平面向量典型例题

1、平面向量经典例题：1.已知向量a= (1,2), b= (2,0)，若向量 七+ b与向量c = (1,- 2)共线，则实数 入等于()2 1- -A2 _3-D答案C解析 七 + b=(入 2 + (2,0) = (2+入 2 乩 t 忌+ b 与 c 共线，二一2(2 + 为一2 冶 0,.1.2.(文)已知向量 a = 0.3, 1), b = (0,1), c= (k, .3)，若 a+ 2b 与 c 垂直，则 k =()A 1B. .3C. 3D . 1答案C解析a+ 2b= 0.3, 1) + (0,2) = (.3, 3),/ a + 2b 与 c 垂直，(a + 2b) = 3

2、k + 3 3= 0,二 k = 3.(理)已知a = (1,2), b = (3 , 1),且a+ b与a 2b互相垂直，则实数 入的值为()611B.11611答案C解析a+ b = (4,1), a 2b= (1 3人 2+2,t a + b与a 2垂直，6(a + b) (a 2)= 4(1 3 + 1 X (2+2= 6 112= 0, 2= 113.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|, a+ b= c,则向量a、b间的夹角为()A. 150C. 60答案B解析如图，在?ABCD 中,t |a|= |b|= |c|, c= a +ABD 为正三角形,0,. x =-.4.

3、若ABBC + AB2= 0,则厶ABC必定是（）A .锐角三角形B.直角三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形答案B解析AB BC + AB2 = AB （BC+ AB） = AB AC = 0,二 aB丄 AC, AB丄AC ABC为直角三角形.5.若向量a_ (1,1),b _ (1,-1), c_ ( 2,4),则用 a,b表示c为（）A. ai+ 3bB. a 3bC. 3a -bD. 3a+ b答案B解析设 c_ ia+4则(一 2,4)_ (卅 i 入一M ,尸一21, c_ a 3b，故选 B.尸4jit3在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于O, E是线段0D的中点，A

4、E的延长线与CD交于点F ,若AC=a, BD = b，则 AF等于（）A.1a+ 2bC.1a+ 4br21B3a+ 3b1 2D3a+3b第14页共10页解析v E为OD的中点， BE = 3ED ,/ DF II AB,AB|_ |EB|DF|_ |DE|，1 2 2- |DF|_3|AB|,. |CF|_3AB|_3CD |,T TT T 2 T2 T AF _ AC + CF _ AC + 3CD _ a + 3(OD -OC) _ a+ 3(1b-如 _ |a + 扌b.6. 若厶ABC的三边长分别为 AB_ 7, BC_ 5, CA_ 6，则AB BC的值为（A. 19B. 14

5、C. - 18D. - 19答案解析72 + 52 62194. T T T T据已知得 cosB_ 2 x 7X 5 _ 35,故 AB BC_ |AB| x |BC|X ( cosB)_ 7X 5 X(喝i7. 若向量A. 12a_ （x 1,2）, b_ （4, y）相互垂直，则9x+ 3y的最小值为（）B. 2一3答案D1解析a b= 4(x 1) + 2y= 0，二 2x+ y= 2,二 9x+ 3y= 32x + 3y2 . 35= 6,等号在 x=, y= 1 时成立.8. 若A, B, C是直线I上不同的三个点，若 O不在I上，存在实数x使得xA + xOB + BC = 0,

6、实数x 为()B. 0答案A解析x2OA + xOB + OC OB= 0,二x2OA + (x 1)OB + OC = 0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1 x x2= 1,二x= 0或一1,当x = 0时，BC =0，与条件矛盾，二x= 1.9.(文)已知P是边长为2的正 ABC边BC上的动点，贝U AP (AB + AC)()A .最大值为8B.最小值为2C .是定值6D . 与 P的位置有关答案C解析以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B( 1,0) ,C(1,0), A(0, 3), AB + AC=(1, .3)+ (1,3)= (0, 2 3),设 P

7、(x,0), 1x2|AB| |AC| = 4, v D 为 BC 边的中点,1111二 AD = $AB + AC)，二 AD |2= 4(AB|2 + AC|2 + 2AB AC) = 4(|ABf + AC 2 2)嘗(42)=g,10.如图，一直线EF与平行四边形 ABCD的两边AB, AD分4 别交于E、F两点，且交其对角线于 K,其中AE = 3AB, AF32aD , AK = 必，_则入的值为()11答案A解析如图，取CD的三等分点 M、N, BC的中点Q,则EF- 1 -1/DG II BM /NQ，易知 AK = AC,二 匸5511.已知向量a= (2,3), b= (-

8、 1,2),若ma + 4b与a- 2b共线，则 m的值为()B. 21a*2C. - 2D . - 1答案C解析ma + 4b= (2m- 4,3m + 8), a- 2b = (4,- 1),由条件知(2m-4) (- 1)-(3m + 8)x 4 = 0,. m= 2,故选 C.12.在厶 ABC 中，C= 90 且 CA= CB= 3,点 M 满足 BM =2mA，则 CM CB等于()A. 2B. 3C. 4D . 6答案B解析z z z z zCM CB= (CA+ AM) CB- 1 - - 1 - =(CA + 3AB) CB= CA CB + 3AB CB3AB| |CB|

