椭圆2016新编知识点完美总结解析

1、第5讲：椭圆、椭圆及其方程1、椭圆的定义：把平面内与两个定点FF2的距离之和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆 其中：这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点的距离叫做焦距 (记为2注意：若(PR | + PF2 |= F1F2 )，则动点P的轨迹为线段RF2 ；若(PFj + PF2F1F2)，则动点P的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程:(a b 0)(1) 只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程; 在椭圆的两种标准方程中，都有a b 0和c2 =a2 -b2; 已知方程判断焦点位置的方法是：看 x2， y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个

2、坐标轴上 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(-c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,-c)3、求椭圆标准方程的常用方法：(1) 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确 定方程中的参数a,b,c的值。即：主要步骤是 先定位，再定量;注：焦点所在坐标轴的位置不确定时设椭圆标准方程要分两种情形；为了计算方便，有时也可设方程为2 2mx+ny =1(m0，n0，n)。(2) 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。例2 .已知椭圆mx2 3y2-6m =0的一个焦点为(0，2)求m =.

3、分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系ab2 c2可求出m的值.2 2解：方程变形为=1 .因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m 3 .6 2m又 c=2，所以 2m-6=22， m = 5 适合.故 m = 5 .例3已知椭圆的中心在原点，且经过点 P3,0，a=3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b (或a2和b2)的值，即可求得椭圆的标准方程.2 2解：当焦点在x轴上时，设其方程为笃爲=1a b 0 .2入9，故椭圆的方程为才宀1 .a b由椭圆过点P 3,0，知訂 2 =1 .又a =3b，代

4、入得b2 =1 ,a b当焦点在y轴上时，设其方程为90由椭圆过点P3,0，知=1 .a b又a =3b，联立解得a2 =81，b2 =9，故椭圆的方程为2y812x1 .9例4求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 A(.3,-2)和B(-2.3,1)两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为mx2 ny2 =1(m 0， n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx2 ny1(m 0，n - 0).由A(.3,-2)和B(-2. 3,1)两点在椭圆上可得m Q3)2 + n (2)2=1t-

5、 22m (-23) +n 1 =1,即3m+4nT，J2m + n =1,所以m115，1n二-.故所求的椭圆方程为52 2x y155-1 .2 2例5.已知方程y1表示椭圆，求k的取值范围.k53kk -5 ：0, 解:由3kc0, 得3ckc5,且k式4 .二满足条件的k的取值范围是3ckc5,且k式4 ._ 5 式 3 _ k,说明：本题易出现如下错解：由 0,得3vkc5，故k的取值范围是3ckv5 .3kb0这个条件，当a = b时，并不表示椭圆.例6 ABC的底边BC =16 , AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨 迹.分析：(1)由已知可得|

6、GC +GB =20，再利用椭圆定义求解.(2) 由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.解：(1 )以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为x, y，由GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a = 10, c=8，有b = 6 ,2 2故其方程为1 y = 0 .10036,2 ,2设AX，y，GX，y，则盖話C .H xX = ，223代入，得A的轨迹方程为- y 1 y=0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）.” y900 324八亍例7.已知动圆P过定点A -3,0，且在定圆B: x-32 y2 =64的内部与

7、其相内 切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M .动点P到两定点， 即定点A -3,0和定圆圆心B 3,距离之和恰好等于定圆半径，即 PA + PB= PM+PB=BM=8 .点P的轨迹是以A，B为两焦点,i 2 2半长轴为4,半短轴长为b42 -3 . 7的椭圆的方程：=1 .167求轨迹的方程这是求说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程, 轨迹方程的一种重要思想方法.2 2例& 椭圆二+厶=1上的点M到焦点F1的距离为2, N为MR的中点，贝U ON259（O为坐标原点）的值为（）A.

