中考数学复习知识点专题讲解-截长补短法的应用

1、中考数学复习知识点专题讲解截长补短法的应用在证明儿条线段间的数量关系时，截长补短法是一种常用的添加辅助 线的方法，也是化难为易的基本方法.一、截长法1、要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取 一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等.例1如图1所示，AC/7BD, EA、EB分别平分ZCAB, ZDBA, CD 过点 E,求证：AB = AC+BD.分析 根据题意，可在AB上截取AF=AC,再证FB = DB,就有AB = AF+FB： AC + BD.证明 如图1,在4B上截取AF=AC,连结EF.在AACE和AAEF中，TAC = AF, ZCAE=ZFAE

2、, AE=AE,ACE AAEF, ZC=ZEFA.又TACBD, AZC+ZD=180 ,而 ZEFA+ZEFB=1800,ZEFB=ZD（等角的补角相等）.在 AFBE 和ZXDBE 中，VZDBE=ZFBE, BE=BE,ZD=ZEFB,AFBEADBF. .FB = DB,AB=AC + BD.2、要证明边长和或差的数量关系，有时直接证明会很难，棋至无从 着手，只要我们认真分析，通过截长法，把相关的线段转移到一个三角形 中，思维会豁然开朗，问题会迎刃而解.例2如图2所示，AABC中，D是ZA平分线上的点，ABAC,A求证：AB分析 本题直接证明有些难，因为AB-AC和BDCD之间没有直

3、接的线段可利用，这就需要找个中间线段作过渡，不妨在AB边上截取AE=AC,那么AB AC = BE.若ED=CD,那么BDCDvBE.通过已知条件和所作辅助 线可知AED今 ACD.证明如图2,在AB边上截取AE=AC,VAD是ZB AC的平分线，ZEAD=ZCAD.在ZAED 和 AACD 中，TAE=AC, ZEAD=ZCAD, AD = AD,.AAEDAACD. ED=CD.在ZXBED中，VBD-EDBD-ED=BD-CD,AAB-ACBD-CD.二、补短法就是将一个已知的较短线段，延长至与另一个已知的较短线段的长度 相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.对于具体问题，

4、有时通过截长补短法，可构成某种特定的三角形来求解.1、中线倍长，构造全等三角形中线倍长就是把三角形的中线延长，使延长的线段等于原中线的长， 想法构造全等三角形，使原来不在一个三角形的线段集中到一个三角形 中，再根据题LI已知条件进行求解.例3 如图3,在AABC中，AB=12, AC = 8, AD是BC边上”的中 线，求AD的取值范圉.分析 欲求AD的取值范围，联想到三角形三边的关系，必须设法把 AB、AC、AD转移到同一个三角形中，故可以延长AD到E,使DE= AD,连结 BE,若能证BDEZCDA,则有 BE=AC.而 AE=2AD, 在AABE中不难求出AE的取值范圉.解延长AD到E,

5、使DE=AD,连结BE.VAD是BC边上的中线，BD=CD.在 ABDE 和ZkCDA 中，TBD=CD, ZBDE=ZCDA, DE=DA,rABDEACDA, BE=AC = 8.在AABE中，AB-BEvAEvAB + BE,12-82AD12 + 8,A2AD10.评注 本题中，把三角形一边的中线延长，构造全等三角形，把分散 的条件集中到一个三角形中，这是解决中线问题的常用方法.2、利用补短法构造等腰三角形这是儿何证明常用的方法，它是把较短的线段延长，再根据角的关系, 找出等腰三角形,通过腰相等进行转换，把两条线段转移到一条线段上来, 最后利用三角形全等，使问题的结论水落石出.例4如图4,已知AD是AABC的角平分线，ZB=2ZC,求证： AB + BD = AC.分析 欲证AB + BD = AC,可以延长AB到E,使BE=BD,然后再 ilEAAEDAACD.得出 AE=AC.图4证明 如图4,延长AB到E,使BE = BD,连结DE, ZE= ZBDE.VZABC = 2ZC,ZABC=ZE+ZBDE,2ZE=2ZC. ZE=ZC.乂 VAD是AABC的角平分线，ZBAD=ZCAD.在ZXAED 和 AACD 中，VZBAD=ZCAD,ZE=ZC, AD = AD,AED 竺ACD, /.AE=AC,AB+BE=AC.即 AB + BD = AC.另