中考基础巩固专题复习（九）图形的变换与四边形

1、中考初中数学基础巩固复习专题(九) 图形的变换与四边形【知识要点】 知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质知识点5：梯形的判定及性质【复习点拨】1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。【典例解析】例题1：（2021山东枣庄）将数字“6”旋转180，得到数字“9”，将数字“9”旋转180，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180，得到的数字是（）A96B69C66D99

2、【考点】R1：生活中的旋转现象【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案【解答】解：现将数字“69”旋转180，得到的数字是：69故选：B例题2：（2021山东枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE若AB的长为2，则FM的长为（）A2BCD1【考点】PB：翻折变换（折叠问题）【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在RtBFM中，可利用勾股定理求出FM的值【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，FB=AB=2，BM=1，则在RtBM

3、F中，FM=，故选：B例题3：（2021山东枣庄）在矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=（结果保留根号）【考点】LB：矩形的性质；KI：等腰三角形的判定；S9：相似三角形的判定与性质【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据EFDGFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可【解答】解：延长EF和BC，交于点G矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，ABE=AEB=45，A

4、B=AE=9，直角三角形ABE中，BE=，又BED的角平分线EF与DC交于点F，BEG=DEFADBCG=DEFBEG=GBG=BE=由G=DEF，EFD=GFC，可得EFDGFC设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BCBG=BC+CG=9+2x+x解得x=BC=9+2（3）=故答案为：例题4：（2021山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，4）（1）请在图中，画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将ABC缩小为原来的，得到A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出A2B2C2，并求出A2C

5、2B2的正弦值【考点】SD：作图位似变换；Q4：作图平移变换；T7：解直角三角形【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，由图形可知，A2C2B2=ACB，过点A作ADBC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC=2，sinACB=，即sinA2C2B2=例题5：例题6：（2021甘肃张掖）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD

6、中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中，BOEDOF（A

7、SA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BEEF，设BE=x，则 DE=x，AE=6x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6x）2，解得：x=，BD=2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=例题7：（2021重庆B）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则EMN的周长是【分析】如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1，D

8、EF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=，PD=3，如图2，由平行相似证明DGCFGA，列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DEGM证明DENMNH，则，得EN=，从而计算出EMN各边的长，相加可得周长【解答】解：如图1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，DCAB，PQAB，四边形ABCD是正方形，ACD=45，PEC是等腰直角三角形，PE=PC，设PC=x，则PE=x，PD=4x，EQ=4x，PD=EQ，DPE=EQF=90，PED=EFQ，DPEEQF，DE=EF，易证明DECBEC，DE=BE，EF=BE，E

9、QFB，FQ=BQ=BF，AB=4，F是AB的中点，BF=2，FQ=BQ=PE=1，CE=，RtDAF中，DF=2，DE=EF，DEEF，DEF是等腰直角三角形，DE=EF=，PD=3，如图2，DCAB，DGCFGA，=2，CG=2AG，DG=2FG，FG=，AC=4，CG=，EG=，连接GM、GN，交EF于H，GFE=45，GHF是等腰直角三角形，GH=FH=，EH=EFFH=，由折叠得：GMEF，MH=GH=，EHM=DEF=90，DEHM，DENMNH，=3，EN=3NH，EN+NHEH=，EN=，NH=EHEN=，RtGNH中，GN=，由折叠得：MN=GN，EM=EG，EMN的周长=E

10、N+MN+EM=+=；故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，三角函数，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE的长是关键例题8：（2021山东枣庄）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及AEC的度数【考点】LO：四边形综合

11、题【分析】（1）根据正方形的性质证明APECFE，可得结论；（2）分别证明PAE=45和BAC=45，则CAE=90，即ACE是直角三角形；（3）分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：，即，解得：a=b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：HCG=BCG，由平行线的内错角得：AEC=ACB=45【解答】证明：（1）四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，AB=BC，BP=BF，AP=CF，在APE和CFE中，APECFE，EA=EC；（2）ACE是直角三角形，理由是：如图2，P为AB的中点，PA=PB，PB=PE，PA=PE，PAE=45，又B

12、AC=45，CAE=90，即ACE是直角三角形；（3）设CE交AB于G，EP平分AEC，EPAG，AP=PG=ab，BG=a（2a2b）=2ba，PECF，即，解得：a=b，a：b=：1，作GHAC于H，CAB=45，HG=AG=（2b2b）=（2）b，又BG=2ba=（2）b，GH=GB，GHAC，GBBC，HCG=BCG，PECF，PEG=BCG，AEC=ACB=45【达标检测】一、选择题1. （2021浙江义乌）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，ACF=AFC，FAE=FEA若ACB=21，则ECD

13、的度数是（）A7B21C23D24【考点】LB：矩形的性质；JA：平行线的性质【分析】由矩形的性质得出D=90，ABCD，ADBC，证出FEA=ECD，DAC=ACB=21，由三角形的外角性质得出ACF=2FEA，设ECD=x，则ACF=2x，ACD=3x，在RtACD中，由互余两角关系得出方程，解方程即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，D=90，ABCD，ADBC，FEA=ECD，DAC=ACB=21，ACF=AFC，FAE=FEA，ACF=2FEA，设ECD=x，则ACF=2x，ACD=3x，在RtACD中，3x+21=90，解得：x=23；故选：C2. （2021甘肃张掖）下面四个手机

