一元二次方程章节重点知识点复习

1、、知识结构: 兀二次方程解与解法 根的判别 韦达定理 并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一元 (2) 般表达式:ax2 bx c 0(a 0) 难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”： 该项系数不为“ 0”； 未知数指数为“ 2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、 下列方程中是关于 x的一兀二次方程的是（ ) A 3 x 12 2 x 1 B 1 2 x 1 x 2 0 C 2 ax bx c 0 D 2 x 2x x21 变式：: 当k 时, 关于x 的方程kx2 2x 2 x 3是一元二次方程。 例2、方程 m 2

2、 Xm 3mx 10是关于x的一元二次方程，则 m的值为 针对练习: 2 1、方程8x 7的一次项系数是 ，常数项是 m 1 2、若方程 m 2 x 0是关于x的一元一次方程， 3、若方程m 1 x2 求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 m ?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 例2、关于x的一元二次方程a 2 x2 a2 40的一个根为0,则a的值为 例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c b，则此方程 必有一根为 针对练习: 2 1、已知方程x kx 100的一根是2，则k为，另一根是 X 1 2、已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个

3、解与方程3的解相同。 x 1 求k的值；方程的另一个解。 3、已知m是方程x2 x 1 0的一个根，则代数式 m2 m 。 4、已知 a 是 x2 3x 1 0 的根，则 2a2 6a 。 2 5、方程abxbcxcaO的一个根为（） A 1 B 1 Cb c Da 6、若 2x 5y 3 0,则 4x?32y 。 考点三、解法一 方法：|直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：|降次 类型一、直接开方法：x2 m m 0 , xVm 2 2 2 对于x a m， ax m bx n等形式均适用直接开方法 典型例题： 例 1、解方程：1 2x2 8 0;2 25 16x2=0;3 1

4、x 2 9 0; 2 2 例 2、若 9 x 116 x 2 ，贝y x的值为 针对练习: F列方程无解的是( A. x23 2x21 B. x C. 2x 3 1 D. 类型二、因式分解法 xx1 xx2 xXi,或 x 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积, 右边为“ 方程形式：如 ax bx 2小2 x 2ax a 典型例题: 例 1、2x x 3 的根为 Xi 5 2，x2 例2、若4x 3 4x 则4x+y的值为 变式1:a2 b22 b2 0,则 a2b2 变式2:若x 例3、解方程: x2 2 . 3 x 2.3 4 0 例4、已知2x2 3xy 2y2 针对练习: 1、下列

5、说法中: 22 方程 x px q 0 的二根为 x-i , x2，贝U x px q (x x1)(x x2) x2 6x 8 (X 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2y2(x y)( .x 、y)( .x , y) 方程(3x 1)2 7 0 可变形为(3x 1 .7)(3x 1 .7) 0 正确的有() 2、以 1-.7 与 1 . 7为根的一元二次方程是（） A. x2 2x 60 B x2 2x 60 C. y2 2y 60 2 D . y 2y 60 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数: 写出一个一元二次方程，要求二次项

6、系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足x y 3 x y 20 ,则x+y的值为（ A -1 或-2 B 、-1 或 2 C 、1 或-2 D 、 2 1 5、方程：x 22的解是, x 2 ax bx c 0 a 0 x 2a b2 4ac 4a2 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题: 例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。 例2、 已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值。 例3、 已知x2 y2 4x 6y 130，x、y 为实数, 例4、 分解因式: 4x2 12x 3 xy的值。 针对练

7、习: 2、已知 x2x 1 40，则 x x x 3、若 t 2 3x2 12x 9，则 t 的最大值为 ，最小值为 a 0,且 b2 4ac 31 x 2 6. x 68. x2 4x 1 3x2 4x 1 3x 1 x 1 2x 5 类型五、“降次思想”的应用 典型例题: 232 例1、如果x x 10，那么代数式x 2x 7的值。 例2、已知a是一元二次方程x2 3x 1 0的一根，求 32 a 2a 5a 1 1的值。 、根的判别式 b2 4ac 根的判别式的作用: 定根的个数； 求待定系数的值； 应用于其它。 典型例题： 例1、若关于x的方程X2 2、. kx 1 0有两个不相等的实

8、数根，则k的取值范围是 例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是() A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1 例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0 (1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根； (2) 若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。 例4、已知二次三项式9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值. 针对练习: 1、当k时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式这个完全平方式是什么 4、k为何值时，方程

9、组 y kx 2, 2 y 4x 2y 10. m的值是 3、已知方程 mx mx 20有两个不相等的实数根，则 (1) 有两组相等的实数解，并求此解; (2) 有两组不相等的实数解； (3) 没有实数解 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x的方程 m 1 x2 2mx 30 有两个实数根，则 m为, 只有一个根，则 m为。 例1、 不解方程，判断关于 x的方程x2 2 x k k23根的情况。 例3、如果关于x的方程x2kx 20及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。 考点六、根与系数的关系

10、前提：对于ax bx c 0而言，当满足a 0、0时, 才能用韦达定理。 A. 3 D. ,.6 bc ,xix2 aa 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三 角形的斜边是() 例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根 xx2， (1 )求k的取值范围; (2)是否存在实数k， 使方程的两实数根互为相反数若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。 例4、已知 是方程 x2 x 10的两个根，那么 43 针对练习: 2 1已知Xi,X2是方程x 3 x 90的两实数根，求Xi 2 7x2 3x2 66 的值。 考点七、应用解答题 “碰面、握手”问题；“增长率”问题；“几何”问题； “最值”型问题； 典型例题： 1、 五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席 2、 某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人 3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售, 一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。 （2） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售