专题六数列第十六讲等比数列答案

1、专题六数列第十六讲等比数列答案部分1. D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ,第一个单音的频率为 f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项 为f，公比为12 2的等比数列，记为%，则第八个单音频率为f (122)8J =1227f，故选D.2. B【解析】解法一 因为 lnx x-1(x 0)，所以 ai a2 a3 a In(ai a? - a3) a1 a2 a3 -1，所以a4 -1，又a11，所以等比数列的公比q ： 0 .若 q -1，则 a2 a3 a4 = a,1 q)(1 q ) a1 1，所以 In(a1 a2

2、- a3) 0 ,与 ln( a1 a2 a3) =a a2 a3 a4 x 1, a1 a2a3 a4二 In佝 a2 a3),所以雄松由4 =a1 +a2+a3 +a2 +a3+ a4 +1，贝Ha4 -1,又a11，所以等比数列的公比q ： 0 .2若 q -1，则 a1 a2 a3 a4 = a,1 q)(1 q ) a1 1，所以 In(a1 a2 a3) 0与 ln( a1 a2 a3) =a a2 a3 a4 0 矛盾，2 2所以 一1 ： q ： 0，所以 a1 -玄3 二印(1 一 q )0 , a2 - a4 二 ag(1 - q ) ： 0 ,所以 a1a3, a2 ”：

3、 a4，故选 B.3. B【解析】设塔顶共有灯 a1盏，根据题意各层等数构成以 a1为首项，2为公比的等比数a (1 _2 )列，二 S71(271)4=381，解得印=3 .选 B .1-224422B【解析】由于a1(1 + q +q ) = 21 ,印=3，所以q +q - 6 = 0，所以q =22(q = - 3舍去)，所以 a3 = 6， a5 = 12 ， a7 = 24，所以 a3 + a5 + a7 = 42 .2D【解析】由等比数列的性质得，a3 aa6 - 0，因此a2,a6, a9一定成等比数列.C【解析】设等比数列lan J的公比为qS3 = a2 - 10a1，-

4、a1 a2 a a2 10a1,241即玄3 二 9a, q = 9，由 a5 = 9，即 aq9 , a二一92 2 2B【解析】取特殊值可排除 A、C、D，由均值不等式可得 a1 a32印a 2a2 .a a16n*B【解析】由an an 1 =16，得an 1an .2 =16 ，两式相除得 n 1 n 22n-q =16 , a“an 1 =16，可知公比q为正数，二C【解析】设 an的公比为q，则由等比数列的性质知,5即a2 由a4与2a7的等差中项为知,4a4 2a7anan 11厂16，4.5.6.7.&9.10.11.12.13.3734a7 =丄(2 - -a4H-.二 q2

5、31.2441 31_即 q . a a qa12 ,2 8a1 = 16 ,S5 =1-1A【解析】通过8a20 ,设公比为将该式转化为8a2 a2q0 ,5解得q = 2,所以$二口口2S, 1 -q21一4 一一11 .D【解析】取等比数列1,2,4，令 n=1得X=1,Y=3,Z=7代入验算，只有选项D满足.2341010C【解析】aa1a2a3a4aq q q q qag ，因此有 m=11.14.15.1公比为-的等比数列，前5项和T5-8【解析】设an的首项为a1，公比为1-（2q，所以a1 yq = -12 -，a1 _ a1q-3C【解析】显然q = 1，所以9（1 7）=

6、口一 1 q= q = 2，所以是首项为1 -q a1 a? = 4 1121【解析】由于 1:解得a1=1，由an1=Sn1=2&T , -qanf ai = 13解得，则a = a1q 8 .lq = 216.32【解析】设an的公比为鱼 J-q6S 1 q3=1 q3 = 9，所以 q = 2，由y晋H，得1a1，所以 a$ 二 aq45-2-32 .17.1【解析】设的公差为由题意 -1 3d - -q3 =8 ,18.所以d=3, q2，所以1.4-2)64【解析】设an的公比为q ,由 a1 a 10 ,1a2 a = 5得 &1 = 8, q = ?，贝V a 4 , a 2 ,

