博弈论知识点总结完整版

1、博弈论(一)：基本知识1.1 定义 :博弈论，又称对策论，是使用 严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优 决策问题的理论， 是研究竞争的逻辑和规律 的数学分支。 即，博弈论是研究决策主体在 给定信息结构下如何决策以最大化自己的 效用，以及不同决策主体之间的均衡。1.2 基本要素：参与人、各参与人的策 略集、各参与人的收益函数， 是博弈最重要 的基本要素。1.3 博弈的分类：博弈论根据其所采用 的假设不同而分为合作博弈理论和非合作 博弈理论。 两者的区别在于参与人在博弈过 程中是否能够达成一个具有约束力的协议 ( binding agreement )。倘若不能， 则称非合 作博弈( Non-co

2、operative game )。合作博弈强调的是集体主义，团体理 性，是效率、公平、公正；而非合作博弈则 主要研究人们在利益相互影响的局势中如 何选择策略使得自己的收益最大， 强调个人 理性、个人最优决策，其结果有时有效率， 有时则不然。 目前经济学家谈到博弈论主要 指的是非合作博弈， 也就是各方在给定的约 束条件下如何追求各自利益的最大化， 最后 达到力量均衡。博弈的划分可以从参与人行动的次序 和参与人对其他参与人的特征、 战略空间和 支付的知识、 信息，是否了解两个角度进行。 把两个角度结合就得到了 4 种博弈：a、完全信息静态博弈，纳什均衡，Nash(1950)b、完全信息动态博弈，子

3、博弈精炼纳 什均衡，泽尔腾( 1965)c、不完全信息静态博弈，贝叶斯纳什 均衡，海萨尼( 1967-1968 )d、不完全信息动态博弈，精炼贝叶斯 纳什均 衡， 泽尔腾(1975) Kreps, Wilson(1982) Fudenberg, Tirole(1991)1.4 课程主要内容：完全信息静态博弈 完全信息动态博弈 不完全信息静态博弈 机制设计 合作博弈1.5 博弈模型的两种表示形式：策略式表 述 (Strategic form), 扩 展 式 表 述 ( Extensive form )1.6 占优均衡：a、占优策略：在博弈中如果不管其他 参与人选择什么策略， 一个参与人的某个策

4、略给他带来的支付值始终高于其他策略， 或 至少不劣于其他策略， 则称该策略为该参与 人的严格占优策略或占优策略。对于所有的 s-i， si* 称为参与人i 的严格占优战略，如果满足： ui(si*,s-i)ui(si,s-i) s-i, si si*b、占优均衡：一个博弈的某个策略组合中， 如果对应的所有策略都是各参与人的 占优策略， 则称该策略组合为该博弈的一个 占优均衡。1.7 重复剔除严劣策略均衡：a、“严劣”和“弱劣”的含义：设Si和s是参与人i可选择的两个策 略，若对其他参与人的任意策略组合 s-i, 均 成立 ui(si, s-i) u i(si , s-i), 则说策略 si 严

5、劣于策略 si 。上面式子中，若将“ ”改为“W”，则 说策略 si 弱劣于策略 si。b、定义： 重复剔除严格策略就是 各参与人在其各自策略集中， 不断剔除严劣策略如果最终 各参与人仅剩下一个策略，则 该策略组合就被称为重复剔除 严劣策略均衡。二 )： 纳 什 均 衡 ( NashEquilibrium )2.1 纳什均衡定义：对于一个策略式表 述的博弈 G= N,S, Ui, i N,称策略组合 s*=(si,Sn )是一个纳什均衡，如果对于 每一个i N, Si*是给定其他参与人选择S-i*=S1*,Si-1*, Si+1*,Sn*情况下参与人 i 的最优策略(经济理性策略)，即：Ui(

