中北大学概率统计习题册第七章完整答案

1、1、设总体 f(x)( 第七章参数估计 X的密度函数为 1)x 0 0其它其中 1就是未 知参数,Xi, X2, ,Xn为取自总体 X的容 量为n的随机样本。 (1)求的矩估计量； 1 oX( 1)x dx 2E X 1 得 EX1 2 所以的矩估计量为？ X 丄； 2 (2)求的极大似然估计量。 解：的似然函数为 n L( ) 2e 2(x) 1 n 2 x 2ne2n e i1 , xj 1,2,L , n 就是的增函数，而 min x ，所以的极 1 i n 大似然估计为？ min Xi 。 1 i n 所以, 的矩估计量为 2X 1 3、设(X1,X2, ,Xn)为来自总体 2 X N

2、 (0,) 的极大似然估计量。 解：的似然函数为L( n (1)x 取对数得对数似然函数 In L( ) nln 1 n In xi i 1 dln L() d 的极大似然估计量为 n 1 In Xi i 1 In xi0 设总体X的概率密度为 2 x 2ex 其中 f0 未知，从总体中抽取简单随机样本 X1,X2, ,Xn、 (1)求的矩估计量； 2xe 2 x dx 的一个样本，求2的极大似然估计并检验其 就是否为无偏估计。 解：2的似然函数为 L( 2) 对数似然函数为 2 n lnL( ) nln 令 dlnL( 2) 1 2n e 2 2的极大似然估计量为 n 1 Xi2 i 1 由

3、于E Xi2 Xi2 ?2 Xi2 这表明?2 Xj2就是 i 1 4、设总体 X具有分布律 2 Xi 1 ,所以 n 2 x i 1 2的无偏估计。 n 1 c (Xi 1 i 1 Xi)2 的无偏估计。 其中(0 1)为未知参数、已知取得了样 n 1 (Xi i 1 Xi)2 2 2 (Xi 1 Xi2XiXi 1) 本值 X| = 1,x2 = 2, x3 = 1,x4 = 3、 (1)求的矩估计值; 解：由E X 12 所以，的矩估计量为 的矩估计值为 X2 Xn 1 Xi2 1 XiXi 1 1 E Xi2 E XiXi 1 n 所以E i X2 Xi Xi 2 ,i 1,2,L ,

4、n 1 (Xi 1 1 E X12 Xi)2 X； Xi 2 XiXi1 2 (2)求的极大似然估计值。 解：似然函数为 所以，当c 1 (Xi 1 Xi)2 为 n L( ) PX i 1 X 2 2 (1 2 5(1 )3 对数似然函数为 In L( dL( )5 d )2 (1 )2 )In 2 5ln 3ln(1 汁。，得极大似然估计值 设 X1, X2 , 个样本，试适当选择常数c,使 ,Xn就是总体N( , 2)的一 2 的无偏估计。 6、设X1,X2就是取自总体 一个样本，试证如下三个估计量都就是 N( ,1)( 未知)的 的无 偏估计量， 并确定最有效的 个：？1 -X1 -X

5、2 ，?2- X 1 ?x 3 3 4 4 C1 1 ?3X1 X 2 。 2 2 证明：由E Xi 得 2 1 E ? E X1 E X2 3 3 E ?2 !e X1 3 E X2 4 4 1 1 E ?3 -E X1 E X2 2 2 所以,?、？2与?3都就是 的无偏估计量。 D Xi 1,i 1,2,3 并且 Xi i 1,2,3 相 互独立，所以 ? 4 1 5 D -D X1 -D X2 9 9 9 1 9 5 D ?2 D X1 D X2 16 16 8 D ?3 Id X1 D X2 1 4 4 2 2 2 为 1 ,2。 (1) 若它们的方差相同2:2 ( 未 知),求12

6、的置信水平为0、95的置信区 间； -0、3545, 2、5545 (2) 若不知它们的方差就是否相同，求它们 2 的方差比一2的置信水平为0、95的置信区间。 2 0、1767, 1、6136 所以，三个无偏估计量中，?3最有效。 7、某车间生产滚珠，其直径X就是随机变量， 从长期实践中知道 X服从N( , 2)。从某天 产品中随机抽取 6件,测得其直径(单位:mm) 14、60,15、10,14、90,14、80,15、20,15、 10 估计该产品的平均直径； X 14.95 若已知 2 0.09,求的置信水平为0、 95的置信区间； 14、75,15、15 若题目中2未知，则 的置信水平为0、95 的置信区间又就是多少？ 14、72,15、18 (4)若未知，求总体标准差的置信水平为 95%的置信区间。 8、某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱、 现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13 与17的两个相互独立的样本 X1,X2,公13，丫1,丫2, ，丫17