专题跟踪检测立体几何中的向量方法理

1、专题跟踪检测(一)立体几何中的向量方法1. (2018 全国卷川)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面 与半圆弧Cd所在平面垂直，m是Cd上异于c, d的点. 证明：平面 AMD-平面BMC(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面 MAB与平面MCD所成二 面角的正弦值.解： 证明：由题设知，平面 CM-平面ABCD交线为C D.因为BC- CD BC?平面ABCD所以BCL平面 CMD所以BC- DM因为M为Cd上异于C, D的点，且DC为直径,所以DML CM又 B6 CM= C,所以DML平面BMC因为DM平面AMD所以平面 AMD_平面BMC(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正

2、方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥MABC勺体积最大时，M为Cd的中点由题设得Q0,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0) , C(0,2,0), M(0,1,1),( 2, 1,1) , AB = (0,2,0) , DA = (2,0,0),设n = (x , y , z)是平面MAE的法向量,n AM= 0, 则n AB = 0 ,即2x+y+z Q, 可取门=(1,0,2),2y= 0.又DA是平面MC啲一个法向量,A所以 cos n , DA 冷,sinn , -A=竿|n| -A|55所以平面MAB与平面MC斷成二面角的正弦值是2.(2018 唐山模拟)

3、如图，在四棱锥 P-ABCD中, PC丄底面ABCD底面ABC是直角梯形，ABL AD AB/ CD AB= 2AD= 2CD E是 PB的中点.求证：平面EACL平面PBC(2)若二面角P-AGE的余弦值为电6求直线PA与平面EAC所 成角的正弦值.解：证明：因为 PCL平面ABCD AC?平面ABCD所以ACL PC 因为 AB= 2AD= 2CD所以 AC= BC= 2AD=2CD所以 AC + BC= AW,故 ACL BC又BCn PC= C,所以ACL平面PBC因为AC?平面EAC所以平面EACL平面PBC(2)如图，以C为坐标原点, CB, CA,CP的方向分别为x轴，y轴，z轴

4、的正方向，建立空间直角坐标系，并设CB= 2, CP= 2a(a0).贝U q0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),R0,0 ,2a)，则E(1,0 ,a),=(0,2,0), CP = (0,0,2 a),CE = (1,0 , a),易知m= (1,0,0)为平面PAC勺一个法向量. 设n = (x , y , z)为平面EAC的法向量，n CA = 0 , 则n CE = 0 ,2y= 0 ,x + az= 0 ,n= ( a, 0 , 1).|m n|依题意，|cosm n丨=- ；a2 + 厂3解得a= ；;2于是 n= ( ：2 , 0 ,设直线PA与平面1), Pa

5、= (0,2 , 2、：2).EAC所成角为0 ,则sin0 = |COSA, n| =正卫| Alln|即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 3. (2018 西安质检)如图，四棱柱 ABCEABCD的底面ABCDI菱形，ACT BD= Q AO丄底面 ABCD AB= 2, AAi= 3.(1)证明：平面 若/ BAD= 60,求二面角 B-OC的余弦值.解： 证明：T AO丄平面ABCD BD?平面ABCD. AOL BD.四边形ABCD1菱形,COLBD. AOA CO= O BDL平面 ACO/ BD?平面 BBDD,平面AiCOL平面BBDD./ AC丄平面 ABCDCOL BD

6、 OB OC OA两两垂直，以O为坐标原点，OB,OC ,OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. AB= 2, AA= 3，/ BAD= 60 ,:.OB= OD= 1, OA= OC= 3, oa= QaA - oA=心.则 qo,o,o),B(1,0,0),C(0,3 ,0) ,A(0, -3 , 0) ,Ai(0,0 ,6),. Ob=(1,0,0),BBX = (0 ,3 , .6),OB n= 0, 则BOB n = 0,OB = CB +36 = (1 ,诟,a/6) , Oc= (0 ,衍,0).设平面OBB的法向量为n= (X1 , y1 , Z1)