6、s*, S-i*) ui(si, S-i ),对于任意的 s S ,任意的i N 均成立。通俗定义：纳什均衡是一种策略组合， 给定对手的策略，每个参与人选择自己的最 优策略。纳什均衡是一种稳定的策略组合： 当所有参与人的选择公开以后， 每个人都满 意自己作出了正确的选择； 没有人能得到更 好的结果了。在博弈论中这种结果被称为纳 什均衡( NE)。2.2 定理：Nash在1950年证明：任何 有限博弈， 都至少存在一个 NE ExiStence of NaSh Equilibrium 。即在一个有 n 个参与人的策 略式博弈 G=S1,Sn; u1,un中，如果n 是有限的，且Si是有限集(i=

7、1,n),则该 博弈至少存在一个纳什均衡 (在混合策略意 义下)Wils on (1971)证明，几乎所有有限博 弈，都存在有限奇数个 NE,包括纯策略NE 和混合策略 NE。 OddneSS Theorem2.3 纳什均衡、占优均衡、重复剔除严 劣策略均衡的关系定理 a 每一个占优均衡、重复剔除严劣策 略均衡一定是纳什均衡， 但反过来不一定成 立； 定理 b 纳什均衡一定不能通过重复剔除严 劣策略方法剔除。2.4 划线法 先找出自己针对其他博弈方每种策略或策 略组合(对多人博弈)的最佳对策，即自己 的可选策略中与其他博弈方的策略或策略 组合配合，给自己带来最大得益的策略 (这 种相对最佳策略

8、总是存在的， 不过不一定唯 一)，然后在此基础上，通过对其他博弈方 策略选择的判断，包括对其他博弈方对自己 策略判断的判断等，预测博弈的可能结果和 确定自己的最优策略。这就是划线法。2.5 箭头法箭头法对于理解博弈关系很有好处 ,是 寻找相对稳定性策略组合的分析方法。 对博 弈中的每个策略组合进行分析， 考察在每个 策略组合处各个参与方能否通过改变自己的策略而增加得益。如能，则从所分析的策 略组合对应的得益数组引一箭头到改变策 略后策略组合对应的得益数组。 最后综合对 每个策略组合的分析情况， 形成对博弈结果 的判断。划线法和箭头法的结果是一致的， 可以相互替代。(三) ：混合策略( Mixe

9、dStrategies )纳什均衡3.1 定义：混合策略的定义：在博弈G=N, Si, ui, i N中，假设参与人i的纯策 略构成的策略集合为Si=si1,sik，若参与人 i 以概率分布 pi=(pi1, , pik) 在其 k 个 可选策略中随机选择“策略” ，称这样的选 择方式为混合策略。这里，0 pij 1,对于j=1，,k都成立，且有，pi1+ pik=1。 纯策略可看成特殊的混合策略。 上述定义是 在有限博弈前提下进行的。3.2混合策略意义下策略组合的表述x1 X1, , xnXn ，其中 Xi , i =1, , n 表示参与人 i 所有纯策略生成的概 率空间， xi 为参与人

10、 i 的一个具体混合策略 猜硬币博弈的一个混合策略就可记为 (1/2, 1/2),(1/2, 1/2)3.3VNM 效用函数( Von Neumann and Morgenstern冯诺依曼和摩根斯坦)如果某个随机变量 X以概率Pi取值xi , i=1,2，,n,而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi),那么，该随机变量给他的效用便 是： U(X) = P 1u(x1) + P 2u(x2) + . + P nu(xn) 表示关于随机变量 X 的期望效用。因此 U(X) 称为期望效用函数，又叫做冯诺依曼一一 摩根斯坦效用函数( VNM 函数)。3.4 基于混合策略意义下的博弈策略式 表述定义