14、应用图标中，属于中心对称图形的是（）ABCD【考点】R5：中心对称图形【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可【解答】解：A图形不是中心对称图形；B图形是中心对称图形；C图形不是中心对称图形；D图形不是中心对称图形，故选：B3.4.5.二、填空题：6.7.8. （2021浙江义乌）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GECD，GFBC，AD=1500m，小敏行走的路线为BAGE，小聪行走的路线为BADEF若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为4600m【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；LD：矩形的判定与性质【分析】连接CG，

15、由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GEDC，易得DE=GE在矩形GECF中，EF=CG要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行【解答】解：连接GC，四边形ABCD为正方形，所以AD=DC，ADB=CDB=45，CDB=45，GEDC，DEG是等腰直角三角形，DE=GE在AGD和GDC中，AGDGDCAG=CG在矩形GECF中，EF=CG，EF=AGBA+AD+DE+EFBAAGGE=AD=1500m小敏共走了3100m，小聪行走的路程为3100+1500=4600（m）故答案为：46009. （2021浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，

16、BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）ABCD【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，E=B=90，易证RtAEFRtCDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6x，在RtCDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6x）2，解方程求出x【解答】解：矩形ABCD沿对角线AC对折，使ABC落在ACE的位置，AE=AB，E=B=90，又四边形ABCD为矩形，AB=CD，AE=DC，而AFE=DFC，在AEF与CDF中，AEFCDF（AAS），EF=DF；四边形A

17、BCD为矩形，AD=BC=6，CD=AB=4，RtAEFRtCDF，FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6x，在RtCDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6x）2，解得x=，则FD=6x=故选：B10. （2021张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为610【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，PBC=30，推出ABP是等边三角形，得到BAP=60，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=22，PE=42，过P作PFCD于

18、F，于是得到结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABC=90，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，PB=BC=AB，PBC=30，ABP=60，ABP是等边三角形，BAP=60，AP=AB=2，AD=2，AE=4，DE=2，CE=22，PE=42，过P作PFCD于F，PF=PE=23，三角形PCE的面积=CEPF=（22）（42）=610，故答案为：610三、解答题11. （2021湖南岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ACBD求证：

19、四边形ABCD是菱形【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段BD的垂直平分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD是菱形【解答】已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ACBD，求证：四边形ABCD是菱形证明：四边形ABCD为平行四边形，BO=DO，ACBD，AC垂直平分BD，AB=AD，四边形ABCD为菱形故答案为：ACBD；四边形ABCD是菱形【点评】本题主要考查菱形的判定及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质证得AB=AD是解题的关键12. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE（1

20、）求证：AGEBGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出ADBC，得出AEG=BFG，由AAS证明AGEBGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由ADBC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EFAB，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AEG=BFG，EF垂直平分AB，AG=BG，在AGEH和BGF中，AGEBGF（AAS）；（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：AGEBGF，AE=BF，ADBC，四边形AF

21、BE是平行四边形，又EFAB，四边形AFBE是菱形13. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90，若AB=CD=1，ABCD，求对角线BD的长若ACBD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；只要证明ABDCBD，即可解决问题；（2）若EFBC，则AEEF，BFE

22、F，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）AB=AC=1，ABCD，S四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，四边形ABCD是菱形，ABC=90，四边形ABCD是正方形，BD=AC=（2）如图1中，连接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中

23、，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，DE：BF=PD：PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.514. （2021浙江衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DFDE，交OA于点F，连结EF已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒（1）如图1，当t=3时，求DF的长（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程

24、中，DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tanDEF的值（3）连结AD，当AD将DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DEOA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DEAB，得出OAB=DEA=90，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；（2）作DMOA于M，DNAB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出MDN=90，DMAB，DNOA，由平行线得出比例式， =，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明DMFDNE，得出=，再由三角函

25、数定义即可得出答案；（3）作作DMOA于M，DNAB于N，若AD将DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；当点E到达中点之前时，NE=3t，由DMFDNE得：MF=（3t），求出AF=4+MF=t+，得出G（， t），求出直线AD的解析式为y=x+6，把G（， t）代入即可求出t的值；当点E越过中点之后，NE=t3，由DMFDNE得：MF=（t3），求出AF=4MF=t+，得出G（， t），代入直线AD的解析式y=x+6求出t的值即可【解答】解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，A（8，0），C（0，6），OA=8，OC=6，点D为OB的中点，DEOA，D

26、E=OA=4，四边形OABC是矩形，OAAB，DEAB，OAB=DEA=90，又DFDE，EDF=90，四边形DFAE是矩形，DF=AE=3；（2）DEF的大小不变；理由如下：作DMOA于M，DNAB于N，如图2所示：四边形OABC是矩形，OAAB，四边形DMAN是矩形，MDN=90，DMAB，DNOA， =，点D为OB的中点，M、N分别是OA、AB的中点，DM=AB=3，DN=OA=4，EDF=90，FDM=EDN，又DMF=DNE=90，DMFDNE，=，EDF=90，tanDEF=；（3）作DMOA于M，DNAB于N，若AD将DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为E

27、F的三等分点；当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3t，由DMFDNE得：MF=（3t），AF=4+MF=t+，点G为EF的三等分点，G（， t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：，解得：，直线AD的解析式为y=x+6，把G（， t）代入得：t=；当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t3，由DMFDNE得：MF=（t3），AF=4MF=t+，点G为EF的三等分点，G（， t），代入直线AD的解析式y=x+6得：t=；综上所述，当AD将DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或15. （2021浙江义乌）如图1，已知ABCD，ABx轴，AB=6，点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（3，4），点B在第四象限，点P是ABCD边上的一个动点（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标（2）若点P在边AB，AD上，点P关于