9、COS45313. 在正三角形 ABC中，D是BC上的点，AB = 3, BD = 1,则AB AD =15答案7解析由条件知，AB|= |AC|= |BC| = 3, AB, AC= 60 ,A- - 2 AB, CB= 60, CD = -CB, 32 215二 AB AD = AB (AC+ CD)= AB AC + AB CB = 3X 3X cos60 十-X 3X 3 X cos60=.33214. 已知向量a= (3,4), b= (-2,1), _则a在b方向上的投影等于 答案-甞解析a在b方向上的投影为晋诗=-芈15. 已知向量a与b的夹角为 守，且|a|= 1, |b|=

10、4,若(2a+/b)丄a,则实数入=答案1解析2 n “a, b= , |a|= 1,|b|= 4,二 a b = |a| |b| cos = 1 X4Xcos2n=- 2,v (2a +2b)3丄 a， a (2a + Q = 2|a|2 + 2a b = 2 2 A 0,二 A 1.16. 已知：|OA|= 1, |OB|=H, OA OB = 0,点 C 在/ AOB 内，且/ AOC = 30,设 OC = mOA + nOB(m,+, mn R )，则-=答案3解析设 mOA = OF , nOB= OE,贝U OC = OF + OE,Fr 1AOC = 30，二 |OC| cos

11、30 = |OF |= m|OA| = m,AJ|OC|sin30 = |OE|= n|OB|=/3n,LT(Efl两式相除得：盖=等=馬7m = 3.且OA =17. （文）设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,-2i + j, OB= 4i +可，则厶OAB的面积等于答案5解析由条件知，i2= _ _sinA + cosA=AB BC0 b = 3,5 , j2= 1 , i = 0,二 OA OB = ( 2i +j) (4i + 3j)= 8+ 3= 5,又OA OB= |OA | |OB| cos = 5 5cos OA, OB，/ co

12、s OA, OB罟sin=等,1 T TSaoab= 2OA| |OB|sinT T10.答案解析若A为锐角，则sinA + cosA1,1T TT T/ sinA + cosA = 5,二 A 为钝角，丁 AB BC0,“ B为锐角，由/B为锐角得不出 ABC为锐角三角形；由正弦定理爲=注得，晶詬=続sinC警，二C = 60或120, T c sinB=, 33230，及 A、B、C （0, n, A+ B+ C= n知 A、B、C 均为锐角,ABC为锐角三角形.18. 已知平面向量 a= (1, x), b= (2x + 3, x).(1) 若 a 丄 b, 求 x 的值.(2) 若 a

13、 / b，求 |a b|.解析若a丄b,则 a b= (1, x) (2x + 3, x) = 1 X (2x + 3)+ x( -x)= 0,整理得x2 2x 3= 0,解得x = 1或x= 3.若 a/b，则有 1X ( x) x(2x + 3)= 0,_则 x(2x + 4)= 0,解得 x= 0 或 x= 2,当 x= 0 时，a= (1,0), b= (3,0),- |a b|= |(1,0) (3,0)| = |( 2,0)| = 2 2+ 02= 2,当 x= 2 时，a= (1, 2), b= ( 1,2),- |a b|= |(1, 2) ( 1,2)= |(2, 4)|=.

14、 22+ 4 2= 2 5.119. 已知向量 a= (sinx, 1), b= ( ,3cosx,)，函数 f(x) = (a + b) a2.(1) 求函数f(x)的最小正周期T;(2) 将函数f(x)的图象向左平移占上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标.解析(1)f(x) = (a+ b) a 2= a2+ a b 2 = sin2x + 1+ . 3sinxcosx + g 21 cos2x 3_1 3_1_ n2 + 2sin2x 2 =2 sin2x 2cos2x= sin(2xg),二周期T =牛

15、n.(2)向左平移n个单位得，y= sin2(x + n n= sin(2x +，横坐标伸长为原来的 3倍得， g(x)= sin(|x + n，令|x+ n= kn得对称中心为(3kn-n 0)，k Z.20. (文)三角形的三个内角 A、B、C所对边的长分别为 a、b、c,设向量m = (c a, b a), n= (a+ b, c), 若 m / n.(1) 求角B的大小；(2) 若sinA + sin C的取值范围.c a b a解析由m/ n知a+b =厂，即得b2= a2+ c2 ac,据余弦定理知cosB = *,得B =才(2)sinA + sinC= sinA + sin(A