8、4C. 8解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 F2，由椭圆第一定义得|MF+|MF2 = 2a = 10，所以|MF2|=10-|MF,=10_2=8 ,又因为ON为.：MFiF2的中位线，所以1|oN=2mf=4，故答案为A .2-y0 1; (2)点 P(x,y)在椭圆上2ba2:12Xo2 a22 , 2 a（1）点P（xo,y）在椭圆外=4、点与椭圆的位置关系：（3）点P（X0,y。）在椭圆内=二、椭圆的简单几何性质1范围:x2a2，y2 b2，.，.|x|w a，|y|b 0） ab2 2y2 异？ =1 （a b0）ab图形711r铝IJ勺1y性质焦占八、八、R（-c,0）, F2

9、（c,0）F1（0-c），F2（0,c）焦距| F1F2 |=2cF1F2 |=2c范围|x，y | Mbxb，|y1对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点（士a,0）,（0, 士b）（0,士a），（土b,0）轴长长轴长=2a，短轴长=2b离心率ce = （0 ce 1） a准线方程2 x=ac2 a y = c焦半径PF1 =a +ex0，PF2 =a - e|pf1 =a+ey， PF2I = a-ey注意：椭圆笃占，爲务=1 （a . b 0）的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有（a . b . 0） a b a b和e =C（0 ：e J）， a2 b2 c2 ；不同点：两种椭圆的

10、位置不同；它们的焦点坐标也不相同。a五、直线与椭圆1、直线与椭圆的位置关系：（1） .0：=直线与椭圆相交；（2）厶=0：=直线与椭圆相切；（3） .：0：=直线与椭圆相离。2 2例（3）直线y kx仁0与椭圆+=1恒有公共点，则m的取值范围是（答：1, 5） U （5,5 m+x）；消元得一元二次方程（5k2 +m）x2 +10kx + 5（1-m） = 0 ,利用A 0恒成立解得2、椭圆的切线2 2（1）椭圆X2 y2 （a b 0）上一点P（x0,y。）处的切线方程为： 辔马=1 ；a ba b(2)=1相切的条件为A2a2 B2b2二C2 ；x2直线Ax+By+C=(与椭圆 p a（3

11、）过椭圆外一点P（x,y）引椭圆的两条切线，切点分别为 P、R,则直线P1P2 （切点弦所在的直线） 的方程为竽辔=1a2b23、弦长公式：若直线l : y kx b与圆锥曲线相交与A、B两点，A （yj, B（X2, y2）则 弦长 AB| =、：（X1 X2）2- y2）2 = W+k2|x1 X2|AB|= （1 疋川为 X2）2 -4 X2（1 ）（% 丫2）2 -4% y?例11.已知椭圆4x2 y2 =1及直线y =x m .（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？I（2）若直线被椭圆截得的弦长为 2卫，求直线的方程.5解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得4

12、x2+（x + mf=1，2即 5x2 2mx m2-1=0 . - = 2m -4 5 m2-1 =-16m2 20一 0，解得 - 2（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 X1，X2，由（1）得xr X2 =-细，根据弦长公式得：1 12詈F罟解得心.方程为汗x .由直线方程与椭圆方程联立得：13x 72 3x 36 8 =0 .设洛,他为方程两根，所以xr x - 12 ,13(1 +k2)( X1+X2)2 -4x1X2 =18 -2AF2AF1 + F1F2 _ 2 AFF1F2 cos3所以m =尸.同理在BF1F2中，用余弦定理得n4 J3去，所以AB=m n13说明：处理有关

13、直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 厶；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程.例12.已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点Fi作倾斜解为上的直线交椭3圆于A，B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式 AB =+ k2 X _x2| = J(1+k2)( Xj+x2 )2 -4皿2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB =节1+k2 2 XiX

14、2 = 丫(1+k2)(Xi+x2)2 Ax/? 因为 a =6， b = 3，所以 c = 3V5 因为焦点在 x轴上,2 2所以椭圆方程为X - y 1，左焦点F(-3.3,0)，从而直线方程为y3x 9 .369XjX2 =36 汉8， k = v3，从而 AB = J1 + k2 Xj x213(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.2 2由题意可知椭圆方程为+=1，设AF1=m，BF,= n，则 AF2=12-m，BF2 =12-n在 iAF1F2 中,369(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2 72. 3x 36 8 =0求出方程的两根，他，它们分别是A，B的横