11、：基于 (v-N-M 效用的 )策略式博弈 由a、参与人集合 b、每个参与人有一个 (纯)策略集合c、对于每一个参与人来说，由所有参与人纯策略组合构成的风险结 果空间，存在一个 v-N-M 效用3.5 混合策略意义下的纳什均衡 定义：对于博弈 G= N, Si, ui, i N，基于v-N-M效用的混合策略组合a*是一个 纳什均衡， 若对于每一个 i, 以及 i 的任意一 个混合策略a i, a *对应的期望支付至少和 (a i, a *-i )的期望支付一样大换句话说，称混合策略组合a *是一个 纳什均衡， 如果没有一个参与人通过偏离策 略a *i实现支付的增加3.6 一个定理对于N-人静态

12、博弈问题，设混合策略 纳什均衡对应的策略组合为 (Xi, X - i ) 。对于任意的 i ,若最优混合策略为 Xi= x1,xl , 00(不失一般性，假设前I个 分量严格大于 0)，记分量xk (k=1,I)对 应的纯策略 sk,则对于参与人 i 而言， sk 与其他参与人 的最优混合策略组合 X - i形成的局势的 收益值 ,等于纳什均衡混合策略组合 (Xi, X - i )的收益值。即 ui (sk, X - i ) = ui (Xi, X - i )成立,k=1,I3.7 方法：a、求解混合策略均衡可以用期望收益 等值法b、2X 2双矩阵博弈的图解法：反应函数 的三个交点即是纳什均衡

13、(四) ：多重纳什均衡解及其分析4.1 帕雷托占优均衡 帕雷托占优均衡的含义是： 在多个纳什均衡中， 若存在一个纳什均衡，其支付结果 针对每个参与人而言都严格优于其它纳什 均衡，则该纳什均衡是帕雷托占优纳什均 衡。4.2 风险占优均衡 (risk-dominant equiIibrium)参与人对风险占优均衡的选择倾向， 有 一种强化的机制。 当部分或所有参与人选择 风险占优均衡的可能性增强的时候， 任一参 与人选择帕雷托占优均衡策略的期望支付 会进一步减小， 而这又使得帕雷托占优均衡 策略的支付更小， 从而形成一种选择风险占 优均衡策略的正反馈机制， 并使其出现的概 率越来越大。当参与人数目

14、增加时， 选择合作的风险 将会更大， 可借助该点考虑招标机制如何减 少投标方勾结问题。 上述问题是我们知道建 立诚信机制社会的重要意义。 上述问题引出 一个博弈相关分支为协调博弈 (coordination game)4.3 聚点均衡 由实际问题抽象出来的博弈模型中， 更多的一类问题是： 多个纳什均衡间不存在帕 雷托占优关系或明显的风险占优关系， 如夫 妻爱好问题的两个纯策略均衡。 这时如何预 测哪一个纳什均衡会出现是一个很有意义 的问题以夫妻爱好博弈为例， 在实际中往往二 人很默契地知道如何进行博弈， 双方往往知 道怎么进行选择策略， 且能够相互了解 (这 里面排除了互相协商后达成的一致)实

15、际博弈中参与人往往会利用博弈模 型以外的信息， 实现对特定博弈均衡一致关 注的“聚点”这些信息如： 参与人共同的文化背景或 规范，共同的知识， 具有特定意义事物的特 征，某些特殊的数量、位置关系等聚点均衡确实反映了人们在多重纳什 均衡选择中的某些规律性， 但因为涉及因素 太多，对于一般博弈模型很难总结普遍规 律，只能具体问题具体分析聚点：人们通常会协调彼此的行为。 (你 弱他就强)；先例产生的影响远大于逻辑或 者法律效力； 人们总是乐于安守现状或接受 自然形成的界线(三八线)4.4 相关均衡 (correIated equiIibrium) 实际上， 在现实中遇到选择困难时，特别是在长期中反复