16、 + B) = sinA + sin(A + 3)cosA33，、，3- B = n - A+ C=竽 A (0,务 sinA + sinC的取值范围为(三3,3.(理)在钝角三角形 ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，m = (2b c, cosC), n = (a, cosA), 且 m / n.(1)求角A的大小；n(2)求函数 y= 2sin2B + cos( - 2B)的值域.解析 由 m/ n 得(2b c)cosA- acosC = 0,由正弦定理得 2sin BcosA sinCcosA sinAcosC = 0,/sin(A + C)= sinB,. 2sinBc

17、osA sinB = 0,n / B、 A (0, n ) / sinB 工0,二 A = 3.1731n(2)y= 1 cos2B + cos2B + 2sin2B= 1 cos2B + 2sin2B= sin(2B 召)+ 1,当角B为钝角时，角C为锐角，贝Un2Bn0注Bn32B235 n n 7 nn 1113- 62b 66，sin(2B6) ( 2 2，二 y(2 2)-当角B为锐角时，角C为钝角，贝Un0b2Bn? 0Bn，,n 1 sin(2B 6) (-, y(2, |),综上，所求函数的值域为(2, I).21.设函数f(x)= a b，其中向量a= (2cosx,1),b

18、= (cosx, . 3sin2x), x R.(1)若 f(x)= 1J3且 x n, n，求 x；n的值.(2)若函数y= 2sin2x的图象按向量c= (m, n)(|m|nj平移后得到函数y= f(x)的图象，求实数 m、解析(1)依题设，f(x) = 2cos2x + , 3sin2x=1 + 2sin(2x +由 1 + 2sin(2x + 6)= 1 .3,得 sin(2x + 6)=今,n，即xn4.n nnn 5n nnx 3，n2x+n 5n，2x+ny= f(x)(2)函数y= 2sin2x的图象按向量 c= (m , n)平移后得到函数 y= 2sin2(x m)+ n

19、的图象，即函数的图象由(1)得 f(x)= 2sin2(x + 窃十 1. t 耐扌， m=益,n= 1.22.已知向量 OP= (2cosx + 1, cos2x sinx + 1) , OQ = (cosx , 1) , f(x)= OP OQ.(1)求函数f(x)的最小正周期；n当x 0 , 时,求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值.解析(1) / OP= (2cosx + 1 ,cos2x sinx+1) , OQ = (cosx ,1),-f(x)= OP OQ = (2cosx+ 1)cosx (cos2x sinx+ 1)=2cos.6 + * 22.3 + 1 12T=4

20、(注意：选择不能确定三角形)(理)如图，。O方程为x2 + y2 = 4点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，。O交y轴于 3 点 N, DP /ON，且 DM = |dp.(1)求点M的轨迹C的方程；设F1(0,5)、F2(0, .5),若过F1的直线交(1)中曲线C于A、求F2A F2B的取值范围.解析(1)设 P(x0, y0), M(x, y),x + cosx cos2x+ sinx 1 = cosx+ sinx= 2sin(x+ 4), 二函数f(x)最小正周期T = 2 n.nn 厂 r n 3 n(2)T x 0, 2】，二 x + 4 4, 4,二当 x + n= n

21、, 即 x=n时，f(x)=sin(x+ n取到最大值.2.23. ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量 m =(1,1), n =(cosBcosC, sinBsinC 且m丄n.(1)求A的大小；现在给出下列三个条件： a = 1;2c(Q3 + 1)b= 0:B= 45试从中选择两个条件以确定 ABC，求出所确定的厶ABC的面积.(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分).解析因为 m 丄n，所以一cosBcosC + sinBsinC #= 0，cosBcosC sinBsinC = ，所以 cos(B+ C)= 因为 A+B+ C= n，

22、所以 cos(B + C)= cosA，所以 cosA=2A = 30.(2)方案一：选择，可确定厶 ABC，因为 A= 30，a = 1,2c (+ 1)b= 0，由余弦定理得,12= b2+ (号b)2 2b号b#解得b = 2所以c =山尹,所以 Subc = bcsinA= ； 2方案二：选择，可确定厶 ABC ,因为 A= 30, a = 1, B = 45 C = 105,又 sin105 = sin(45 + 60= sin45 cos60 + cos45in60.6 + . 24由正弦定理c=asinCsinA1 sin105 = sin30 =、 1 所以 Sabc = ac

23、sinB3 2v DM = |dP，二尸 2y0,.層 3y ,x= xoxo= x代入x| + y2= 4得，扌+卷=1(2)当直线AB的斜率不存在时，显然 F2A F2B=- 4,当直线AB的斜率存在时，不妨设 AB的方程为：y= kx+ 5,y= kx+ ,5由 xi yi得，(9 + 4k2)x2 + 8 5kx- 16 = 0，-k = 14十91不妨设 Ai(xi，yi)，B(X2, y2)，则FiA FiB= (Xi，yi +5)(xi，yi+5)=(Xi，kxi+ 25)(X|，kxi + 2 5)= (1+k2)xixi + 2,5k(xi + xi)+ 20-i6 i+ k29+ 4k2-80k29+k2+20-96k2-i69+ 4 k24 202009+ 4k2，v心9+4宀9。書三響，/-