15、坐标.再根据焦半径 AR =a+ex， BR =a+e/，从而求出 AB = AR十BR .4、点差法求中点弦问题2 2已知弦AB的中点Mxo, yo)，研究AB的斜率和方程AB是椭圆笃+1(ab0)的一条弦，贝U AB的斜率a bb2x为一.运用点差法求AB的斜率，设A(X1, y , B(X2, y2).a y 0A B都在椭圆上,Xi2ayii,2X22y22 2 2 2 亠/口 Xi X2yi y2两式相减得 2P 2= 0,abi,.(xiX2)(xi+X2)丄( y2)(yi+y2)_0 即yi y2bXi+ X2zb2_，a2Xi X2a2yi + y2b2x。b2x。2 . 故

16、 Kab= 一2a yoa y2例10.已知椭圆y22(1) 求过点皮 P平分的弦所在直线的方程；12 2丿(2) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3) 过A 2,引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4) 椭圆上有两点P、Q , O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足KopRoq-12求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M Xi, yi , N X2, y2，线段MN的中点R x, y，则厂22X-2 +2y-2 =2,一得(x- +X2 Ix- X2 片 2(yi + yjy-y2 )= 0x| +2y； =

17、2,由题意知X-式X2，则上式两端同除以X-X2，有为 +x2 =2x,(x- +X2 2(y- + y2 )y-y2 0 ,y +y2 =2y,捲_X2将代入得x+2y %一力-0 .论- x2(1)将x=l , y=1代入，得 =-丄，故所求直线方程为：2x 4y -3 = 0 .22XiX2211将代入椭圆方程x2 2y2得6y2-6y- =0,厶=36-4 6 - 0符合题意，2x，4y-3=0为所求.44(2) 将y- _力=2代入得所求轨迹方程为：x 4 0 .(椭圆内部分)为x2(3) 将12二口 代入得所求轨迹方程为：x22y2-2x-2y=0 .(椭圆内部分)X- X? x

18、22 + 2(4) 由 + 得：y-2 yf -2,，2将平方并整理得xf x； =4x2 -2皿2,，y； y/ =4y2 - 2y1y2,1再将yiy-XiX2代入式得:2 22x -x1x2 4y -21X1X22即X2 * 普=1 此即为所求轨迹方程.2将代入得：4x 2x1x2 4y 2例9已知椭圆方程 笃每=1 a b 0，焦点为F1，F2，P是椭圆上一点， -2y2 =2，4当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决六、椭圆相关问题1、共焦点的椭圆2 2共焦点：则c相同。与椭圆x2 与=1（a . b 0）共焦点的椭圆方程可设为a b2x2a m2yb2 m=1 （mi、

19、-b2）此类问题常用待定系数法求解；2 2 2 2同离心率：与椭圆笃 每=1离心率相同的椭圆系方程是 仔占（ 0）a ba bx a cosP2、椭圆的参数方程/acos （W为参数）y =bsi n3、焦点三角形（椭圆的一点与两焦点所构成的三角形）思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、 三角形面积公式S.ff1F2二；PF|PF2 sin. F1PF2相结合的方法进行计算解题。将有关 线段|PF1、PF2、汗2，有 关角必F1PF2 （ NF1PF2兰NF1BF2）结合起 来，建立|PF+PF2、PR x PF2之间的关系.2 0Sm

20、ax =bc；重要结论：周长为定值2（a+c）S=b tanc| yo | ；当|y0|=b即P为短轴端点时,由椭圆定义知：PF1 + PF2 =2a ，则2得1 故 S血|PF2 = 2 PF1PF2 Sin G2bPF1 PF2二 b2 tan .2b21 c 0 s4、焦点弦2 2,A , B X2, y2，弦中点 M xo, yoAB为椭圆 冷 tr =1 a b 0的焦点弦(经过焦点)a b(1)弦长：I =2a_2ex)(2)焦点弦中通径最短，长轴最长:min考向1焦点三角形2bmax2a焦点为叫用的椭岡石珂;=1上有一点仏若祠诉J为求砒几的面枫【答案I*： Mh - MF2MF】丄 MFit. $占”佔=b1 tan ：- =24ian【制2I答案】在椭