7、,X1 = 0 ,X1 +3y1+6Z1 = 0.令yi= 2，得n= (0, 、2, - 1)是平面OBE的一个法向量.设平面OCB的法向量m= (x2, y2, z2),oC mi= 0,OB m= 0,：3y2= 0,X2+ 3y2 +飞.6z2= 0,令Z2=- 1,得m= ( 6 0, - 1)为平面OCB的一个法向量,/ cos n, m由图可知二面角n m121|n | ! m| = 3X ：7 = 21B-OC是锐二面角，面角B-OE1-C的余弦值为.21214. (2018 长春质检)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABC为菱形，PA!平面 ABCDE为PD的中点.(1

8、)证明：PB/平面ACE 设 PA= 1，/ ABC= 60面角 DAEC的余弦值.解：(1)证明：连接BD交AC于点O,连接OE在厶 PBD中, PE= DE BO= DQ 所以 PB/ OE又PB?平面ACE OR平面ACE所以PB/平面ACE(2)由题易知VP-ABCD= 2VP-ACD= 4Ve-ACD=设菱形ABCD勺边长为a ,ac则 VP.ABc= 1s?abcD- pa= 3乂 予2 x T,解得a= ：3.取BC的中点为 M连接AM则AML A D.以点A为坐标原点，分别以N1M , 2D ,的方向为x轴，y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0)

9、, EO, # 2，。2, ，0，:Ae = 0 退1AC = 3 至 0设ni= (x, y, z)为平面 AEC的法向量，ni AE = 0,吕 + 1z= 0,ni AC= 0,即3x+fy= 0,取x = 1,贝y ni= (1 , - ；3, 3)为平面AEC的一个法向量. 又易知平面 AED勺一个法向量为 n2= (1,0,0),所以 cos ni, n2ni n2ii3|n 什丨 n2l-i + 3+ 9 i3由图易知二面角 D AE C为锐二面角,所以二面角 DAEC的余弦值为i373.5.(20i8 郑州质检)如图，在三棱锥P-ABC中,平面AC= 2込,D, E分别为线段

10、AB BC上的点，且AD= 2DB(1) 求证：PDL平面ABC(2) 若直线PA与平面ABC所成的角为45，求平面 成锐二面角的大小.PABL平面 ABCAB= 6, BC=CE= 2EB PDL ACPAC与平面PDE所解：(1)证明：T AC= 2 6, BC= 2*. 3, AB= 6, AC+ bC= aB,./ ACB= 90, cos / ABC=2、36易知BD= 2,CD= 22 + (2 ：3)2 2X 2X2 3cos / ABC= 8,CD= 2 ；;2,易知 AD= 4, CD+ aD= aC,. CDL AB.平面PABL平面 ABC平面PABH平面 ABC= AB

11、 CDL平面PAB CDL PD/ PDL AC ACA CD= C, PDL平面 ABC(2)由(1)知PD CD AB两两互相垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,直线PA与平面ABC所成的角为45，即/ PAD= 45 PD= AD= 4,则 A(0，- 4,0) , C(2 ：2, 0,0) , B(0,2,0) , P(0,0,4),Cb = ( - 2述,2,0) , AC = (2 羽,4,0),PA = (0，- 4,- 4)./ AD= 2DB CE= 2EB DE/ AC由(1)知 ACL BC DEL BC又 PDL平面 ABC - PDL BC/ PDn D

12、E= D, CBL平面 PDECb = ( - 2寸2 , 2,0)为平面PDE的一个法向量.设平面PAC的法向量为n= (x , y , z),n AC = 0 , 则n PA = 0 ,2 2x + 4y= 0 ,4y 4z = 0 ,令 z = 1，得 x = ;2 , y =- 1, n= ( ;2 , - 1,1)为平面PAC的一个法向量.二 cos n ,Cb -4 - 2;4X . 12平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为ABCDh , AD/ BC ABL BC BDL DC故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为 306. (2019届咼三洛阳联考)如图1,在直角梯

13、形点E是BC边的中点，将厶 ABD沿 BD折起，使平面 ABL平面BCD连接AE AC DE得到如图2所示的几何体.(1)求证：ABL平面 ADC 若AD= 1,二面角 GABD的平面角的正切值为 ：6 ,求二面角 BADE的余弦值.解：(1)证明：因为平面 ABDL平面BCD平面 ABET平面BCD- BD BDL DC所以DCL平面ABD.因为AE?平面 ABD所以DC! AB.又因为 ADL AB DCH AD= D,所以ABL平面ADC 由 知ABL平面 ADC所以二面角 C-ABD的平面角为/ CAD. 又DCL平面 ABD AD?平面ABD所以DCL AD.CD 厂依题意 tan