16、遇到相似选择难题时， 常 会通过收集更多信息， 形成特定的机制和规 则，为某种形式的制度安排等主动寻找思 路。相关均衡就是这样的一种均衡选择机 制。对于实际中比较复杂的博弈问题， 参与 人是否有能力设计这种机制， 并且有足够能 力理解、信任这种机制，是有一定疑问的。相关均衡作为社会经济制度创新的一 种解释也许更有意义。4.5 防共谋均衡 (coaIition-proof equiIibrium)定义：如果一个博弈的某个策略组合满 足a没有任何单个参与人的“串通”会改变博弈的结果， 即单独改变策略无利可图 （该策略组合是纳什均衡） 。b、给定选择偏离的参与人有再次偏离 的自由时， 没有任何两个参

17、与人通过 “串通” 改变博弈的结果。c、依此类推，直到所有参与人都参加 的串通也不会改变博弈的结果。满足上述要求的均衡策略组合称为 “防 共谋均衡”在有多个参与人的博弈中， 若部分参与人通过某种形式的默契或串通形成小团体， 可能得到比不串通个大的支付。 这就是多人 博弈的共谋问题。防共谋均衡是指这样的一个纳什均衡， 在该均衡局势下， 少数参与人集合不能通过 均衡策略的偏离，实现更好的局部利益。防共谋均衡是两个以上参与人参加的 博弈中， 参与人在帕雷托占优均衡中进行合 作思想的扩展。（五）：动态博弈5.1 特点 一类博弈行为通常需要参与人多步 决策才能完成，具有明显的阶段性。博弈的 结局、各参与

18、人的收益由多阶段决策结果确 定。各参与人的决策有一定的顺序。由于动态博弈各参与人进行决策具 有明显的阶段性、 行动次序性，通常用扩展 式 （extensive form） 表述法描述这些信息。5.2 博弈的扩展式表示参与人集合：i=1,N。用N表示 虚拟参与人“自然” ；? 自然的含义是某些外生的 客观概率分布事件 参与人的行动顺序 （the order of moves）:描述各参与人在什么时候行 动；参与人的行动空间 （action set）:在每次行动时，参与人可选择的行动集 合；参与人的信息集 （information set） ：每次行动时参与人知道什么；参与人的收益函数：在行动结束

19、之 后，每个参与人得到些什么。自然选择的概率分布（假定自然状 态是共同知识） 。对于有限博弈，博弈树是常用的表述方式。5.3 博弈树a若动态博弈是有限博弈，则可用博 弈树表示该博弈。这里有限的含义是： 各阶段各参与人的行动数目有限；博弈 的阶段数有限。b 博弈树的基本结构为结点（nodes）。包括决策结及终点结。 决策结是参与人采取行动的时点；终点 结是博弈行动路径的终点。枝（branches）。从一个决策结到它的 直接后续结的连线，每一个枝代表参与 人的一个行动选择。信息集。是决策结集合的一个子集。 将博弈树中某一决策者在某一行动阶段 具有相同信息的所有决策结称为一个信 息集。注：每个决策结

20、都是同一个参与人的决 策结。该参与人知道博弈进入该集合的 某个决策结，但不知道自己究竟出于哪 一个决策结（若该信息集有两个或两个 以上元素） 。5.4 对于有限动态博弈，若参与人对彼 此在各决策结点的行动集合， 彼此的效用函 数， 历史的行动有着完全的了解， 则称这样 的博弈为完全信息动态博弈。如果博弈树的所有信息集都是单元 素集，称该博弈为完美信息博弈 （game of perfect information） 。上述两个定义的差别在于对自然行 动信息的描述。5.5 动态博弈的策略式表述a 相机选择 （contingent play）动态博弈中参与人的策略是各自预 先设定的，在博弈的各阶段，