7、 a4 1, a51，所以a* ,二64 .219.1 1 1所以 s.1 - =3(s. 2)，所以Si -1 3所以 Sn 1 =332 2n -1),所以 S5 =121 .13L是以3为首项，3为公比的等比数列,2n- 1【解析】由题意,aa = 9a2 a3 = a1，解得 ai = 1,a4 二 8或印=8,a4 = 1，而 a4 =8数列an是递增的等比数列，所以 a1-1, a4=8，即q34 = 8，所以q = 2，因而a11 -2nn 丄=2 -1 .数列an的前n项和Sn =a1（1_q）1-q 1-2221. 5【解析】由等比数列的性质可知aia5 =a?a4 =a3，

8、于是，由a = 4得a 2 ,故 日 a2a3a4a 32，贝y log 2 a1 +log 2 a2 +log 2 a3 +log 2 a4+log 2 a5 = log2 (a1a2a3a4a5) =log232 =5 .22. 50【解析】因:an是等比数列，aa2o= aaii= a?ai2，由aioaii+a9 ai= 2e 得5io aia2o = e , ln ai ln a2 11( ln a20 = ln(a2 20) = ln(aia2o) =50.23. 4【解析】 设等比数列a*的公比为q , q 0 .则a a6 2a4,4224即为a4q二a4q - 2a4，解得q

9、 =2 (负值舍去)，又a i，所以a6 = a?q 4 .24. i5【解析】a =i,a2= -2,a3 = 4,a4= -8, 印|a2 |a3| a41 = i5.25. 2,2n 1 -2【解析】由a3 a5= q a? a4得 q = 2 ； a?a4二 a q q3=20,2(1-2n)命得 q =2 ； 2n1-2 .1-226. 12【解析】设正项等比数列an首项为ai，公比为q,则:aiq品5(1廟=316 n得：ai =, q =2, an = 2.记 Tn - ai a2 “ “ an322n-1，I 丨 n - aia2(n 4)nan = 2 2. Tn ： 丨丨

10、n，则孝2呼,25化简得：2n-1 /A5, 当 nn22生上，12 .当 n = 12 时，T|2 ： 丨丨 12，当 n = 13 时，Ti3 丨丨 13，故 nmax =12 .227. 11【解析】由 an 2 an 1 -2an =0，可得 anq a.q -2an =0 ,由ai = 1可知an = 0, q = 1，求得公比q = -2，可得S5=11.128. 2【解析】；2(寻an2)=5ani,2%(1q2)=5anq,. 2(1q2)=5q,解得 q =2或q二丄2329.【解析】依题意可得,2Q(1 q2)* 1一q4a,1-q4)1-q3a1q 2= 3a1q3 22

11、2a1q - 3a1q 印 2q _ 2 = 0432a1q -3a1q q 2q_2 = 0两式相减可得 2a1q2a1q3a1q3 3a 1q =0，即 2q42q23q3 3q = 0 ,33(舍)或q = 0或q 。因为q 0 ,所以q = .223 1 330.【解析】a4 = ag得4 = ? q ,a a2 囂打an 二 22n1-231.【解析】（1）设an的公比为q，由题设得aqn-.由已知得q4 =4q2，解得q = 0 (舍去)，q - -2或q = 2 . 故 an = ( -2)n 或 an = 2“.若an =（-2）2，则Sn J 一（一2）.由気=63得（-2厂

12、188，此方程没有正整3数解.若 an =2心，则 Sn =2n -1 .由 Sm =63得 264，解得 m =6.综上，m =6.32.【解析】（I）设数列Xn的公比为q，由已知q0 .X1=32由题意得彳2，所以3q25q2 = 0,XQ -=2因为q0,所以q =2必=1 ,因此数列xn的通项公式为xn =2n（U）过R,P2,B,，巳1向X轴作垂线，垂足分别为 Q1.Q2.Q3,，Qn1，由（I ）得沬1=2 -2心=2心记梯形巳巳的面积为g.由题意bn(n n d)2(2n1)2心,所以 Tn = b1 b2 b3 + bn=3 2-5 207 21+ (2n -1) 2心(2n1