14、/ CAD= AD= 6.因为AD= 1,所以CD= 6.设 AB= x(x0),贝U BD= x2+ 1.AB CD x b依题意 ABDA DCB所以亍百，即：=2.AD BD 1 店+1解得 x= 2 ,故 AB= 2 , BD= 3 , BC= BD+ CD= 3.法一：以D为坐标原点，DB DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,则 D(0,0 , 0), B( .3 , 0,0) , C(0 ,6 , 0),严,0，A-3 , 0 ,严，2233所以Dt =亚逅 o , Da =鱼o亟.2 233由 知平面BAD的一个法向量n = (0,1,0).母+*=

15、,设平面ADE的法向量为 m= (x , y , z),1m- DE = 0 ,则1m DA = 0 ,令 x = 2，得 y= 1 , z = - 1,所以m= ( 2 , 1, 1)为平面ADE的一个法向量.所以 cos n , mn m 1 |n | ! m| = 2.由图可知二面角 BAD E的平面角为锐角,1所以二面角 BADE的余弦值为 勺法二：因为DCX平面ABD所以过点E作EF/ DC交BD于F,则EFL平面ABD.因为At?平面ABD所以EF丄AD. 过点F作FG! AD于 G 连接GE 所以AD丄平面EFG因此AD丄GE 所以二面角 BADE的平面角为/ EGF 由平面几何

16、的知识求得 ef= Icd-26 ,FG= ?AB=，所以 EG= .EF + FG= ：2 ,fg 1 所以 cos / EGF=EG 21所以二面角B-ADE的余弦值为 勺7.如图，在四棱锥 P-ABCD中，侧面 PADL底面ABCD底面ABCD是平行四边形，/ ABC= 45, AD-AP= 2, AB= DP= 2 ：2, E 为 CD的 中点，点F在线段PB上.求证：Ad PC试确定点F的位置，使得直线 EF与平面PDC所成的角和直线 EF与平面ABC所成的角相等.解：（1）证明：连接AC因为 AB= 2 ：2, BC= 2，/ ABC= 45,由余弦定理得，AC= Ab + BC

17、2 AB BC cos 45 = 4, 得 AC= 2,所以 AC + BC= aW,所以/ ACB= 90,即卩 BCL AC又 AD/ BC 所以 AD! AC因为 AD- AP= 2, DF= 2 ：2, 所以 AD + AP= dP,所以/ PAD- 90,即 PAL AD 又APn AC= a 所以AD丄平面PAC又PC?平面PAC所以ADL PC(2)因为侧面PADL底面ABCD侧面PADn底面ABCAD PAL AD所以PA!底面ABCD所以直线 AC AD AP两轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,贝V A(0,0,0)，D 2,0,0) , C(0,2,0)

18、,02,2,0),E( 1,1,0) , P(0,0,2),所以PC = (0,2 ,2),两互相垂直，以 A为坐标原点，直线 AD AC AP分别为x PD = ( 2,0 , 2) , PB = (2,2 , 2).兽入(“ 0,1)则？ = (2 入，2 入，2 入)，F(2 入，2入，2入 + 2),所以？ = (2 入 + 1,2 入一1, 2 入 + 2), 易得平面ABCD勺一个法向量为 m= (0,0,1) 设平面PDC的法向量为n= (x , y , z),n PC = 0 , 则n PD = 0 ,即次2Z = 0，2x 2z = 0 ,令 x = 1，得 n = (1 , 1, 1).因为直线EF与平面PDC所成的角和直线 EF与平面ABCC所成的角相等, 所以 |cos EF , m | = |cos EF, n| , 即I EF m丨=丨EF n丨 ?| EF|m| EF| n |2入所以| 2入+ 2| =寸3 ，即；3| 入一1| = | 入 |(入 0,1),PF= 3-书PB= 2PF 3 3即当PBT二时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABC靳成的角相等.8.如图，C是以AB为直径的圆 O上异于A, B的点，平面PAC_平面ABC PA= PC= AC =2，BC= 4, E, F分别是PC