[数学建模题]翻译容器DesignaContainer

1、Design a Container设计一个容器Consider a container that is stored within the wall. The container is formed as a sphere surmounted by a cone (like an ice cream cone), the base of which is equal to the radius of the sphere. If the radius of the sphere is restricted to exactly 6ft and a surface area of 450 f

2、t2 is all that is allowed in the design（see the following figure）, find the dimensions and such that the volume of the container is a maximum. Problem Identification Maximize the volume of the container while meeting the design restrictions.Assumptions There are many factors that can influence the d

3、esign of a container. For our model we include the shape and dimensions, volume, surface area, and radius of the sphere corresponding with the following figure.x1x26ftModel Formulation We define the following variables: the volume of the conical top, which equalsthe volume of the cut sphere, which e

4、quals : the volume of the containerthe surface area of the cone, which equals the surface area of the sphere (spherical cap): the total surface areaWe want to maximize the volume of the container. The total available surface area constrains the containers volume. Thus, the problem is to Maximize sub

5、ject to Model Solution We employ the method of Lagrange multipliers to solve this equality constrained optimization problem. We set up the functionWe substitute andinto the equation to simplify the expression: Taking the partial derivatives of L with respect to , , and and setting them equal to zero

6、 givesUsing a computer algebra system, we find the solution to beft, ft, , which implies ft3.Model Sensitivity The Lagrange multipliermeans that if the total surface area is increased by one unit, then the volume of the water container will increase by approximately 1.83ft3.请你考虑一个带壁的容器。该容器是一个扣着圆锥体的球

7、形（像一个圆筒冰激凌），圆锥体的直径是其球的半径。设球的半径严格的限制在6英尺(ft)，且表面积是450平方英尺。请你找出 和 的值保证容器的体积最大。问题确认在保证设计要求的同时保证容器体积的最大化。假想 在这个问题中有很多的因素影响着容器的设计，我们可以想到的可能会有容器的形状、维度、表面积大小、球的半径等等，示意图如下所示。构想模型 设变量圆锥的体积球体减去重合部分的体积容器的体积圆锥的表面积球体的表面积（球冠）总表面积我们希望容器的体积最大，但是容器的表面积限制了容器的体积。所以这个问题归结于要使 最大。限制条件模型解决方案 我们使用“拉格朗日乘子”去解决这个等式约束最佳化问题。我们建

8、立函数我们用6替代r，用3.14替代pai来简化方程表达形式：我们使用关于x1,x2,lamda局部变量L，并使等式等于0，得到使用计算机代数软件系统，可得解灵敏度分析拉格朗日乘子 表示如果总的表面积因为一个变量而增长1个单位，那么容器的体积会增长大约1.83立方英尺。请按照“合理假设、建立数学模型、求解数学模型、解释验证”的步骤来研究问题的求解过程。若发现其中的不妥、错误之处，请给出正确求解方法，然后回答以下问题：1. 你认为它有没有证明得到的确实达到最大值，而且是唯一的。如果你认为它没有证明，那么你能证明吗？如果你试图去证明，你碰到什么样的困难？2. 如果你认为问题的求解甚至假设都有问题，请明确指出来，并证明之。3. 你能把这个条件约束优化问题转化为无条件约束优化问题，并“严格证明”该问题存在唯一解吗？4. 如果你认为问题的提法有问题，那么你认为应该怎样正确表述问题。5. 你们在解决本问题时，至少用了数学软件的一部分功能。数学软件是万能的吗？应用数学软件必须“受人驾驭”或在适当的时候要“人为介入”，是这样吗？你们是否体会到数学理论的根本重要性？值得思考的问题：一经严格证明的数学理论是不能违背的；