =| AB AC |。7 .如图，D E、F是 ABC的边AB BC C

22、A的中点,则 AF DB =答案：BEuuu r uur8在 YABCD 中，AB a,ADuuur,ANUULT3NC，M为BC的中点，则UULT解析：如图，由ANuuurUULTUULTT T UUUU3NC得4AN 3AC=3(a b)，AMUUUU所以MN3 T T T 1 T3(a b) (a 2b)o9 .化简:UUU UULTUULT(AB CD) (ACUULTBD) =。（用a、b表示）答案：010.如图，ABC是一个梯形,AB/ CD 且 AB=2CD M N分别是 DC和 AB的中点，已知 AB=a, AD =b,试用a, b表示BC和MN .平面向量基本定理及坐标表示、

23、选择题1.设平面向量a：=(-1,0),b= (0,2),则 2a 3b=()A.(6,3)B.(-2,- 6)C. (2,1)D.(7,2)2.已知平面向量a= (x,1),b= ( x,2x )，则向量a + b().A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线3.已知平面向量a= (1,2),b= ( 2,m),且 a / b，贝U 2a+ 3b=().A.(-2, - 4)B.(3, 6)C. ( 4, 8)D.(5, 10)4.设点 A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上，且|AB| = 2|AP|，则点P的坐标为（A.(3,1)B.(1,1)C.(3,1)或(1 , 1)D.无数多个)uuuuuuuuur5.若向量 AB = (1,2 ), BC = (3,4 ),则 AC =()A (4,6 )B (-4,-6)C (-2,-2) D (2,2)6 .已知向量a= 1(x + 乙3),b = (2 ,yz),且 a丄 b, 若 x, y满足不等式|x| + |y| w 1,贝U z的取值范围为().A. 2,2B.2,3C.3