21、针对各种 情况做出相应决策。即“等待”博弈到 达自己的信息集（包含一个或多个决策结)后再决定如何行动。在策略式表述博弈中，参与人似乎 是博弈开始之前就制定出了一个完全的 相机选择，即“如果发生，我将选 择”。b从扩展式表述构造战略式表述若把B的信息集从左到右排列，上述四 个纯策略可以简单记为开发，开发开发， 不开发不开发，开发不开发，不开发。 上面四个纯策略含义：当 A选择开发时，B 选择大括号中前面的策略；当A选择不开发 时，B选择大括号中后面的策略。B的纯策略为：开发，开发开发， 不开发不开发，开发不开发，不开发A的纯策略为：Sa=(开发，不开发)于是可以写成策略式表述形式，为开发，开发开

22、发，不开发不开发，开发不开 发，不开发开发-3, -3-3, -31, 01, 0不开发0, 10, 00, 10, 0? 在扩展式表述博弈中，所有 n个参与人的一个纯战略组 合S=(Si,s)决定了博弈树 上的一个路径。? 比如(开发，不开发，开 发)决定了博弈的路径为 A开发 B不开发(1,0)5.6完全信息动态博弈纳什均衡存在性 定理如果有限博弈是完美信息博弈，他 还有一个纯战略纳什均衡(Zermelo,1913)。5.7逆向归纳法：a逆向归纳法求解策略：从动态博弈 的最后一个阶段出发， 对该参与人采用经济 理性原则进行分析，逐步到推回前一个阶段 相应参与人的行动选择，一直到第一阶段的

23、分析方法。b逆向归纳法是求解完美信息动态 博弈的经典方法。逆推归纳法是完 美信息动态博弈分析中使用最普遍 的方法。c与策略式分析比较：如果A选择U,那么B的信息集不能达到，我们说 B的 信息集不在均衡路径上(out-of-equilibriumpath)。此种情况下，B的选择对A没有什 么影响。因此，纳什均衡对一个参与人在非 均衡信息集上的选择没有限制。但是，一个 参与人在非均衡信息集上的战略可以影响 其他参与人在均衡信息集上的选择。d逆向归纳法实质上是重复剔除劣 战略法在扩展式博弈中的应用。逆 向归纳法适不用于无限博弈和不完 美信息博弈。逆向归纳法剔除了非理性”的均衡策略5.8子博弈完美均衡

24、(子博弈精炼纳什 均衡) 子博弈概念：一个扩展式博弈的子博 弈G由一个决策结x和所有该决策结的后续 结T(x)组成，它满足下列条件：x是一个单结信息集，即h(x)=x;对于所有的T(x)中的x如果x与 x同属于一个信息集， 则x 也在T(x)中。需要说明的是，G本身是自己的一个子 博弈。 子博弈完美纳什均衡(子博弈精炼纳 什均衡)扩展式博弈的一个战略组合 s*=(S1*,s*, ,*)是一个子博弈完美纳什 均衡，如果它是原博弈的纳什均衡。它在每一个子博弈上都是纳什均衡 纳什均衡与子博弈精炼纳什均衡的 关系前面分析说明，一个特定的纳什均衡决 定了原博弈树上唯一的一条路径，这条路径称为“均衡路径”

25、(equilibrium path)。相对该纳什均衡，其他路径称为非均衡 路径(out-of-equilibrium path) 。在每一个子博弈上给出 纳什均衡意味着，构成子博弈纳什 均衡的战略不仅在均衡路径的决策 结上是最优的，同时在非均衡路径 的决策结上也是最优的。对于有限完美信息博弈， 前面介绍的逆推归纳法得出的纳什 均衡即是子博弈精炼纳什均衡。六) 多阶段静态博弈6.1 该类模型中至少在某个阶 段参与人同时选择其决策。这类模型实质上就 是完美信息动态博弈，因此 仍然可以采用逆推归纳法 进行分析。因为存在同时选择， 因此每个阶段不再是单人 优化问题，而是一个静态博 弈。6.2 前向归纳法：前面已经说 明，完美信息动态博弈的经典 求解方法为逆序归纳法。还有一种分析方式， 就是 前向归纳法 (forward induction) 。前向归纳法由科尔博格和莫顿斯