13、) 2心又 2Tn =3 205 217 22+ (2n _1) 2心(2n1) 2心-得-Tn =3 2J (222 2心)一(2n 1) 2n-=32(1一2)-(2 n 1) 2 1-2所以T(2n-1)八33.【解析】(I)由题意得aj = 3 = 1 aj，故 = 1 , a10.由 Sn = 1 an,Si 1 = 1 an .1 得 a. 1 二a. 1 - a.,即 an 1(- 1) = an 由a1 = 0，乂 0且人=1得an = 0，所以an1因此an是首项为，公比为1 -1的等比数列，于是an 二（n）由（I）得S31 得 1-()32丸一1311= 3(an 2)解

14、得二-1 -1又 a12 21所以 an -是首项为I 2J33，公比为3的等比数列.2因此的通项公式为an3n -14）由（I）n -4 2 3因为当n-1时，3n-1-2 3n4，所以3 -111+ + aa? 1 1an3壬(1-丄)芒.23n 2所以35.【解析】（I）设an的公比为q，依题意得i ag = 3f皐81，解得耳=1 q = 313.an 22n -n2因此，an =3n(n)因为 bn Fog3an 二n -1,二数列 佝的前 n 项和 S n(bl bn)2236.【解析】因为S罟，所以心二1，当n_2时an=s2,又n =1时，所以数列an的通项公式为a. =3n

15、-2,（n）要使得 印，an, am成等比数列，只需要 ana1am,2 2即(3n -2)=1 (3m2),即 m =3n -4n 2 .而此时 m 三 N ,且 m n,所以对任意n 1，都有m. N ”，使得a1? an, am成等比数列.37.【解析】由题意可知,a? ai= 2(，即曲2 =3空ag=2daq = 3ai+aiq38.aj =11 -3n3n T解得q=3,所以Sn1-32n a故 a1=1, q =3 , 5【解析】（I ）设等比数列倚的公比为q，因为-2S2, S3, 4S4成等差数列,所以S3 2S - 4S4 - S3，即 S4 _ S3 - S2 - S4，

16、可得 2a - _a3 ,q二创-1 .又a1，所以等比数列？an 的通项公式为2 2a33 an3 -1=(_1)2 .92 2 ( ) 2n(n)S-2n所以数列的前n项和为-已bnn +140.【解析】（i）设an的公比为q ,当n为奇数时,当n为偶数时,故对于n三Nn丨+11 -n2丿2+r），n为偶数Sn 丄随n的增大而减小，所以Sn 丄乞SSnSn113+ =S1611125Sn随n的增大而减小，所以SnS2SnSnS212，有Sn *丄辽13 .n Sn639.【解析】（i）设数列、an?的公比为q，由a! = 9a2a6得a； = 9a：所以由条件可知c 0 ,故q =1.31

17、由 2a1 3a2 =1 得 2a-i 3a2q = 1，所以耳：3故数列a 的通项式为an=3L(n ) bn = gar log3a2 log3an= -(12 . n) n(n +1)n(n 1)1 2 1 1故-2则 bi =1 a=2,b2 = 2 aq=2 q, b = 3 aq =3 q2(丄-亠)bnn(n 1) n n 11 1 . = -2(1 -1)(丄 -1) . (1) 込Q b2bn223n n 1 n 12 2由b,b2,b3成等比数列得(2 q) =2(3 q )即 q2 -4q 2=0,解得 q = 22, q2 = 2 所以务的通项公式为an = (2 r 2)2或an = (2-、2)n.2 2(n )设an的公比为 q，则由(2 aq) - (V a)(3 aq ),得 aq24aq 3a1 二 0(*)由a0得=4a 4a 0，故方程(*)有两个不同的实根1由an唯一，知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a .341.解析】(I)设li2，ln2构成等比数列，其中ti =1,tn2 =100,则Tn = t1 ttn 1 n 2 ,Tn tn 1 n 2t2 1 ,X并利用tjtn .3丄ftn 2 =10% n - 2),得Tn22)农缶1) (tn t) (tn 占)=102(2